Основные свойства степеней

Основные свойства степеней

"Свойства степеней" - довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки "Свойства степеней" в формате .pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку "Свойства степеней" (формат .pdf)

Свойства степеней (кратко)

1. a0=1, если a≠0

2. a1=a

3. (−a)n=an, если n - четное

4. (−a)n=−an, если n - нечетное

5. (a⋅b)n=an⋅bn

6. (ab)n=anbn

7. a−n=1an

8. (ab)−n=(ba)n

9. an⋅am=an+m

10. anam=an−m

11. (an)m=an⋅m

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степени Любое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице. a0=1, если a≠0 Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-е свойство степени Любое число в первой степени равно самому числу. a1=a Например: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-е свойство степени Любое число в четной степени положительно. an=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число (−a)n=an, если n - четное (делящееся на 2) целое число Например: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-е свойство степени Любое число в нечетной степени сохраняет свой знак. an=an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число (−a)n=−an, если n - нечетное (не делящееся на 2) целое число Например: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5-е свойство степени Произведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (a⋅b)n=an⋅bn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-е свойство степени Частное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот). (ab)n=anbn, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е свойство степени Любое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.) a−n=1an, при этом a и n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 7−2=172=149

8-е свойство степени Любая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени. (ab)−n=(ba)n, при этом a, b, n - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е свойство степени При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним. an⋅am=an+m,  при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44

10-е свойство степени При делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним. anam=an−m,  при этом a, n, m - любые допустимые (не обязательно целые) числа Например: (1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410

11-е свойство степени При возведении степени в степень степени перемножаются. (an)m=an⋅m Например: (23)2=23⋅2=26=64

Таблица степеней до 10

Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n-ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: "в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить число b?" или "Какое число в степени n дает число b?".

Таблица степеней до 10

	1^n	2^n	3^n	4^n	5^n	6^n	7^n	8^n	9^n	10^n
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
3	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
4	1	16	81	256	625	1296	2401	4096	6561	10000
5	1	32	243	1024	3125	7776	16807	32768	59049	100000
6	1	64	729	4096	15625	46656	117649	262144	531441	1000000
7	1	128	2187	16384	78125	279936	823543	2097152	4782969	10000000
8	1	256	6561	65536	390625	1679616	5764801	16777216	43046721	100000000
9	1	512	19683	262144	1953125	10077696	40353607	134217728	387420489	1000000000
10	1	1024	59049	1048576	9765625	60466176	282475249	1073741824	3486784401	10000000000

Как пользоваться таблицей степеней

Рассмотрим несколько примеров использования таблицы степеней.

Пример 1. Какое число получится в результате возведения числа 6 в 8 степень? В таблице степеней ищем столбец 6n, так как по условию задачи число 6 возводится в степень. Затем в таблице степеней ищем строку 8, так как заданное число необходимо возвести в степень 8. На пересечении смотрим ответ: 1679616.

Пример 2. В какую степень нужно возвести число 9, чтобы получить 729? В таблице степеней ищем колонку 9n и спускаемся по ней вниз до числа 729 (третья строчка нашей таблицы степеней). Номер строчки и есть искомая степень, то есть ответ: 3.

Пример 3. Какое число нужно возвести в степень 7, чтобы получить 2187? В таблице степеней ищем строку 7, затем двигаемся по ней вправо до числа 2187. От найденного числа поднимаемся вверх и узнаем, что заголовок этого столбца 3n, что означает, что ответ: 3.

Пример 4. В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 63? В таблице степеней находим столбец 2n и спускаемся по нему до тех пор, пока не встретим 63... Но этого не произойдет. Число 63 мы никогда не встретим ни в этом столбце, ни в любом другом столбце таблицы степеней, а это означает, что никакое целое число от 1 до 10 не дает число 63 при возведении в целую степень от 1 до 10. Таким образом, ответа нет.