Квантовая механика

3.1. Определите импульс и энергию: 1) рентгеновского фотона; 2) электрона, если длина волны того и другого равна 10^-10м.

3.2. Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью приT=290 К.

3.3. Электрон движется по окружности радиусом r= 1,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Чему равна длина волны де Бройля этого электрона?

3.4. Протон движется в однородном магнитном поле с индукциейB=15 мТл по окружности радиусомR=1,4 м.Определить длину волны де Бройля для протона.

3.5. Какую ускоряющую разность потенциалов Uдолжен пройти протон, чтобы длина волны де Бройлядля него была равна 1 нм?

3.6. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U=500 В, имеет длину волны де Бройля =1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определить ее массу.

3.7. Кинетическая энергия электрона равна 1 кэВ. Определите длину волны де Бройля.

3.8. Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. 3.10. Определите длину волны де Бройля.

3.9. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля электрона равна его комптоновской длине?

3.10. При каком числовом значении кинетической энергии, длина волны де Бройля  электрона равна его комптоновской длине?

3.11. В опыте Дэвиссона и Джермера, обнаруживших дифракционную картину при отражении пучка электронов от естественной дифракционной решетки - монокристалла никеля, оказалось, что в направлении, составляющем угол =55°с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка, при кинетической энергии электроновТ=180 эВ.Определите расстояние между кристаллографическими плоскостями никеля.

3.12. Моноэнергетический пучок нейтронов, получаемый в результате ядерной реакции, падает на кристалл с периодом d=0,15 мм. Определить, скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения =30°.

3.13. Параллельный пучок моноэнергетических электронов направлен нормально на узкую щель шириной а=1 мкм.Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем на расстоянииl=20 смот щели, ширина центрального дифракционного максимума составляетx = 48 мкм.

3.14. Определить отношение неопределенностей скорости электрона, если его координата установлена с точностью до x =10^-5 м, и пылинки массойm=10^-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.

3.15. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определить неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории ?

3.16. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оценить размытость энергетического уровня в атоме водорода: 1) для основного состояния; 2) для возбужденного состояния (время его жизни t = 10^-8 с).

3.17. Длина волны излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Принимая время жизни возбужденного состоянияt = 10^-8 с, определить отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, полученной атомом.

3.18. Принимая, что электрон находится внутри атома диаметром 0,3 нм, определить (в электрон-вольтах) неопределенность энергии этого электрона.

3.19. Электрон с энергией Е = 4 эВ движется в положительном направлении осих, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотойU = 10 эВи ширинойl = 0,1 нм. Определить коэффициентDпрозрачности потенциального барьера.

3.20 Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,lнм. Определить в электрон-вольтах разность энергий (U-E),при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит0,5.

3.21. Протон с энергией Е=5 эВдвижется в положительном направлении

оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер, высотой U=10 эВи ширинойl =0,1 нм. Определить: 1) вероятность прохождения протоном этого барьера; 2) во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при приведенных выше условиях?

3.22. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l = 0,1 нм. Разность между высотой потенциального барьера и энергией движущегося в положительном направлении оси х электрона (U-E) = 5 эВ. Определить, во сколько раз изменится коэффициентDпрозрачности потенциального барьера для электрона, если разность (U-E) возрастет в 4 раза.

3.23. Волновая функция электрона в основном состоянии атома водорода имеет вид =А е^-r/a, гдеА- некоторая постоянная,а- первый боровский радиус. Найти:

а) наиболее вероятное расстояние между электроном и ядром;

б) среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон;

в) среднее значение потенциальной энергии электрона в поле ядра.

3.24. Воспользовавшись формулой коэффициента прозрачности, найти для электрона с энергиейЕвероятностьDпрохождения потенциального барьера, ширина которогоlи высотаU, если барьер имеет форму, показанную на рисунках 3.1а,б,в,д(U= 10 эВ,Е= 5 эВ,l=0,1 нм).

3.25. Найти вероятность Dпрохождения частицы с массойmи энергиейЕсквозь потенциальный барьер (рис.3.1г), где

U(x)=U₀(1-x²/l²).

3.26. Атом водорода находится в основном состоянии. Собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид =Ce^-r/a, гдеС- некоторая постоянная,а- радиус первой боровской орбиты. Найти из условия нормировки значение постоянной С.

3.27. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид =Ce^-r/a, гдеа- радиус первой боровской орбиты. Определить расстояние, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

3.28.Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой функцией =Ce^-r/a(а – радиус первой боровской орбиты). Определить отношение вероятностей пребывания электрона в сферических слоях толщинойr=0,01 а,радиусамиr₁=0,5аиr₂=1,5а.

3.29. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить:

1) вероятность того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса а, равного радиусу первой боровской орбиты; 2) вероятность того, что электрон находится вне этой области; 3) отношение вероятностей. Волновую функцию считать известной: =Ce^-r/a.

3.30. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид =Ce^-r/a, гдеа- радиус первой боровской орбиты, найти среднее значение радиуса.

3.31 Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить вероятность пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусомr = 0,1а(гдеа- радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.

3.32. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций (x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике ширинойl, а также вид||².Установить соответствие между числомNузлов волновой функции (т.е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале(0 < х < l) и квантовым числомn, функцию считать нормированной на единицу.

3.33. Частица в потенциальном ящике lнаходится в возбужденном состоянии (n=2). Определить в каких точках интервала (0 <x<l) плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.

3.34. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0 < х <l) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить значение плотности вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.

3.35. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружить частицу: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика;

3.36. В одномерном потенциальном ящике шириной lнаходится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервалеl/4 , равноудаленном от стенок ящика.

3.37. Частица в потенциальном ящике шириной lнаходится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность нахождения частицы в интервалеl/4 равноудаленном от стенок ящика.

3.38. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале l/4,равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы. Ширина ямыl.

3.39. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты <х> электрона (0 <x<l).

3.40. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками" находится в основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети "ямы".

3.41. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной lс бесконечно высокими "стенками" находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить вероятность обнаружения частицы в области 3/8l<x< 5/8l.

3.42. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины lс абсолютно непроницаемыми стенками (0<х<l). Найти вероятность пребывания частицы в областиl/3 < х < 2l/3.