SMU_METROLOGIA

Случайными называются погрешности, изменяющиеся при повтор- ных измерениях непредвиденно, случайным образом в процессе любого измерения, т.к. присутствуют многочисленные влияющие величины (наряду с такими важными, как температура, давление, влажность, напряжение электрической цепи), учесть которые практически невозмож- но, но их совместное воздействие (случайная комбинация воздействий) сказывается на получении результатов измерений, а следовательно, и на погрешности измерений. В связи с этим до проведения измерений пред- сказать значение случайной погрешности невозможно.

Случайная погрешность в отличие от систематической не может быть исключена из результата измерения, но ее влияние можно умень- шить с помощью многократных измерений искомой величины с после-

дующим определением характеристик случайной погрешности методами математической статистики. Полученные при многократных измерениях результаты рассматриваются как случайные величины.

Следует отметить, что после исключения (введения поправки) си-

стематической погрешности выделить ее неисключенную составляющую при обычных (рабочих) измерениях весьма затруднительно. Эти состав- ляющие при измерениях часто проявляются вместе со случайными по- грешностями, поэтому каждый результат при этом рассматривается как случайная величина. Используя еще более точное средство измерений при выявлении систематической погрешности, можно довести ее неисключен- ную составляющую до уровня «шума», который если и регистрируется, то как случайная погрешность.

К случайным погрешностям в большинстве случаев относятся и так называемые грубые погрешности (промахи), характерные значительным превышением над ожидаемой (указанной в нормативно-технической до- кументации на средство измерений) погрешностью с учетом данных условий измерений. Источником грубой погрешности чаще всего является неправильный отсчет показаний прибора. Иногда они могут возникать при скачкообразном изменении условий измерений (например, внезап- ное изменение напряжения питающей сети). При статистическом анализе промахи могут быть выявлены и соответствующие им результаты исклю- чены.

Близость к нулю случайных погрешностей измерений называется

сходимостью измерений.

Когда проводятся обычные измерения, где не требуется получать

результаты измерений с заранее обусловленной точностью по случайным и систематическим погрешностям, определяется лишь общая погреш- ность результатов.

121

13.1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО ПРИЧИНЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

По причине возникновения погрешности разделяются на инстру-

ментальные, методические и субъективные.

Инструментальная (приборная, аппаратурная) погрешность —

погрешность средства измерений (составляющая погрешности средства измерений), определяемая несовершенством средств измерений, неиде- альной реализацией принципа действия, конструктивно- технологическими особенностями средства измерений и влиянием внеш- них условий. К инструментальным погрешностям обычно относят также помехи на входе средства измерений, вызываемые его подключением к объекту измерений. Инструментальная погрешность является одной из наиболее ощутимых составляющих погрешности, причем некоторые из инструментальных погрешностей являются систематическими, другие — случайными (например, за счет нестабильности параметров комплектую- щих изделий, входящих в измерительные цепи прибора).

Методическая погрешность — составляющая погрешности, обу- словленная несовершенством, недостатками примененного в средстве

измерений метода измерений и упрощений при построении конструкции средства измерений, в том числе математических зависимостей. Напри- мер при измерениях параметров электрических цепей (сопротивлений, емкостей, индуктивностей) мостовыми методами возникает методическая погрешность из-за неучета соответствующих параметров (сопротивлений, емкостей, индуктивностей) соединительных проводов.

К методическим погрешностям относится и невозможность иде- ального воспроизведения модели объекта измерений. В большинстве слу- чаев эти погрешности «действуют» регулярно, т. е. относятся к система- тическим.

В ряде случаев принцип действия, положенный в основу измере- ний, при его реализации в средстве измерений вносит погрешность, кото- рую не всегда просто определить. Так, при измерении давления газа в за- мкнутом сосуде с помощью мембранных (сильфонных) преобразовате- лей давления возникает погрешность, вызываемая прогибом мембраны под действием давления: при этом изменяется объем сосуда, а соответ- ственно и давление. При требованиях высокой точности неучет данного эффекта может оказаться недопустимым. Изучение методических погреш-

ностей требует проведения специальных исследований при разработке средства измерений и методик измерения.

Субъективная (личная) погрешность, в узком смысле погрешность отсчитывания, возникает вследствие индивидуальных особенностей (сте- пень внимательности, сосредоточенности, подготовленности) операторов, производящих измерения. Эти погрешности практически отсутствуют при использовании автоматических или автоматизированных средств измере-

122

ний. В большинстве случаев субъективные погрешности относятся к слу- чайным, но некоторые из них, относящиеся к личности оператора, могут быть систематическими.

13.1.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО ФОРМЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

По форме представления погрешности разделяются на абсолютные,

относительные и приведенные.

Абсолютная погрешность измерений, выражаемая в единицах из-

меряемой величины, представляется разностью между измеренным и ис- тинным (действительным) значениями измеряемой величины:

= хизм - хД,

(13.3)

Абсолютная погрешность средства измерений соответствует ука- занному определению, но для меры и измерительного прибора имеет не одинаковый смысл. Абсолютная погрешность меры — разность между номинальным значением меры и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею величины. Абсолютная погрешность измерительного прибора представляется разностью между показанием прибора и истин- ным (действительным) значением измеряемой величины. Показание при- бора — значение измеряемой величины, определяемое по отсчетному устройству.

Относительная погрешность δ представляется отношением абсо- лютной погрешности к истинному (действительному) значению измеряе- мой величины:

δ = /хД,

(13.4)

Обычно относительная погрешность выражается в процентах:

δ = ( /хД)*100%,

(13.5)

Приведенная погрешность γ (измерительного прибора) — отно- шение абсолютной погрешности к нормирующему значению хн:

γ = /хн,	(13.6)
или в процентах
γ = /хн*100%,	(13.6а)

123

Нормирующее значение в зависимости от типа измерительного прибора принимается равным диапазону шкалы: верхнему пределу изме- рений (в случае, если нижний предел — нулевое значение односторонней шкалы прибора); разности между пределами измерения шкалы (в случае,

если нижний предел имеет не нулевое значение как для односторонней шкалы прибора, так и для двухсторонней шкалы прибора).

13.1.5 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Для повышения точности измерений (если, конечно, этом есть необ- ходимость ) следует по возможности устранить математические погрешно- сти. Это можно сделать различными способами. Если известна природа та- кой ошибки, и может быть определена ее величина, достаточно ввести со- ответствующую поправку. Это возможно, например, для исключения вли- яния на результат измерения таких факторов, как температура и давление воздуха, или факторов, связанных с известным недостатком измерительно- го инструмента (неравноплечностые рычажных весов обитым нулем при- бора и т.п.). Разумеется, что вносить такого рода поправки есть смысл только в том случае, когда их величина соизмерима с величиной других ошибок, сопровождающих данные измерения.

Можно также исключить некоторые виды систематических погреш- ностей, используя специальные методы измерений. Так, влияние уже упо- мянутой неравноплечности весов можно устранить, взвесив исследуемое тело дважды - сначала на одной чаше весов, а затем на другой. Есть и дру- гие способы исключения систематических погрешностей. Однако, как бы- ло отмечено выше, всегда остается ошибка; связанная с погрешностью ис- пользуемого прибора, а также случайные погрешности, которые заранее учесть нельзя.

В том случае, если погрешность прибора заведомо больше величины случайных погрешностей, присущих данному методу при данных условиях эксперимента, достаточно выполнить измерение один раз (например, при измерении обычной масштабной линейкой длины, точно изготовленной детали ). Тогда абсолютная погрешность измерения будет равна погрешно- сти прибора. Если, наоборот, определяющей является случайная погреш- ность, надо уменьшить ее величину с помощью многократных измерений. Рассмотрим методику оценки случайной погрешности в этом случае.

Предположим, что мы произвели n прямых измерений величины Х. Обозначим через Х1 , Х2, ... Хn результаты отдельных измерений, которые вследствие наличия случайных погрешностей будут в общем случае не- одинаковыми. В теории вероятностей доказывается, что истинное значение измеряемой величины (при отсутствии систематических погрешностей)

124

равно ее среднему значению, получаемому при бесконечно большом числе измерений, т.е.

	1	n
X ист = lim		å X i
			(13.7)
n→∞ n i=1

Поэтому наиболее близким Х истинному будет для данной серии из- мерений среднее арифметическое значение, а именно:

			1		n
X ср =					å X i
				n				(13.8)
					i=1
Отклонения измеренных значении Хn от Xср								носят случайный ха-
рактер и называются абсолютными ошибками отдельных намерений:
X i =		X ср	− X i					(13.9)

В элементарной теории ошибок, разработанной Гауссом мерой слу- чайной погрешности отдельного измерения является так называемая сред- няя квадратичная погрешность, вычисляем по формуле:

n

å( Xi )2

Sn =	i=1
	n(n −1)

При большом числе измерений величина пределу σ, т.е.

σ = lim Sn

R→∞

(13.10)

Sn стремится к некоторому

(13.11)

Строго говоря, именно этот предел называется средней квадратичной погрешностью, а квадрат этой величины - дисперсией измерений.

Однако средняя квадратичная погрешность отдельного измерения Sn полезна лишь для оценки точности применяемого способа измерений. Нас же, главным образом, интересует погрешность результата всей серии измерений. Для этого надо найти среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического, характеризующую отклонение Хср от истинно- го значения искомой величины. Из закона сложения ошибок вытекает, что средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна:

125

X кв =	Sn
		n	(13.12)

Отсюда следует, что чем больше проделано измерений одной и той же величины, тем меньше случайная погрешность результата. Это вполне понятно, т.к. согласно (13.7) и (13.8), чем больше число опытов, тем ближе

Хср к Хист.

Используя соотношения (13.10) и (13.12), можно записать сле-

дующее окончательное выражение для средней квадратичной погрешности результата серии измерений

n

å( Xi )2

	X кв	=	i=1
			n(n −1)	(13.13)

Это не означает, однако, что истинное значение измеряемой величи- ны обязательно будет заключено в интервале от Xср - Xкв до Хср + Xкв. Оказывается, что даже при очень большом числе измерений вероятность того, что истинное значение попадет в указанный интервал, не превышает 0,7. Другими словами, надежность полученного результата в данном слу- чае составляет около 70 %. При малом числе измерений (n < 10) она будет еде меньше.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины по- падет в заданный интервал, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом доверия Р , а соответствующий интервал, определяемый величиной абсолютной погрешности – доверительным интервалом. До- стоверность результата при данном количестве измерений можно увели- чить, уменьшая его точность, т.е. расширяя доверительный интервал.

Обычно случайную погрешность рассчитывают по формуле:

			n
	DX сл = αn p × DX кв	= αn p ×	å(DX i )2
			i=1
			n(n -1)
	1	1		(13.14)

где αn,p — коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и выбранного значения доверительной вероятности P. Значения αn,p для ряда случаев приведены в таблице 13.1.

Как видно из таблиц, увеличение числа опытов позволяет при задан- ной доверительной вероятности существенно уменьшить случайную по- грешность. Здесь следует учесть, что помимо коэффициента αn,p с ростом

126

n уменьшается и значение Хкв.

Таблица 13.1

Р/n	3	4	5	6	7	8	9	10	…	100
0,5	0,82	0,77	0,74	0,73	0,72	0,71	0,71	0,70		0,68
0,7	1,3	1,3	1,2	1,2	1,1	1,1	1,1	1,1		1,0
0,95	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3		2,0

Таким образом, для характеристики величины случайной погрешно- сти в принципе необходимо задать два числа: саму погрешность Xкв и до- верительную вероятность P, позволяющую оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень надежности определяется спецификой производимых измерений. Доверительная вероятность должна быть, например, очень высокой при контроле размеров деталей самолетов и достаточно низкой при аналогичном контроле деталей ручной тележки. В условиях учебной лаборатории достаточно брать P = 0,7.

Для окончательной оценки величины абсолютной погрешности ΔХ следует теперь сравнить полученную случайную погрешность с погрешно- стями других видов. Если путем многократных измерений удалось сделать случайную ошибку заметно меньше приборной (при незначительных си- стематических ошибках), то в качестве ΔХ можно взять погрешность ис- пользовавшегося прибора. В противном случае в качестве X берут значе- ние Xсл.

13.1.6 ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

При косвенных измерениях искомая физическая величина А является функцией величин Х , У , Z ...., которые могут быть получены с помощью прямых измерений. Результат косвенного измерения записывается в виде:

А ± ΔА,

(13.15)

где

A = ƒ(X, Y, Z, …) - значение искомой величины, рассчитанное по средним значениям параметров X , Y, Z, ..., каждый из которых измеряет- ся, как правило, по несколько раз.

ΔА - абсолютная погрешность косвенного измерения, зависящая от погрешностей параметров X , Y , Z, ... (т.е. от ΔХ , Y , Z , ...).

127

В простейших случаях абсолютную и относительную погрешность косвенных измерений подсчитать нетрудно. Рассмотрим несколько приме- ров.

Пусть А = Х + У. Если известны погрешности X и	Y , то:
А±ΔА = (Х±ΔХ) + (Y± Y),	(13.16)

Максимальное значение абсолютной погрешности, найденной по ме- тоду максимума-минимума будет равно при этом:

ΔА = X + Y

(13.17)

При этом максимальная абсолютная погрешность при А = X – Y не может быть рассчитана по этой формуле, а будет другой.

Относительные погрешности величин, являющихся суммой или раз- ностью двух параметров, найденные по методу максимума-минимума бу- дут равны соответственно:

E = DX + DY					и		E = DX + DY				(13.18)
	X + Y						X -Y
Пусть теперь A = X.Y			- тогда
A ± DA = (X ± DX )(Y ± DY ) = X ×Y ± X × DY ± Y × DX + DX × DY											(13.19)
Пренебрегая слагаемым второго порядка малости |										X.	Y| имеем:
			DA = X × DY + Y × DX								(13.20)
E =		X × DY + Y × DX					или	E =	DX + DY		(13.21)
				X ×Y
									X	Y
	A =		X
По аналогии, если			Y , то
	A ± DA =				X ± DX						(13.22)
					Y ± DY
Максимальное значение погрешности ΔА									получится в случае, ес-

ли погрешности в числителе и в знаменателе данного выражения взять с разными знаками. Тогда можно записать:

128

A ± DA =	X + DX	(X + DX )(Y + DY )			XY + Y × DX + X × DY
		= (Y - DY )(Y + DY ) =				Y 2
	Y - DY						(13.23)
Здесь мы пренебрегли членами ( Y)2 и X.							Y. Максимальная абсо-
лютная погрешность равна в этом случае:
		DA =	Y × DX + X × DY				(13.24)
				Y 2	,
а относительная погрешность, как и в (13.23), равна:
			DA	= DX +	DY		(13.25)
			A	X	Y

Полученные результаты легко обобщаются на произвольное количе- ство сомножителей. Если в самом общем случае:

	A = C	X α ×Y β ×...
		Z γ	,	(13.26)

где С — постоянный коэффициент, а α, β, γ, ... — любые целые или дробные числа, то относительную погрешность косвенного измерения ве- личины А можно записать в виде :

E=	A	=α	X	+β	Y	+γ	Z	+...
	A		X		Y		Z	(13.27)

Простота последнего выражения указывает на то, что в большинстве

случаев удобно оценить сначала относительную погрешность косвенного измерения, а потом уже найти его абсолютную погрешность. Следует, од- нако, обратить внимание на то обстоятельство, что приведенные формулы применимы только в том случае, если параметры X , Y , Z , .... не зависят друг от друга (отсутствие корреляции).

Если же, к примеру,	A = Z	Y , где Z = X + Y, то расчет по формуле

(13.27) приведет к неправильному результату, т.к. погрешности одной и той же величины Y будут приписаны различные знаки, поскольку указан- ная величина фигурирует как в числителе, так и в знаменателе исходного выражения.

Более общие правила вычисления погрешностей, позволяющие из- бежать подобных ошибок, можно получить, используя дифференциальное исчисление.

129

Пусть по-прежнему A = ƒ(X, Y, Z, …). Тогда относительную по-

грешность косвенного измерения	E =	A
		A можно записать в виде:

		E =		dA
				A ,		(13.28)
	С другой стороны,
		dA	= d(ln A)
		A				(13.29)

Таким образом, относительная погрешность величины А равна пол- ному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых.

E =	A
Таким образом, для нахождения	A необходимо:

1)прологарифмировать исходную формулу ln A = ln ƒ(X, Y, Z, …)

2)продифференцировать полученное уравнение, заменив затем

дифференциалы dA, dX, dY ... погрешностями A , X , Y, ...;

3)сгруппировать члены, содержащие одни и те же погрешности, вынести эти погрешности за скобки, а выражения в скобках взять по моду- лю;

4)заменить знаки “-” перед коэффициентами при погрешностях на знак “+” (для нахождения максимального значения Е).

Общая формула для расчета относительной погрешности будет при этом выглядеть следующим образом:

E =

A

=

1

df

X +

1

df

Y +

1

df

Z + ...

A

f

dX

f

dY

f

dZ

(13.30)

,

Пример 1.

В качества примера приведем оценку относительной погрешности

величины γ, вычисляемой по формуле γ =	H
	H − h	, где средние значения па-

раметров, полученные после проведения серии измерений (допустим от- счеты по шкале манометра).

ln γ = ln H − ln(H − h)

(13.31)

130