Г.Н.Лобова

Электродинамика и распространение радиоволн

Омск - 2006

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Г.Н.Лобова

Электродинамика и распространение радиоволн

Учебное пособие

для студентов дневной, вечерней и заочной

форм обучения по специальностям

210201 Проектирование и технология радиоэлектронных средств,

включая специализацию «Проектирование антенн и

устройств СВЧ»;

210302 Радиотехника

по дисциплинам:

1. Техническая электродинамика,

2. Электродинамика и распространение радиоволн,

3. Распространение радиоволн.

Омск - 2006

Оглавление

Предисловие……………………………………………………………………….	5
Глава 1. Уравнения электромагнитного поля…………………………………...	6
Электромагнитное поле…………………………………………………… Электрические заряды……………………………………………………... Электрический ток…………………………………………………………. Закон сохранения заряда…………………………………………………... Закон Гаусса………………………………………………………………... Закон неразрывности магнитных силовых линий……………………….. Закон полного тока………………………………………………………… Ток смещения………………………………………………………………. Закон электромагнитной индукции………………………………………. Материальные уравнения электромагнитного поля…………………….. Поведение диэлектриков в электрическом поле………………………… Поляризационные и сторонние токи……………………………………... Поведение магнетиков в магнитном поле………………………………... Классификация сред……………………………………………………….. Уравнения Максвелла в комплексной форме……………………………. 1.16 Сводка уравнений Максвелла……………………………………………...	6 7 9 11 12 16 17 20 22 25 27 30 31 34 35 36
Глава 2. Граничные условия……………………………………………………...	38
Постановка задачи…………………………………………………………… Граничные условия для нормальных составляющих магнитного поля…. Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля…………………………………………………………………………… Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля…………………………………………………………………………… Граничные условия для тангенциальных составляющих электрического поля……………………………………………………………………………	38 38 39 40 42
Глава 3. Плоские электромагнитные волны и их свойства……………………..	43
Общие свойства волновых процессов……………………………………… Уравнения Гельмгольца…………………………………………………….. Свойства плоских волн при распространении в непоглощающих средах Теорема Умова-Пойнтинга………………………………………………….. Запаздывающие потенциалы………………………………………………... Распространение плоских электромагнитных волн в хорошо проводящих средах………………………………………………………….. Отражение и преломление плоской волны на границе раздела сред……. Приближенные граничные условия Щукина-Леонтовича………………... Излучение электромагнитных волн в свободное пространство…………..	43 46 47 51 52 56 58 62 62
Глава 4. Линии передачи электромагнитной энергии…………………………..	67
Направляемые электромагнитные волны………………………………… Падение плоской электромагнитной волны с вертикальной поляризацией на идеально проводящую плоскость……………………... Классификация направляемых волн……………………………………… Прямоугольный металлический волновод……………………………….. Поле волны Н10 в прямоугольном волноводе……………………………. Способы возбуждения волны Н-типа в прямоугольном волноводе……. Круглые волноводы………………………………………………………... Коаксиальные волноводы…………………………………………………. Однопроводная линия передачи………………………………………….. Полосковые линии передачи электромагнитной энергии………………. Объемные резонаторы……………………………………………………...	67 68 70 72 75 80 81 83 86 88 89
Глава 5. Распространение радиоволн…………………………………………….	96
Основные понятия…………………………………………………………… Распространение радиоволн в свободном пространстве………………….. Учет электродинамических параметров земной поверхности…………… Расчет радиотрассы УКВ диапазона земной волной над плоской поверхностью земли…………………………………………………………. Расчет радиотрассы СВ, ДВ, СДВ диапазонов при распространении земными волнами……………………………………………………………. Определение расстояния прямой видимости……………………………… Влияние тропосферы на распространение земных волн…………………. Распространение радиоволн в условиях пересеченной местности и при наличии препятствий………………………………………………………...	96 99 104 106 109 113 114 118
Рекомендуемая литература……………………………………………………….	123

Предисловие

Учебное пособие разработано для студентов разных форм обучения для освоения дисциплин «Электродинамика и распространение радиоволн», «Техническая электродинамика», «Распространение радиоволн». Пособие содержит учебный материал, соответствующий Государственным образовательным стандартам высшего профессионального образования для специальностей «Проектирование и технология радиоэлектронных средств», «Радиотехника».

В пособии сделан упор на физическую сущность излагаемого материала. Как известно, в основе электродинамики лежит система уравнений Максвелла, которая, в свою очередь, является теоретическим обобщением экспериментально установленных физических законов. Студент, изучивший курс общей физики, подготовлен к изучению материала предлагаемого пособия. Изложение материала снабжено отдельными примерами решения задач, входящих в содержание профессиональной подготовки студентов. Наиболее важные формулы заключены в прямоугольник. В процессе изучения теоретического материала следует на них обратить особое внимание.

Автор стремился изложить теоретический материал по электродинамике и распространению радиоволн простым и понятным студентам языком. Автор надеется, что изучение данного пособия студентами послужит пониманию, освоению и усвоению необходимого материала по электродинамике и распространению радиоволн.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность в подготовке рукописи данного учебного пособия выпускнице 2006г кафедры КПРА радиотехнического факультета ОмГТУ Карягиной Анне Анатольевне.

Глава 1. Уравнения электромагнитного поля

1. Электромагнитное поле

Как известно, объективная реальность, в которой существует человек, называется материей. Материя существует в двух формах: в виде вещества и в виде поля. Предметом нашего изучения является электромагнитное поле.

Под электромагнитным полем понимают особую форму материи, с помощью которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами. Электромагнитное поле, как и вещество, имеет следующие свойства: обладает массой, импульсом, переносит энергию, испытывает воздействие гравитационных сил.

Электромагнитное поле представляет собой взаимосвязь двух полей: электрического и магнитного. Разделение единого электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие имеет относительный характер. Источниками электромагнитного поля являются электрические заряды. Причем электрическое поле порождается электрическим зарядом, независимо от того находится он в покое или движется в выбранной системе координат. Магнитное поле порождается движущимся зарядом, т.е. электрическим током.

Относительный характер электромагнитного поля связан с выбором системы отсчета. Напомним, что система отсчета представляет собой совокупность элементов: тело отсчета, система координат и часы, служащие отсчету времени. Если в выбранной системе отсчета электрический заряд движется прямолинейно с постоянной скоростью, то он порождает и электрическое, и магнитное поле. Однако для наблюдателя, движущегося в направлении движения заряда с той же скоростью, заряд будет восприниматься неподвижным, и, следовательно, будет порождать только электрическое поле. Для наблюдателя это поле будет электростатическим, т.к. порождено неподвижным электрическим зарядом.

В природе, как известно, существуют положительные и отрицательные заряды. Элементарным положительным зарядом является заряд протона. Элементарным отрицательным – заряд электрона. Численные значения (модули) этих зарядов одинаковы, а знаки зарядов – разные. Численное значение элементарного заряда составляет q₀=1,610^-19 Кл.

Электрическое поле описывается вектором напряженности электрического поля и вектором индукции электрического поля. Магнитное поле описывается вектором напряженности магнитного поляи вектором индукции магнитного поля. Таким образом, в целом электромагнитное поле описывается четырьмя векторами,,,.

В международной системе СИ единицами измерения указанных физических величин являются следующие: напряженность электрического поля (Е) – вольт на метр (); индукция электрического поля (D) – кулон на квадратный метр (); напряженность магнитного поля (Н) – ампер на метр (); индукция магнитного поля (В) – тесла (Тл);

Электромагнитное поле распространяется в пространстве с течением времени с некоторой скоростью. В вакууме значение этой скорости соответствует значению скорости света с=310⁸ м/с. Поэтому векторы электромагнитного поля являются функциями пространственных координат и времени.

Источники электромагнитного поля (заряды) и векторные характеристики поля связаны между собой. Такая связь выражается с помощью соответствующих уравнений, которые выражают законы электродинамики. Приступим к более подробному рассмотрению этих законов. Отметим, что запись всех законов приведена в международной системе измерений СИ.

2. Электрические заряды

Электродинамика изучает макроскопические заряженные тела. Минимальный заряд, существующий в природе в свободном состоянии, равен величине заряда электрона. Заряд реально заряженного тела кратен заряду электрона. Поэтому суммарный заряд тела определяется формулой

, (1.1)

где q_i – элементарный заряд, входящий в состав тела.

Для описания заряда и его пространственного распределения введем соответствующие характеристики, к рассмотрению которых мы перейдем ниже.

Характеристики заряженного тела	Точечный заряд
	Объемная плотность заряда
	Поверхностная плотность заряда
	Линейная плотность заряда

Под точечным зарядом понимают заряд тела, размеры которого много меньше расстояния, на котором оно рассматривается в выбранной системе координат.

Если заряд распределен по объему тела, то вводят понятие объемной плотности заряда. Объемная плотность заряда – это заряд, содержащийся в единице объема. Обозначается объемная плотность заряда _е и определяется формулой

. (1.2)

Объемную плотность заряда измеряют в кулонах на кубический метр ().

Очевидно, заряд элементарного объема определяется формулой

. (1.3)

Полный заряд тела, имеющего объем V, равен сумме элементарных зарядов и определяется

, (1.4)

где q_T – полный заряд тела, _е - объемная плотность заряда, dV – элементарный объем.

В ряде случаев заряд расположен по поверхности тела. Поэтому удобно пользоваться поверхностной плотностью заряда . Поверхностная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единичную площадь заряженного тела. Поверхностная плотность заряда определяется формулой

, (1.5)

где q – заряд, S – площадь поверхности. Единицей измерения поверхностной плотности заряда является кулон на квадратный метр ().

Очевидно, заряд элементарной поверхности находится из выражения

. (1.6)

Полный заряд, находящийся на поверхности тела площадью S, определяется формулой

. (1.7)

В случае расположения заряда вдоль нити вводят линейную плотность заряда. При таком идеализированном распределении заряда толщину нити принимают нулевой. Линейная плотность заряда – это заряд, приходящийся на единицу длины заряженной нити. Линейная плотность заряда определяется формулой

, (1.8)

где q – заряд, l – длина элемента нити. Единицей измерения линейной плотности заряда является кулон на метр ().

Исходя из данного определения, заряд элемента длины нити определяется выражением

. (1.9)

Полный заряд, приходящийся на нить длиной L, определяется формулой

. (1.10)

Отметим, в реальных условиях распределение заряда является объемным.

Точечные заряды взаимодействуют между собой по закону Кулона, который для вакуума имеет вид

, (1.11)

где - значения зарядов,r – расстояние между зарядами, - единичный радиус-вектор.

Понятие точечного заряда, поверхностной и линейной плотности заряда являются идеальными, использование которых существенно помогает упростить изучение содержания электродинамики.

3. Электрический ток

Проводящая среда характеризуется, как известно, наличием свободных заряженных частиц. Если в проводящей среде создано электрическое поле напряженностью, то заряды приходят в упорядоченное движение, т.к. электрическое поле действует на каждый заряд силой

. (1.12)

Формула (1.12) показывает, что при положительном заряде q векторы иявляются сонаправленными. В случае отрицательного заряда векторыинаправлены в противоположные стороны.

Если на тело действует сила, то тело приобретает ускорение, величина и направление которого определяется вторым законом Ньютона

, (1.13)

где - ускорение,- действующая сила,m – масса тела.

Таким образом, в проводящей среде свободные заряды под действием напряженности электрического поля приходят в упорядоченное движение, т.е. возникает электрический ток.

Электрический ток – это направленное движение зарядов. Для описания электрического тока вводят характеристики: сила тока и плотность тока.

Сила тока – это заряд, протекающий в единицу времени через поперечное сечение проводника. Обозначается сила тока I и определяется формулой

. (1.14)

Сила тока I является скалярной величиной и измеряется в амперах

, (1.15)

т.е.

.

Для характеристики интенсивности движения зарядов и учета направления их движения ввели понятие объемной плотности электрического тока или часто говорят о плотности тока.

Плотность электрического тока - это векторная величина, направленная вдоль напряженности электрического поля и численно равная отношению силы тока к размеру площади поверхности, через которую он протекает. Плотность электрического тока определяется формулой

, (1.16)

где - плотность тока,- единичный вектор,I – сила тока, S – площадь поверхности. Единицей измерения плотности тока является ампер на квадратный метр

. (1.17)

В общем случае плотность тока неодинакова в разных точках пространства и является векторной функцией координат, т.е.

. (1.18)

Характеристики электрического поля, т.е. сила тока и плотность тока, связаны между собой. Такая связь выражается формулой

, (1.19)

где I – сила тока, протекающая через поверхность S, - плотность тока,- направленная элементарная площадка площадьюdS.

Заметим, что ориентацию элементарной площадки dS учитывают с помощью единичного нормального вектора, проведенного к площадке (рис. 1.1).

Рис. 1.1 Нормаль, проведенная к элементарной площадке

Поэтому вектор определяется формулой

. (1.20)

В формуле (1.19) произведение представляет собой поток вектора плотности тока, проходящего через указанную поверхность

. (1.21)

Иными словами, электрический ток есть поток вектора плотности тока. Добавим, что электрический ток, обусловленный направленным движением реальных заряженных частиц, называется током проводимости.

По способности проводить электрический ток все среды классифицируют на проводники, диэлектрики и полупроводящие среды.

Проводники характеризуются способностью проводить электрический ток. Для характеристики проводящей среды ввели понятие удельной проводимости , которая зависит от физических свойств материала, температуры. Удельная проводимость измеряют в сименсах на метр ();

.

Диэлектрики не проводят электрический ток. Полупроводящая среда одновременно обладает свойствами и проводника, и диэлектрика.

Проводящей средой могут быть твердые тела, жидкости и газы. К проводникам в виде твердого тела относят металлы, в которых свободными зарядами являются свободные электроны. К жидкостям, проводящим электрический ток, относят кислоты, растворы солей, щелочи. В них свободными заряженными частицами являются ионы: положительные и отрицательные. В газах, при соответствующих условиях, проводят ток и ионы, и электроны.

Для конкретной точки проводящей среды связь между векторами напряженности электрического поля и плотности тока выражается законом Ома в дифференциальной форме:

, (1.22)

где - плотность тока, - удельная проводимость, - напряженность электрического поля.

Из формулы (1.22) видно, что вектор плотности электрического поля сонаправлен с вектором напряженности электрического поля, т.к. удельная проводимость вещества является положительной величиной.

4. Закон сохранения заряда

Результаты многократно проведенных экспериментов показали, что электрические заряды ни при каких условиях самопроизвольно не могут бесследно исчезать или зарождаться. Иными словами, экспериментально установлен закон сохранения заряда: в замкнутой системе полный заряд остается величиной постоянной, т.е.

. (1.23)

Напомним, что система называется замкнутой, если тела, входящие в рассматриваемую систему, взаимодействуют только между собой, а с внешними телами не взаимодействуют.

Под полным зарядом подразумевают суммарный заряд всех заряженных тел, входящих в систему. На рисунке 1.2 показана замкнутая система, состоящая из четырех заряженных тел, обладающих соответственно зарядами q₁, q₂, q₃, q₄.

Рис. 1.2 Замкнутая система зарядов

Полный (суммарный) заряд системы равен

(1.24)

или такое сложение записывают в виде

, (1.25)

где - суммарный заряд системы,q_i – заряд тела этой системы, i – индекс, указывающий номер тела, входящего в систему,  - знак суммы.

Закон сохранения заряда является фундаментальным физическим законом.

5. Закон Гаусса

Закон Гаусса устанавливает связь между электрическим зарядом и напряженностью электрического поля , которое он порождает.

Пусть внутри некоторого объема V, имеющего поверхность S, заключен суммарный электрический заряд q_ (рис. 1.3).

Рис. 1.3 Заряд, заключенный внутри объема V

Предварительно введем понятие потока вектора напряженности электрического поля в виде скалярного произведения двух векторов

. (1.26)

Для пояснения содержания понятия потока вектора напряженности электрического поля представим две параллельные плоскости, одна из которых заряжена положительно, т.е. имеет поверхностную плотность заряда +, вторая, соответственно, отрицательно -  (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Две параллельные заряженные плоскости

Пусть в пространстве между плоскостями расположена элементарная площадка , которая может принимать любую ориентацию. Очевидно, если вектор нормали, проведенный к площадке, сонаправлен (параллелен) вектору(), то площадкупересекает максимальное число линий напряженности электрического поля.

Если изменить ориентацию площадки таким образом, что , т.е. угол между нормалью и направлением векторасоответствует 90, то при таком расположении силовые линии электрического поля не пересекают поверхности рассматриваемой площадки. В этом случае поток вектора напряженности электрического поля

, (1.27)

т.е. поток вектора равен нулю, силовые линии не пересекают поверхность.

Рис. 1.4 соответствует случаю максимального значения потока вектора напряженности электрического поля, т.к. векторы иявляются сонаправлеными.

Можно заключить, что понятие потока вектора показывает количество линий, пересекающих рассматриваемую поверхность.

Закон Гаусса математически записывают в виде

, (1.28)

где - напряженность поля,- направленная площадка,- суммарный заряд, заключенный внутри поверхностиS, - диэлектрическая постоянная.

Скалярное произведение представляет собой поток вектора напряженности электрического поля, проходящий через площадку. Интегралозначает, что рассматриваем полный поток вектора через всю замкнутую поверхность.

Закон Гаусса можно записать с помощью вектора индукции электрического поля. Для этого, уравнение (1.28) нужно несколько видоизменить, освободившись от знаменателя, т.е.

, (1.29)

но произведение

, (1.30)

поэтому можно записать

. (1.31)

Закон, записанный с помощью интеграла вдоль замкнутой поверхности, называется законом Гаусса в интегральной форме. Такая форма указывает на выполнение закона в целом, независимо от свойств среды.

Заряды, как вы знаете, бывают положительные и отрицательные. Кроме того, нормаль к поверхности проводится внешняя (рис. 1.5). Для расчета потока вектора угол между вектороми нормальюв скалярном произведении отсчитывается от нормали к направлению вектора напряженности. Если суммарный заряд является положительным, то угол между внешней нормалью и напряженностью электрического поля будет меньше 90, > 0, значит> 0 (рис. 1.5а).

а) б) в)

Рис. 1.5 Примеры определения потока вектора напряженности электрического поля

Если заряд отрицательный, то угол <0. В случае, если суммарный заряд заключенный в рассматриваемом объеме, равен нулю, то и поток векторасквозь замкнутую поверхность равен нулю (рис. 1.5в). В этом случае число силовых линий, входящих в объемV равно числу силовых линий , выходящих из этого объема.

Часто необходимо знать проявление закона в конкретных точках рассматриваемого пространства. Для этого заменим интеграл по поверхности через интеграл по объему на основе известного соотношения векторного анализа

_{. (1.32)}

Таким образом, левую часть формулы (1.28) преобразовали, заменив интеграл по поверхности на интеграл по объему. Правую часть можно записать с помощью объемной плотности заряда_е. Суммарный заряд в формуле (1.31) выразим через объемную плотность заряда, т.е.

. (1.33)

Тогда от интегральной формы записи закона перейдем к дифференциальной форме

, (1.34)

Так как мы рассматриваем произвольный объем, то последнее равенство выполняется, если подынтегральные выражения равны между собой. Тогда можно записать

. (1.35)

Формулу (1.35) можно также записать в виде

, (1.36)

т.е. пришли к формуле:

. (1.37)

Формулы (1.35) и (1.37) называют законом Гаусса в дифференциальной форме.

Физически эти соотношения означают, что источниками электрического поля являются только электрические заряды. Иными словами, электрическое поле порождается электрическими зарядами.

Подчеркнем, что нормаль к элементу , выделенному по поверхности объема, проводится внешняя (рис. 1.6).

Рис. 1.6 Расположение внешней нормали к произвольной поверхности

Заряд в объеме может быть расположен произвольным образом. Кроме того, заряд внутри объема может изменяться с течением времени по произвольному закону.

Как известно, оператор дивергенции определяется как .

Дивергенция является пределом отношения потока вектора через замкнутую поверхность S к величине объема V, ограниченной этой поверхностью. Дивергенция отлична от нуля, если силовые линии поля начинаются или заканчиваются в данной точке. Закон Гаусса указывает, что силовые линии поля могут начинаться или заканчиваться только в точках пространства, где существуют заряды. Если во всех точках рассматриваемой области заряд отсутствует, т.е. q = 0, то силовые линии поля пронизывают эту область насквозь, либо являются замкнутыми.

Таким образом, в точке пространства, в которой находится положительный заряд, т.е. q>0, является «истоком» векторного электрического поля.

Если заряд отрицательный, т.е. q<0,(соответственно, _е<0), то и . Такая точка пространства является «стоком» векторного электрического поля. На рис. 1.7 приведены соответствующие графические пояснения

Рис. 1.7 К определению понятия дивергенция

Закон Гаусса является фундаментальным, из него можно получить аналитическое выражение закона Кулона.

6. Закон неразрывности магнитных силовых линий

Магнитное поле, как установлено, порождается движущимся электрическим зарядом. Магнитное поле, описываемое векторами ,. Магнитное поле можно представить в виде магнитных силовых линий. В свою очередь, магнитные силовые линии можно отождествить в виде воображаемых линий тока несжимаемой жидкости.

Для примера возьмем полосовой магнит, имеющий северный и южный магнитные полюсы. Картина силовых линий магнитного поля показана на рисунке 1.8.

Рис. 1.8. Магнитное поле полосового магнита

Внутри области расположения силовых линий магнитной индукции расположим объем в виде цилиндра. В общем случае можно взять объем произвольной формы. Т.к. силовые линии магнитного поля являются замкнутыми, то ясно, что поток втекающей в выделенный цилиндр жидкости равен потоку вытекающей жидкости из этого объема. Поэтому можно записать равенство нулю потока вектора магнитной индукции в виде:

. (1.38)

Если выполнить операции, аналогичные приведенным в пункте 1.5, то можно получить закон неразрывности магнитных силовых линий в дифференциальной форме

. (1.39)

Другими словами, векторное магнитное поле не имеет источников, т.е. в природе не существует реальных магнитных зарядов.

7. Закон полного тока

Как известно, если по проводнику протекает электрический ток, то в пространстве возникает магнитное поле. Существование магнитного поля вокруг всякого проводника с током доказал в начале XIX века Х.Эрстед. Закон полного тока выражает связь между электрическим током и порождаемым им магнитным полем.

Допустим, что имеется несколько проводников, по каждому из которых протекает соответствующий электрический ток (рис. 1.9). Силой I₁, I₂, I₃,… I_N. Возьмем произвольный контур и охватим им проводники с током. Контур ограничивает поверхность S. Выберем направление обхода контура. Для этого предварительно на воображаемой площади S произвольно выберем элементарную площадку , к которой восстановим единичный нормальный вектор. Направление обхода контура выберем так, чтобы оно совпадало с вращательным движением правовинтового буравчика при условии, что поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора нормали, восстановленного к площадке(рис. 1.9).

Рис. 1.9 Контур L, охватывающий проводники с током

Добавим, что рассматриваемая совокупность токов имеет дискретный характер, т.к. состоит из отдельных проводников, по которым текут токи. Электрический ток может иметь также непрерывный характер и представлять собой, например, направленный поток электронов.

Закон полного тока выражает связь между силой протекающего суммарного тока через замкнутый контур длиной L и напряженностью магнитного поля, которое порождается этим током.

В интегральной форме закон полного тока выражается формулой

, (1.40) где - вектор напряженности магнитного поля,- направленный элементарный линейный участок, взятый вдоль контура,- суммарная сила тока. Интеграл произведенияпо замкнутому контуру, называется циркуляцией вектора.

Отметим, если контур охватывает непрерывный пространственный поток движущихся заряженных частиц с плотностью электрического тока , то сила полного тока, пронизывающего контур, определяется выражением

. (1.41)

Произведение выражает поток вектора плотности тока, пронизывающего поверхностьdS.

Часто на практике для решения задач следует применять дифференциальную форму закона полного тока. Для записи закона полного тока в дифференциальной форме необходимо интеграл по замкнутому контуру L (циркуляцию вектора ) выразить через интеграл по площадиS, которую охватывает замкнутый контур. Для этого воспользуемся теоремой Стокса, которая в векторном анализе выражается равенством:

. (1.42)

Для нашего случая теорема Стокса запишется в виде

. (1.43)

Тогда формулу (1.40) преобразуем на основе выражений (1.42) и (1.43), вследствие чего получим соотношение

. (1.44)

Т.к. контур L взят произвольным образом, то интегралы в левой и правой частях равенства будут равны, если равны подынтегральные выражения. В результате запишем

. (1.45)

Формула (1.45) выражает закон полного тока в дифференциальной форме.

Рассмотрим пример расчета напряженности магнитного поля, созданного постоянным электрическим током протекающим по прямолинейному проводнику. На рисунке 1.10 показан отрезок прямолинейного проводника, по которому протекает электрический ток силой I.

Рис. 1.10 Расположение силовых линий магнитного поля

Постоянный электрический ток силой I порождает постоянное магнитное поле, которое характеризуется напряженностью . Силовые линии напряженности магнитного поляпредставляют собой замкнутые окружности. Направление силовых линий напряженностидля прямолинейного проводника с током определяют с помощью правила буравчика. Для этого вращаем правовинтовой буравчик по часовой стрелке таким образом, чтобы его поступательное движение совпадало с направлением движения электрического тока, тогда направление вращательного движения укажет направление силовой линии.

Закон полного тока в интегральной форме имеет вид .Силовая линия представляет собой окружность с центром, лежащем на оси проводника с током. Обозначим радиус окружности черезr. Учтем, что во всех точках окружности (контура) напряженность поля имеет одно и то же значение, т.к. все радиальные направления равноправны. Поэтому циркуляцию векторазапишем в виде

. (1.46)

На основании закона полного тока циркуляция вектора равна протекающему току, т.е. имеем, отсюда выразим напряженность магнитного поля

. (1.47)

Таким образом, получили формулу для определения значения напряженности магнитного поля, созданного прямолинейным проводником, по которому протекает постоянный электрический ток силой I. Направление силовых линий определяют, как сказано выше, с помощью правила буравчика.

Направление вектора для любой точки пространства определяют с помощью касательной, проведенной в данной точке пространства к силовой линии. На рис. 1.11 показано сечение проводника с силой тока I, текущего от нас (направление тока показано крестиком) и силовая линия , представляющая собой окружность радиусаr.

Рис. 1.11 Определение направления магнитного поля в конкретной точке

В точках A, C, D показано направление вектора . Значение напряженности магнитного поля является одинаковым, поэтому длина всех векторов,,также одинакова, а направления в конкретных рассматриваемых точках будут разными, т.к. направлены по касательным.

8. Ток смещения

Как известно, протекание электрического тока по проводнику вызывает в пространстве появление магнитного поля. Также установлено, что не только ток проводимости порождает магнитное поле. Иными словами, не только ток проводимости является источником магнитного поля.

Магнитное поле порождается также током смещения, который имеет совершенно иную природу, чем ток проводимости. Напомним, что электрический ток проводимости обусловлен направленным движением реальных заряженных частиц, движущихся под воздействием электрического поля.

Для выяснения понятия «ток смещения» рассмотрим электрическую цепь, содержащую плоский конденсатор (рис. 1.12). Пусть одна обкладка конденсатора имеет в данный момент времени положительный заряд +q, вторая, соответственно, - отрицательный –q. Внутри конденсатора между обкладками создается электрическое поле напряженностью .

Рис. 1.12 Электрическое поле внутри конденсатора

Применим к одной из обкладок конденсатора закон Гаусса. Для этого мысленно окружим положительно заряженную обкладку замкнутой поверхностью S. Закон Гаусса имеет вид

.

Тогда величина заряда, находящегося внутри замкнутой поверхности (положительной обкладки), можно записать

.

Так как через замкнутую цепь, содержащую конденсатор, течет переменный ток, то можно выразить величину этого тока:

.

Величинаимеет размерность плотности тока, которая и была названа плотностью тока смещения. Итак, плотность тока смещения определяется формулой

, (1.48)

тогда сила тока смещения определяется выражением

(1.49)

Таким образом, как только в пространстве (среде) возникает изменяющееся с течением времени электрическое поле, то такое изменение называется плотностью тока смещения и оно порождает также магнитное поле. Подчеркнем, что хотя природа тока проводимости, обусловленная направленным движением заряженных частиц, и тока смещения, обусловленная изменением вектора напряженности электрического поля, различна, эти токи играют роль эквивалентных источников магнитного поля. Иными словами, ток проводимости и ток смещения порождают в пространстве магнитное поле, т.е. являются источниками магнитного поля.

Вышеизложенное указывает, что если в пространстве имеется изменяющееся электрическое поле, то возникает магнитное поле, которое обнаруживается экспериментально. Рассмотрим пример, показанный на рис. 1.13. Пусть в пространстве имеется электрическое поле, которое в одном случае возрастает (а), в другом – убывает с течением времени (б). Электрическое поле задано с помощью вектора электрического смещения , изменение электрического поля с течением времени соответствует наличию производной, которая, в свою очередь, определяет плотность тока смещения, так как. На рис. 1.13а графически показан случай усиления электрического поля с течением времени, на рис. 1.13б – ослабления поля.

Рис. 1.13 Варианты определения плотности тока смещения

Плотность тока смещения порождает магнитное поле, которое изображают с помощью замкнутых силовых линий. Направление обхода замкнутой силовой линии определяют правовинтовым буравчиком, т. е. буравчик вращают по часовой стрелке. Поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора плотности тока смещения , а направление вращательного движения правовинтового буравчика укажет искомое направление обхода. В первом случае (рис. 1.13а) направления векторовисовпадают, во втором – направления векторовиявляются противоположными.

9. Закон электромагнитной индукции

В истории человечества открытие закона электромагнитной индукции сыграло важную роль, так как именно этот закон дал толчок развитию всей электротехники, позволил создать способы получения электромагнитной энергии, разработать различные типы двигателей и многочисленных устройств. В основе всей электротехники лежит открытие М. Фарадея, который в 1831 году обнаружил появление электрического тока в замкнутом контуре, находящемся в изменяющемся магнитном потоке.

В чем заключается сущность закона электромагнитной индукции? Предварительно напомним сущность понятия потока электромагнитной индукции. Поток вектора электромагнитной индукции в соответствии с определением потока (любого) вектора записывается в виде

, (1.50)

, (1.50)

где - поток вектора,- индукция магнитного поля,- направленная площадка, ограниченная контуром,- нормаль, проведенная к площадке,- угол между направлениями вектора индукции магнитного поляи нормали.

Магнитный поток измеряется в веберах .

Из формулы (1.50) видно, что поток вектора магнитной индукции можно изменить с течением времени тремя способами, связанными с изменением:

• модуля вектора магнитной индукции , т.е. изменением численного значения индукции поля;

• площади контура;

• угла между направлением вектора и нормали, восстановленной к площадке, т. е. поворотом контурав магнитном поле произвольным образом.

Все рассмотренные способы приводят к изменению магнитного потока .

Фундаментальный закон электромагнитной индукции устанавливает связь между изменяющимся магнитным потоком и возникающим электрическим полем. Пусть имеется изменяющееся магнитное поле, причем его изменение связано непосредственно с изменением вектора магнитной индукции . Соответственно, имеется изменяющийся магнитный поток. В таком поле рассмотрим произвольный замкнутый контур длиной(рис. 1.14).

Рис. 1.14 Замкнутый контур в магнитном поле

В курсе общей физики закон электромагнитной индукции записывается в виде:

, (1.51)

где - ЭДС индукции,- изменение потока магнитной индукции,- время, в течение которого произошло изменение магнитного потока. Знак минус выражает правило Ленца, указывающее на противодействующий характер магнитного поля, возникающего вследствие индукции по отношению к внешнему магнитному полю.

В интегральной форме закон электромагнитной индукции имеет вид

, (1.52)

где - напряженность электрического поля,- направленный элемент длины проводника,- магнитная индукция,- площадь, ограниченная контуром длиной.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля, т. е. выражает собой электродвижущую силу (ЭДС), возникающую в контуре под действием которой появляется электрический ток. Отметим, что контур может быть как мысленно рассматриваемый, так и реально взятый в виде замкнутого проводника.

Для получения закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме необходимо воспользоваться теоремой Стокса, в результате применения которой, интеграл по длине контура преобразуют в интеграл по площади:

.

Закон электромагнитной индукции можно записать в виде

.

Так как взят произвольный контур, то интегралы будут равны, если подынтегральные выражения равны, т. е.

. (1.53)

Формула (1.53) выражает дифференциальную форму закона электромагнитной индукции, которая указывает на связь между электрическим и магнитным полем в каждой точке пространства.

Оператор содержит только пространственные производные, в правой части формулы (1.53) членвыражает производную по времени. Отсюда видно, что характер изменения напряженности магнитного поляс течением времени определяет характер изменения напряженности электрического поляв пространстве.

Таким образом, закон электромагнитной индукции выражает фундаментальную связь между изменением магнитного поля в пространстве с течением времени и возникновением электрического поля.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Пусть электрическое поле отсутствует, т.е. напряженность электрического поля . Тогдаи. Равенство производной нулю означает, что магнитная индукцияможет быть только постоянной величиной, т. е.. Полученные выражения показывают, что в отсутствии электрического поля, магнитное поле может быть только постоянным.

Пример 2. Пусть имеется изменяющееся магнитное поле. Это означает, что и, т. е. существует производная по времени. Тогда согласно закону электромагнитной индукции, т.е.. Отсюда следует, что.

Таким образом, изменение во времени магнитного поля приводит к возникновению электрического поля.

Пример 3. Определим связь между направлениями силовых линий электрического и магнитного поля. Пусть имеется изменяющееся магнитное поле, как показано на рис. 1.15. В первом случае (рис. 1.15а) поле возрастает, во втором (рис. 1.15б) – убывает.

Рис. 1.15 Направление силовых линий наведенного магнитного поля

Поместим замкнутый контур в такое изменяющееся магнитное поле. Так как магнитный поток, пересекающий контур, изменяется, то возникает электрическое поле напряженностью , в контуре будет наводиться ЭДС, и возникнет электрический ток. Возникший ток будет иметь такое направление, что порождаемое им магнитное поле будет противодействовать первоначальному внешнему магнитному полю. В результате, в случае (рис. 1.15а) векторыисонаправлены, силовые линии напряженности электрического поля имеют направление против часовой стрелки; в случае рис. 1.15б векторыинаправлены в противоположные стороны, силовые линии напряженности электрического поля направлены по часовой стрелке

Подчеркнем, что наличие проводящего контура не является обязательным. Ток, индуцированный в проводящем контуре, возникает в результате силового действия напряженности электрического поля на свободные заряды, существующие в проводнике. Возникновение самого электрического поля не связано с наличием реального контура. Если отсутствует контур, то электрическое поле возникает не только в вакууме, но и в любой другой среде. Именно такую закономерность утверждает закон электромагнитной индукции.

Электрическое поле, порождаемое переменным магнитным полем, является вихревым. Силовые линии такого поля являются замкнутыми.

Уравнения Максвелла, выражающие закон электромагнитной индукции в интегральной и дифференциальной формах, содержат характеристики магнитного и электрического полей. Иными словами, уравнения Максвелла никак не связаны с материальным контуром, они в чистом виде содержат поля и отражают обобщенный характер выявленных закономерностей. Уравнения Максвелла являются полевыми уравнениями и связывают поле в данном месте пространства в конкретный момент времени. Переменное магнитное поле создает вокруг себя вихревое электрическое поле.

9. Материальные уравнения электромагнитного поля для вакуума

Рассмотренные выше четыре уравнения Максвелла образуют фундаментальную систему уравнений электродинамики. Такая система уравнений справедлива для любой среды, в которой происходит распространение полей. Однако, чтобы система уравнений была полной и однозначно определяла поле в любой точке среды, необходимо добавить уравнения, учитывающие свойства самой среды, которые проявляются в характере связи между характеристиками поля, то есть между и,и. Уравнения, устанавливающие связь между указанными характеристиками поля с учетом свойств среды, называются материальными уравнениями.

Среду, в которой происходят электрические и магнитные явления, характеризуют диэлектрической проницаемостью , магнитной проницаемостьюи удельной проводимостью σ.

В вакууме материальные уравнения имеют вид:

,

, (1.54) где - диэлектрическая постоянная,- магнитная постоянная.

С точки зрения способности проводить электрический ток все среды делят на проводники, диэлектрики, и полупроводники.

Проводники – это вещества, способные проводить электрический ток, обладают удельной проводимостью (сименс на метр).

Диэлектрики – это вещества, не способные проводить электрический ток. Диэлектрики характеризуются удельной проводимостью .

Рис. 1.16 Классификация сред по способности проводить электрический ток

Полупроводники – это вещества, которые обладают одновременно и свойствами проводника, и свойствами диэлектрика. Для полупроводников удельная проводимость изменяется в пределах . На рис. 1.16 показано разделение веществ по значению удельной проводимости.

Во многих задачах электродинамики удобно реальные проводники и диэлектрики заменить идеальными проводниками и диэлектриками. В этом случае, для идеального проводника принимаем σ=∞, идеального диэлектрика .

Поведение проводников в электрическом поле рассмотрено выше, где выяснено, что под действием внешнего электрического поля в проводнике наводится ток проводимости в соответствии с дифференциальным законом Ома, т.е. . Влиянием магнитного поля пренебрегаем.

9. Поведение диэлектриков в электрическом поле

Представляет интерес поведение диэлектрика, помещенного во внешнее электрическое поле. Напомним, что все вещества состоят из молекул. Молекулы состоят из атомов. Атом состоит из положительно заряженного ядра и электронной оболочки. Атом является нейтральной структурой, т.е. его заряд равен нулю, т.к. число электронов равно числу протонов ядра. С точки зрения строения молекул все диэлектрики можно разделить на два класса: полярные и неполярные.

Полярные диэлектрики – это диэлектрики, состоящие из полярных молекул, у которых центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают между собой. У полярных диэлектриков можно выделить два полюса: положительный и отрицательный. Такая система эквивалентна диполю. Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине, но разных по знаку зарядов и, расположенных на некотором расстоянии. Такой диполь схематично показан на рис. 1.17.

Рис. 1.17 Диполь

Электрический диполь характеризуется дипольным моментом

, (1.55)

где - заряд,- расстояние между положительным и отрицательным зарядами. Дипольный момент направлен от отрицательного к положительному заряду. Дипольный момент измеряется в Кулонах на метр ().

Таким образом, дипольным моментом изначально обладают полярные диэлектрики. Отметим, что к полярным диэлектрикам относятся вода, спирт, некоторые твердые вещества (полихлорвинил).

Неполярные диэлектрики – это диэлектрики, состоящие из молекул, у которых центры тяжести положительного и отрицательного заряда совпадают. Неполярные диэлектрики не обладают собственным дипольным моментом. К неполярным диэлектрикам относят большинство газов, многие твердые диэлектрики (кварц, стекло, полиэтилен). Принадлежность молекулы к тому или другому типу диэлектрика определяется ее внутренней структурой.

Рассмотрим поведение диэлектриков, помещенных в электрическое поле. Первоначально разберем сущность происходящего физического явления для полярных молекул. Если внешнее электрическое поле отсутствует, то молекулы в виде электрических диполей ориентированны хаотично в пространстве, как показано на рис. 1.18а.

Рис. 1.18 Поведение полярных молекул в электрическом поле

Если поместить диэлектрик в электрическое поле напряженностью , то на каждый заряд диполя со стороны поля будет действовать кулоновская сила (рис. 1.18б). В результате действия сил диполь начинает разворачиваться так, чтобы собственный дипольный момент приобрел преимущественную ориентацию относительно поля(рис. 1.18в).

Пусть в единице объема содержится диполей (молекул), общий вектор поляризацииопределяется формулой

, (1.56)

где - концентрация дипольных молекул,- элементарный дипольный момент,- суммарный дипольный момент.

Рассмотрим поведение неполярного диэлектрика в электрическом поле. В отсутствии электрического поля центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают, так как заряды имеют единый центр тяжести. Схематичное изображение неполярной молекулы показано на рис. 1.19а.

Рис. 1.19 Поведение неполярной молекулы в электрическом поле

При внесении неполярной молекулы в электрическое поле на каждый заряд со стороны электрического поля действует кулоновская сила. Силой действия на положительный заряд (ядро) следует пренебречь, так как масса протона (положительного заряда) больше массы электрона почти в 2000 раз. Сила, действующая со стороны электрического поля на электрон, приложена к электрону и направлена в противоположную сторону относительно напряженности электрического поля (). В результате действия такой силы орбита электрона смещается вниз на расстояние(рис. 1.19б). В результате смещения орбиты электрона центры тяжести положительного и отрицательного зарядов не будут совпадать. Под действием внешнего поля центр тяжести отрицательного заряда сместится вниз, в результате чего в молекуле индуцирован (навелся) дипольный момент. Как только электрическое поле исчезнет, то электрон вернется на свою прежнюю орбиту и наведенный дипольный момент исчезнет (, так как).

На основе вышеизложенного дадим определение понятию “поляризация диэлектриков”. Поляризация диэлектриков – это процесс возникновения в диэлектриках состояния, характеризующегося наличием дипольного момента в любом элементе объема под действием внешнего электрического поля.

Количественно явление поляризации диэлектриков описывается вектором поляризации(суммарный дипольный момент). Для большинства веществ между вектором поляризациии напряженностью внешнего электрического полясуществует прямо пропорциональная зависимость, которая записывается в виде:

, (1.57)

где - диэлектрическая восприимчивость вещества.

В электродинамике для описания явлений, происходящих в диэлектрике, вводят вектор электрической индукции или вектор электрического смещения

. (1.58)

подставим формулу (1.57) в (1.58), получим

. (1.59)

Выражение в скобках формулы (1.59) представляет абсолютную диэлектрическую проницаемость

. (1.60)

Вектор индукции электрического поля можно записать в виде .

На практике часто используют относительную диэлектрическую проницаемость ε, которая определяется выражением

. (1.61)

В большинстве случаев нет необходимости в детальном рассмотрении процесса поляризации диэлектриков. В таблице 1.1 приведены значения относительной диэлектрической проницаемости для некоторых диэлектриков.

Таблица 1.1 Значения относительной диэлектрической проницаемости

Материал	Относительная диэлектрическая проницаемость,
Фторопласт Полиэтилен Полистирол Плавленый кварц	2,08 2,25 2,56 3,8

Из-за поляризации внутри диэлектрика создается поле напряженностью,

направление которого противоположно направлению внешнего электрического поля . Рассмотрим пример.

Пример 4. Электрическое поле напряженностью создано плоским конденсатором (рис. 1.20).

Рис. 1.20 Диэлектрик, находящийся в электрическом поле конденсатора

В пространство между пластинами конденсатора помещен диэлектрик. В результате поляризации на боковых поверхностях диэлектрика индуцируется заряд, с одной стороны – отрицательный, с другой – положительный. За счет наведенного связанного заряда внутри диэлектрика создается поле напряженностью . Таким образом, внешнее поленаправлено слева направо, а индуцированное полеза счет поляризации направленно в противоположную сторону. Результирующее поле внутри диэлектрикабудет меньше напряженности внешнего электрического поля и определяется формулой:

. (1.62)

Существуют диэлектрики, которые в отсутствие внешнего электрического поля способны самопроизвольно образовывать поляризованные области (домены). Такие диэлектрики называются сегнетоэлектриками или ферроэлектриками. Сегнетоэлектрики имеют относительную диэлектрическую проницаемость , которая может составлять несколько тысяч единиц. К сегнетоэлектрикам относится, например, титанат бария.

9. Поляризационные и сторонние токи

Под действием внешнего электрического поля напряженностью в процессе поляризации диэлектриков происходит направленное движение заряженных частиц. Такое направленное движение зарядов в диэлектрике представляет собойполяризационный ток. Отметим, что принципиальной разницы между поляризационным током и током проводимости не существует.

Поляризационный ток характеризуют плотностью поляризационного тока, которая определяется формулой

. (1.63)

Ранее мы выяснили физический смысл плотности токов проводимости и смещения. Поэтому теперь мы можем более подробно записать формулу закона полного тока , где- суммарная плотность тока и представляет собой сумму всех существующих типов плотности тока. Таким образом, можно записать

(1.64)

Следует также учесть плотность стороннего тока , который возникает вследствие действия сторонних электродвижущих сил. Рассмотрим действие сторонних электродвижущих сил более подробно.

Ток проводимости обусловлен действием внешнего электрического поля на свободные заряженные частицы с силой . Сила, действующая со стороны поля на частицу, совершает работу по ее перемещению на расстояние, т.е. работа, совершаемая электрическим полем, определяется. При этом происходит затрата энергии со стороны электрического поля. Для пополнения энергии поля необходимо наличие сил, которые не имеют никакого отношения к электромагнитному полю и перемещают заряды против сил поля. Такие силы называютсясторонними электродвижущими силами. Работа сторонних сил на участке отрицательна, т. е. сторонние силы увеличивают энергию электромагнитного поля. Роль сторонних сил могут играть любые силы неэлектрической природы. Ими могут быть механические силы, силы химического взаимодействия и другие.

Учитывая плотность тока сторонних электродвижущих сил, закон полного тока в дифференциальной форме, следует записать

.

Учитывая, что, таким образом, окончательно уравнение Максвелла запишется в виде

. (1.65)

Это уравнение получило название первое уравнение Максвелла.

9. Поведение магнетиков в магнитном поле

Рассмотрим поведение веществ, помещенных во внешнее магнитное поле с индукцией . В этом случае мы рассматриваем не сам заряд, а именнодвижущийся заряд. Таким зарядом является движущийся по круговой орбите электрон. Как известно, направленное движение заряда представляет собой электрический ток. Поэтому движение электрона по орбите следует рассматривать как электрический ток силой . Введем понятиеэлементарного магнитного диполя – это движущийся по орбите электрон, обладающий орбитальным магнитным моментом. Элементарный электрический ток характеризуется магнитным моментом , который определяют формулой

, (1.66)

где - магнитный момент,- сила тока,- вектор элементарной площадки. На рис. 1.21 показано графическое изображение элементарного тока с вектором магнитного момента.

Рис. 1.21 Направление вектора элементарного магнитного момента

Магнетиками называются вещества, способные намагничиваться. Если магнетик помещен в пространство, в котором отсутствует магнитное поле, то магнитные моменты имеют хаотичную ориентацию, как показано на рис. 1.21а. Если магнетик помещен в магнитное поле с индукцией , то под действием этого поля элементарные магнитные моментыориентируются в пространстве таким образом, чтобы вектор магнитного момента был сонаправлен с вектором магнитной индукции, т.е.. Упорядоченная ориентация молекулярных токов также показана на рис. 1.22б.

Рис. 1.22 Поведение магнетиков в магнитном поле

Описанный процесс называется намагничиванием. Иными словами, намагничивание – это процесс частичной ориентации молекул магнетика во внешнем магнитном поле.

Намагниченность вещества характеризуется вектором намагниченности, который определяется формулой

, (1.67)

где - вектор намагниченности вещества,- концентрация молекул,- элементарный магнитный момент.

Экспериментально установлено, что у большинства веществ при не слишком больших магнитных полях существует связь между вектором намагниченности и напряженностью внешнего действующего магнитного поля. Такую связь выражают линейной зависимостью в виде формулы

, (1.68)

где - намагниченность,- напряженность поля,- магнитная восприимчивость вещества.

Установлено, что магнитные свойства вещества можно описать, если вектор магнитной индукции представить в виде:

, (1.69)

где - магнитная постоянная,- напряженность магнитного поля,- намагниченность вещества. Учитывая формулу (1.68), можно формулу (1.69) записать в виде

. (1.70)

Введем обозначение

, (1.71)

где величина называется абсолютной магнитной проницаемостью вещества.

Уравнение (1.70) с учетом формулы (1.71) принимает наиболее простой вид

, (1.72)

где - абсолютная магнитная проницаемость вещества.

Если среда является вакуумом, то намагниченностьи связь междуипринимает наиболее простой вид

. (1.73)

Для практических расчетов часто используют относительную магнитную проницаемость, которая определяется отношением

. (1.74)

Все магнетики (вещества) в зависимости от значения относительной магнитной проницаемости делят на 3 класса:

• диамагнетики, если ;

• парамагнетики, если ;

• ферромагнетики, если .

Для большинства веществ относительная магнитная проницаемость близка к единице. В таблице 1.2 приведены значения относительной магнитной проницаемости для некоторых веществ.

Таблица 1.2 Относительная диэлектрическая проницаемость

Вещество	Относительная диэлектрическая проницаемость,
Вода Кислород Медь Серебро Алюминий	0,9999905 1,00000191 0,99999044 0,9999736 1,0000222

Формула связи между ив видеуказывает на линейный характер связи. Отметим, что для ферромагнетиков такая связь имеет нелинейный характер.

В ферромагнетиках существуют отдельные микроскопические области (домены), имеющие размеры порядка . Внутри домена все элементарные магнитные моменты параллельны между собой. Поэтому каждый домен ферромагнетика обладает собственным магнитным моментом, величина которого зависит от структуры вещества и не зависит от внешнего поля. Если внешнее магнитное поле отсутствует, то магнитные моменты доменов ориентированны хаотично, а суммарный магнитный момент равен нулю. Если ферромагнетик находится во внешнем магнитном поле, то происходит ориентация магнитных моментов по направлению внешнего магнитного поля.

Уравнения в виде ,называютматериальными уравнениями или уравнениями состояния среды. Материальные уравнения справедливы для широкого класса материальных сред, но применимость этих уравнений имеет ограничения. Например на высоких частотах векторы поляризации и намагничиванияне успевают мгновенно следовать за изменением воздействующего внешнего поля. В этом случае наблюдается явление запаздывания. В результате параметры среды становятся зависимыми от частоты действующего электромагнитного поля. Такое явление носит названиечастотной дисперсии среды.

Основная особенность материальных уравнений заключается в их линейном характере. При дальнейшем изучении будем полагать, что в рассматриваемых средах выполняется линейность материальных уравнений. Помимо линейных, существуют нелинейные среды. Например, нелинейность среды проявляется при больших значениях напряженности полей. Так, электрическая нелинейность характерна для электромагнитных полей, создаваемых мощными лазерами. Упомянутые выше ферромагнетики проявляют магнитную нелинейность, а сегнетодиэлектрики – электрическую нелинейность среды и при достаточно умеренных значениях напряженностей полей.

9. Классификация сред

Все среды классифицируют в зависимости от выбранного признака, положенного в основание классификации. Различают следующие виды сред:

• однородные – неоднородные;

• линейные – нелинейные;

• изотропные – анизотропные.

Дадим определение каждой среде.

Однородная среда – это среда, параметры которой (,,) не зависят от координат.

Неоднородная среда – это среда, параметры которой (,,) являются функциями координат.

Линейная среда – это среда, параметры которой (,,) не зависят от внешнего воздействующего поля, а материальные уравнения носят линейный характер.

Нелинейная среда – это среда, параметры которой (,,) зависят от внешнего воздействующего поля.

Изотропная среда – это среда, свойства которой не зависят от направления векторов поля и параметры которой (,,) являются скалярными величинами.

Анизотропная среда – это среда, свойства которой зависят от направления векторов поля и параметры среды (,,) являются тензорными величинами.

9. Уравнения Максвелла в комплексной форме

Выше указывалось, что уравнения Максвелла в дифференциальной форме записи описывают электромагнитные процессы в пространстве и во времени. Иными словами, в описании процесса используют три пространственные координаты и четвертой переменной является время, т. е. необходимо наличие четырех переменных (). Мы учли, что используем декартовую систему координат.Описать процесс при наличии четырех переменных достаточно сложно.

Систему уравнений Максвелла можно записать в иной форме, позволяющей “избавиться” от временной переменной и рассматривать электромагнитный процесс, протекающий в пространстве, с помощью трех переменных – координат ().

Рассмотрим более подробно вывод новой формы записи уравнений Максвелла. Примем, что сторонние токи отсутствуют. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме в этом случае записывают в виде

Такая система уравнений записана для мгновенных значений и. Для гармонически изменяющихся во времениизапишем

(1.75)

где - амплитудные значения,- угловая частота,- время,- начальные фазы.

Мгновенные значения напряженности полей (1.75) можно записать в виде

, (1.76)

где - это мнимая часть. Тогда для мгновенных значений напряженностей полей запишем

,

где ,.

Так как напряженности полей являются векторными величинами, то будем обозначать и. Стрелка означает, что речь идет о векторе в пространстве, точка – о том, что проекция вектора на любую координатную ось изменяется с течением времени по синусоидальному закону. Учитывая введенные обозначения, можно для плотности тока проводимости записать:

Плотность тока смещения представим в виде:

.

.

Тогда исходное уравнение Максвелла перепишем в виде

.

После сокращения получаем формулу

. (1.77)

Таким образом, получено уравнение Максвелла в комплексной форме записи.

Сформулируем правило перехода дифференциальной формы уравнений Максвелла к комплексной форме: оператор дифференцирования по времени, действующий на мгновенное значение поля, заменяется на множитель .

Аналогично можно преобразовать остальные уравнения системы. В результате система уравнений Максвелла в комплексной форме записи имеет вид:

,

,

,

, (1.78)

,

.

Таким образом, система уравнений Максвелла имеет три формы записи: интегральную, дифференциальную, комплексную.

9. Сводка уравнений Максвелла

Приведем сводку уравнений Максвелла, являющихся обобщением экспериментальных законов электромагнетизма (таблица 1.3).

Таблица 1.3 Сводка уравнений Максвелла

№ п/п	Форма системы уравнений Максвелла
	Дифференциальная	Интегральная	Комплексная
1
2
3
4
5
6

При решении задач электродинамики часто используют дифференциальную форму уравнений Максвелла, которая представляет собой пространственно-временное описание электромагнитного процесса. Уравнения Максвелла в интегральной форме определяют основные законы электромагнитных процессов, действующие в системе. Общую математическую формулировку основных законов электромагнитного поля Максвелл получил в 1873 году. Уравнения Максвелла применяют в случаях, если выполняется условие

, (1.79)

где - длина электромагнитной волны,- расстояние между элементарными частицами вещества. Если неравенство (1.79) не выполняется, то уравнения Максвелла не применимы.