Глава 2. Основные положения теории колебаний

2.1. Исходные понятия теории колебаний. Гармонический осциллятор

1. Физические величины

К физическим системам, в которых осуществляется колебательный процесс, относятся, например, пружинный маятник как механическая колебательная система; колебательный контур как электромагнитная система; атом, совершающий колебания в узлах кристаллической решетки и представляющий собой квантовую колебательную систему т.п. Любая физическая система, в том числе и колебательная, количественно характеризуется физическими величинами. Эти величины можно разбить на два класса – на параметры и динамические переменные.

Параметры характеризуют собственные свойства физической системы. К параметрам относятся масса системы m, разного рода коэффициенты - коэффициент вязкости среды , жесткость пружины k, собственная частота колебательной системы ₀ и т.п. Параметры физической системы не изменяются при изменении состояния физической системы. Динамические переменные определяют состояние системы. Каждому состоянию соответствует свои значения динамических переменных. Примерами динамических переменных в механических системах являются координаты {x, y, z}, скорость v, ускорение a, сила F, энергия E, импульс p. В электромагнитных системах примерами динамических переменных являются напряженность электрического поля E, индукция магнитного поля B, энергия электромагнитного поля E. Изменение состояния физической системы выражается в изменении динамических переменных. Знание состояние системы в данный момент времени означает знание всех динамических переменных в этот момент времени (¹). Описать колебательный процесс означает выявить закономерности изменения динамических переменных с течением времени.

2. Уравнения колебаний гармонического осциллятора

В колебательном процессе наблюдается определенная повторяемость во времени динамических переменных, характеризующих состояние колебательной системы. Если некоторая динамическая переменная s(t) повторяется через равные промежутки времени T (т.е. если s(t) = s(t+nT) для любого значения t, где n = 1, 2, 3 …), то колебательный процесс называется периодическим. Колебательная система как материальный объект называется осциллятором, если динамические переменные системы изменяются по некоторому периодическому закону. Разумеется, колебания совершает осциллятор, однако в дальнейшем мы будем использовать выражения типа: «Координата (импульс, энергия …) колеблется по закону …».

Промежуток времени T называется периодом колебания динамической переменной s(t) осциллятора. Пусть за время t совершено N полных колебаний. Число колебаний за единицу времени называетсячастотой периодического колебания. Так как при периодических колебаниях t = N T, то . Единица частоты имеет собственное название – герц (Гц): 1Гц = 1 с^-1.

Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. колебания, совершаемые по закону синуса (косинуса): s(t) = A cos [(t)], где (t) – фаза колебания динамической переменной s(t). Соответствующая колебательная система называется гармоническим осциллятором. Примером гармонического колебания динамической переменной является колебание координаты материальной точки, которая равномерно движется по окружности (рис.1).

Пусть материальная точка движется равномерно по окружности против часовой стрелки. Совместим начало координат с центром окружности. Положение материальной точки можно задать или радиус-векторомA, или соответствующими координатами {x, y}. В начальный момент времени радиус-вектором A повернут относительно оси ОХ на угол . При равномерном вращении угловую скорость радиус-вектора  =можно определить как отношение полного угла поворота ( = 2 радиан) к периоду вращения T, т. е.  =. За времяt радиус-вектор повернется на угол t. Из рисунка видно, что текущие координаты x и y со временем изменяются по закону синуса (косинуса):

x(t) = A cos(t + ) и y(t) = A sin(t + ), (1)

Величины A = А, , T в уравнениях колебаний координат (1) приобретают своеобразный смысл в сравнении с соответствующими величинами, характеризующими вращательное движение.

Величина А – называется амплитудой колебания координаты, т.е. максимального отклонения координаты от нулевого значения. Амплитуда – всегда положительна, а при гармонических колебаниях – еще и постоянна.

Величина  в уравнениях (1) называется циклической частотой и характеризует быстроту изменение фазы колебания (t) = (t + ) в единицу времени. Действительно, имеем: . Фаза гармонического колебания(t) = (t + ) определяет значение колеблющейся физической величины в данный момент времени t. При гармонических колебаниях ( = = 2). Единицей циклической частоты является 1. Т.к. угол – безразмерная величина, то можно записать: 1= 1с^-1. Не следует путать циклическую частоту  с частотой  как числа колебаний в единицу времени. Например, если  = 10 с^-1, то это означает, что за 1 с фаза колебания изменяется на 10 радиан, а величина  = 10 с^-1 = 10 Гц указывает, что за секунду совершается 10 полных колебаний.

Время T приобретает смысл периода колебаний координат, т.е. времени одного полного колебания.

При описании колебательного процесса часто необходимо знать закон изменения первой и второй производной. Допустим, интересующей нас динамической переменной является координата тела, изменяющаяся по гармоническому закону: x(t) = A cos(t + ). Тогда первая производная - это проекция скорости на ось 0Х, вторая производная – проекция ускорения:

v_x = = ; а_x = = =  ²x, (2)

где: v₀ = А - это амплитуда скорости; а₀ = ²А – амплитуда ускорения.

Пример

1. Шарик массой m = 100 г, прикрепленный к достаточно жесткой пружине, совершает свободные гармонические колебания вдоль оси 0X с частотой  = 16 Гц. Амплитуда колебания координаты x равна 5 мм, начальная фаза колебаний  = 45⁰. Записать уравнения колебаний в системе СИ для координаты x(t), проекции скорости v_x(t), проекции ускорения a_x(t) , проекции импульса p_x(t) через функцию косинуса. Определить законы изменения кинетической энергии шарика E_к(t), потенциальной энергии упругодеформированной пружины U(t) и полной механической энергии этого осциллятора.

Решение.

1. Колебание осциллятора совершается вдоль оси 0X. Запишем уравнение колебания координаты x через функцию косинуса:

x(t) = A cos(t + ), (*)

тогда уравнение для проекции скорости примет вид:

v_x =   A sin(t + ) =  A cos(t +  + ), (**)

а уравнение проекции ускорения – а_x =  ²A cos(t + ) = ²A cos(t +  + ). (***)

Т.к. p_x = mv_x, то закон колебания проекции импульса имеет вид:

p_x = mA cos(t +  + ), (****)

где p_x0 = mA – амплитуда импульса. Обратите внимание, колебания скорости (**) и импульса (****) опережают по фазе колебания координаты (*) на /2 радиан (на 90⁰), а ускорение (***) находится в противофазе с координатой (разность фаз равна  радиан или 180⁰).

Имеем:  = 2 = 6,2816 =100 (с^-1);  = 45⁰ = /4 рад. (или  = 0,785 рад.);

v₀ = А =100510^3 = 0,5 (м/с); p_x0 = mA = 10^1100510^3 = 510^2 (кгм/с);

а_x0 = ²A = 100²510^3 = 50 м/с².

Уравнения примут вид:

x(t) = 510^3 cos(100t + /4); v_x = 0,5 cos(100t + 3/4); а_x = 50 cos(100t + 5/4);

p_x = 510^2 cos (100t + 3/4).

Видно, что разные динамические переменные одного и того же осциллятора совершают колебания со сдвигом фаз по отношению друг к другу.

2. Закон изменения кинетической энергии:

E_к(t) = =sin²(t + ) = [ cos (2t + 2)], (#)

где E_{к, max} =  максимальное значение кинетической энергии шарика.

Закон потенциальной энергии: U(t) = =cos²(t + ) = [+ cos (2t + 2)], (# #)

где U_max = - максимальное значение потенциальной энергии пружины.

Кинетическая и потенциальная энергии изменяются с частотой 2, т.е. в два раза превышающей частоту колебаний координаты. Из сравнения (#) и (# #) следует, что кинетическая и потенциальная энергия изменяются в противофазе: когда потенциальная энергия достигает максимума, кинетическая энергия равна нулю и наоборот. При свободных гармонических колебаниях собственная частота осциллятора ² = , следовательно=. Полная механическая энергия не изменяется в процессе колебаний:

W = E_к(t) + U(t) = =.