Konspekt_Lektsiy_NacherGeom_2093_DonIZhT

Для построения в плоскости АВС некоторой точки K (рисунок 3.3.2), в ней проводят вспомогательную прямую 1А и на ней отмечают точку K, проекции которой лежат на одной линии связи.

Если точка K (снова рисунок 3.3.2) задана только одной проекцией, например, фронтальной K2, то горизонтальную проекцию K1, которой не хватает, находят следующим образом. Через заданную проекцию K2 проводят проекцию 12А2 вспомогательной прямой 1А, строят горизонтальную проекцию 11А1 и на ней находят искомую проекцию K1 точки K.

Рисунок 3.3.2

Для проверки точки L на принадлежность плоскости АВС (рисунок 3.3.3) пытаются через L провести вспомогательную прямую 1А, которая принадлежала бы плоскости АВС. Для этого через одну из проекций точки L (например, L2) проводят проекцию 12А2 прямой 1А. Затем находят горизонтальную проекцию этой прямой 11А1. Если бы горизонтальная проекция L1 лежала бы на 11А1, то точка L принадлежала бы АВС, но в данном случае L АВС.

Рисунок 3.3.3

3.4Главные линии плоскости

Кпрямым, занимающим частное положение в плоскости,

относят горизонталь, фронталь, профильную прямую и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Эти линии называют главными линиями плоскости.

Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная

π1. На рисунке 3.4 плоскость задана двумя параллельными прямыми a и b. Горизонталь 12 – лежит в этой плоскости, т.к. плоскости принадлежат две её точки 1 и 2. Фронтальная проекция горизонтали 12 параллельна оси х (h2║х), а горизонтальная проекция горизонтали отражает её н.в. (h1=н.в.h ). На чертежах горизонталь обозначается буквой h (в проекциях h1 и h2).

Рисунок 3.4

21

Фронталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная π2. На рисунке 3.4.1 прямая 12 лежит в плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми (плоскость a b); на чертежах фронталь

обозначается буквой f, её горизонтальная проекция параллельна оси х (f1║х), а фронтальная проекция фронтали отражает её н.в. (f2 = н.в. f ).

Рисунок 3.4.1

Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций выделим линию наибольшего наклона к π1. Эту линию называют линией ската. На чертеже линия ската – прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонталям и горизонтальному следу.

На рисунке 3.4.2 в плоскости АВС построена горизонталь h, а перпендикулярно её горизонтальной проекции h1 из В1 построена горизонтальная проекции линии ската (л.с.), лежащая также в АВС. По линиям связей из точек пересечения построена фронтальная проекция линии ската.

Рисунок 3.4.2

3.5 Построение проецирующей плоскости через прямую линию

Через прямую общего положения можно провести любую из проецирующих плоскостей (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5

22

Так для того, чтобы поместить прямую в (рисунке 3.5 а ) во фронтально-проецирующую плоскость Σ необходимо построить фронтальной след этой плоскости Σ2 - через в2 (рисунок 3.5б). Горизонтальный след Σ1 будет перпендикулярен оси х, как у любой фронтальнопроецирующей плоскости.

Для того, чтобы поместить прямую в в горизонтально-проецирующую плоскость τ (рисунок 3.5 в ), необходимо построить горизонтальный след τ1, совпадающий с в1 , фронтальный след τ2 будет размещен перпендикулярно оси х, как у любой горизонтальнопроецирующей плоскости.

Через прямую общего положения нельзя провести плоскость уровня: ни фронтальную, ни горизонтальную, ни профильную. Такие плоскости можно проводить только через соответствующие прямые частного положения.

3.6 Параллельность прямой и плоскости

Прямая может лежать в плоскости (раздел. 3.3), быть ей параллельной и пересекаться с плоскостью.

Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельная этой плоскости.

Например, прямая в (рисунок 3.6) параллельна прямой 12, т.к параллельны одноименные проекции этих прямых: в1 II 1121 и в2 II 1222. При этом 12 лежит в плоскости АВС , т.е в II

АВС.

Для того, чтобы проверить, параллельна прямая плоскости или нет, нужно попытаться провести в этой плоскости прямую параллельную заданной. Если такую прямую построить не удается, то заданные прямая и плоскость не параллельны, а пересекаются.

Рисунок 3.6

3.7Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения. Определение видимости прямой.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций (проецирующая плоскость), проецируется на последнюю в виде прямой линии, на которой должна находиться проекция точки, в которой какая-либо прямая пересекает такую (проецирующую) плоскость.

Например, на рисунке 3.7а прямая в пересекает в точке 1 фронтально-проецирующую

плоскость АВС. Точка 1 находится по фронтальной проекции 12,		в которой в2 А2В2С2, а 11
находится на в1	по линии связи. Видимость проекции	в1 определяется	методом
конкурирующих точек (раздел 2.5).
На рисунке 3.7б	прямая в пересекает в точке 2 плоскость горизонтального уровня Σ. Точка
2 находится по фронтальной проекции 22, в которой в2 Σ2, а 2 1		находится на в1	по линии

связи. Видимость проекции в1 определяется методом конкурирующих точек (раздел 2.5).

23

Рисунок 3.7

На рисунке 3.7в дан пример пересечения прямой в с горизонтально-проецирующей плоскостью τ в т. 3. Точка 3 находится по горизонтальной проекции 31, в которой в1 τ1, а 3 2

находится на в2 по линии связи. Видимость проекции в2 определяется методом конкурирующих точек (раздел 2.5).

3.8Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения. Определение видимости прямой.

Для построения точки пересечения прямой n с плоскостью общего положения АВС необходимо выполнить приведенные далее построения (рисунок 3.8).

1.Через данную прямую n проводится вспомогательная плоскость β.

2.Находится линия пересечения плоскостей АВС и β – прямая

12.

3.Определяется положение точки К, как места пересечения прямой 12 с заданной прямой n. Поскольку обе прямые

лежат	в одной плоскости β, то		они пересекаются в
т. К,	а поскольку	12 вместе с т.	К лежит еще и в
плоскости АВС, то		n пересекает АВС в т. К.

Рисунок 3.8.1

На эпюре (рисунок 3.8.2 а ) показано построение точки пересечения прямой n с плоскостью, заданной треугольником АВС. Прямая n заключена во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость β. Т.к. β проецируется в свой след β2, то на β2 проецируются точки пересечения β с АВ и АС в виде точек пересечения фронтального следа β2

с А2В2 и А2С2 - точек 12 и 22. По линиям связи на А1В1 находим 11, а на А1С1 находим 21, тем самым определяем горизонтальную проекцию 12 – линии пересечения βи АВС.

24

Рисунок 3.8.2

Поскольку прямые 12 и n лежат в одной плоскости β, то они пересекаются в точке К, которая определяется по К1 – месту где n1 1121. Поскольку 12 вместе с т. К лежит еще и в плоскости АВС, то n АВС в т. К. По линии связи определим К2 , как лежащую на n2 (рисунок

3.8.2 б ). Видимость прямой n относительно АВС на π1 и π2 определяется методом конкурирующих точек.

Для примера определим на фронтальной плоскости проекций видимость прямой n относительно АВС методом конкурирующих точек (рисунок 3.8.3). Проекции А2В2 и n2 скрещиваются в точке 12 ≡З2. На горизонтальной плоскости проекций 11 находится ближе к оси х чем 31, лежащая на n1 ,т.е. по координате у т. 3 более удалена от π2 чем т. 1, т.е. в точке скрещивания 12 ≡З2 видима проекция З2, лежащая на n2. (З2 закрывает для наблюдателя 12) Т.е.

в точке скрещивания – А2В2 невидима, а n2 – видима.

На участке 32К2 – проекция n2 относительно А2В2С2

видима. После пересечения с А2В2С2 в К2 проекция n2 на участке 2 2К2 – невидима относительно

А2В2С2. Видимость прямой n относительно АВС на горизонтальной плоскости проекций определяется аналогично с помощью конкурирующих точек 4 и 5 :

41 ≡51.

Рисунок 3.8.3

25

3.9 Взаимное положение двух плоскостей в пространстве.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельны или пересекаться между собою. Если плоскости параллельны, то в любой из них можно построить по две прямых линии,

которые пересекались бы между собою так, чтобы прямые одной плоскости были, соответственно, параллельны двум прямым другой плоскости (рисунок 3.9 а ).

Если плоскости частного положения однотипны, например фронтально-проецирующие (рисунок 3.9 б ), то условие их параллельности – параллельность проекций в минимальную величину – фронтальных.

Если хотя бы одна пара одноименных следов различных плоскостей пересекается, то такие плоскости пересекаются между собою по прямой (рисунок 3.9 в ).

Рисунок 3.9

3.10 Пересечение плоскостей общего положения.

Если принять, что одна плоскость задана двумя прямыми, пересекающими другую плоскость, то задачу на построение линии пересечения двух плоскостей можно решить подобно известной задаче на пересечение плоскости с прямой (раздел 3.8). Только решить эту зада надо дважды, отыскав точки пересечения прямых одной плоскости с другой плоскостью и соединив одноименные проекции этих точек, тем самым, получив проекции линии пересечения заданных плоскостей.

На рисунке 3.10 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Задача сведена к определению точек пересечения прямых EF и DF (сторон треугольника DEF) с плоскостью АВС. Определив эти точки – K и N – по методике раздела 3.8 и соединив их одноименные проекции, получим обе проекции линии пересечения KN плоскостей АВС и DEF.

Порядок построений.

1.Прямые EF и DF заключаются во фронтально-проецирующие плоскости λ и τ, заданные фронтальными следами λ2 и τ2 (рисунок 3.10 а ).

2.Находятся фронтальные проекции точек пересечения плоскостей λ и τ с прямыми АВ и АС:

точки 12, 32, 22, 42 в местах пересечения λ2 и τ2 с А2В2 и А2С2. По линиям связи определяются горизонтальные проекции 11, 31, 21, 41 на А1В1 и А1С1.

3.1121 – горизонтальная проекция линии пересечения λ с АВС. Прямые 12 и EF лежат в одной плоскости λ, т.е. они пересекаются в т. К (К1), а поскольку 12 (вместе с К) АВС, то К

– точка пересечения EF с АВС.

26

4.31 41 – горизонтальная проекция линии пересечения τ с АВС. Прямые 34 и DF лежат в одной плоскости τ, т.е. они пересекаются в т. N (N1), а поскольку 34 (вместе с N) АВС, то N

– точка пересечения DF с АВС.

5.(по рисунку 3.10 б ) Найдем К2 и N2 на E2F2 и D2F2 соответственно. Соединив KN в проекциях, получим искомую линию пересечения. Определим видимость фигур.

Рисунок 3.10

3.11 Перпендикуляр к плоскости.

Из курса геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Такими двумя прямыми могут быть следы плоскости τ (рисунок 3.11.1). Тогда проекции прямой в, исходящей из т. А и перпендикулярной плоскости τ, строят перпендикулярно к одноименным следам этой плоскости (в1 τ1, в2 τ2). Используется

теорема: прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из сторон угла параллельна плоскости проекций. (Стороной угла,

параллельной плоскости проекций, может быть горизонталь, фронталь или след плоскости. Например, τ1║π1 (т.к. τ1 π1), приняв угол скрещивания прямых в и τ1 прямым получим проекцию на π1 этого угла в виде в1 τ1.).

Рисунок 3.11.1

27

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, плоской фигурой, то проекции

прямой, перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали данной плоскости.

Например, если на плоскость, заданную треугольником АВС (рисунок 3.11.2), необходимо опустить из точки D перпендикуляр, то сначала в плоскости АВС проводят горизонталь h и фронталь f. После этого из проекции D2 проводят перпендикуляр к фронтальной проекции фронтали

f2, а из проекции D1		проводят	перпендикуляр к
горизонтальной	проекции	горизонтали		h1.	Прямая,
проведенная	из	точки	D,		является

перпендикуляром к плоскости АВС.

Рисунок 3.11.2

Выводы.

При изучении темы «Плоскость. Задание плоскости в пространстве…» мы познакомились с новыми терминами – след плоскости, главные линии плоскости,

выучили разные способы изображения плоскости на чертеже.

Для успешного обучения необходимо хорошо уяснить порядок нахождения точки пересечения прямой и плоскости, выучить алгоритм построения линии пересечения двух плоскостей.

Вопросы для самопроверки.

1.Что называется следом плоскости?

2.Дайте определения всем проецирующим плоскостям.

3.Какие отличительные особенности плоскостей частного положения?

4.Что называется горизонталью и фронталью плоскости?

5.Каким образом можно задать плоскость на комплексном чертеже?

Задачи для самостоятельной работы.

1.Найдите расстояние от точки D (35;15;25) к плоскости АВС; А (80;25;35), В (55;10;60),

С(40;45;45).

2.Найдите точку пересечения прямой MN с плоскостью общего положения АВС, а также

видимость прямой на плоскостях проекций π1 и π2, М(25;5;20), N (60;55;50), А (65;25;25), В (40;7;50), С (15;50;40).

28

4. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ

План

4.1Проекции углов между двумя прямыми.

4.2Проекции расстояний между двумя прямыми.

4.1Проекции углов между двумя прямыми.

При нахождении углов между двумя пересекающимися (рис. 4.1.1) или скрещивающимися (рис. 4.1.2) прямыми следует знать, что эти углы спроецируется на плоскость проекций в н.в., если прямые параллельны данной плоскости проекций.

Рисунок 4.1.1

Рисунок 4.1.2

Исключение составляет прямой угол, который спроецируется в натуральную величину, если, как минимум, одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций

(рис. 4.1.3) – согласно теореме о проецировании прямого угла

(раздел 3.11). Прямые ОА и h пересекаются под прямым углом, при этом h║π1, т.е. h проецируется на π1 в н.в. Тогда прямой угол, образуемый прямыми ОА и h, проецируется на π1 в н.в.

Рисунок 4.1.3

Определим расстояние от т. А до горизонтальной прямой h (рисунок 4.1.4).

Из проекции А1 опустим перпендикуляр на горизонтальную проекцию h1 (н.в. h), который пересечет h1 в К1. Согласно теореме о проецировании прямого угла (раздел 3.11) угол между прямыми АК и h – прямой (900), значит АК h. По линии связи на h2 построим проекцию К2 и соединим ее с проекцией А2 . Расстояние от т. А до прямой h – это н.в. АК, которую определим по методу треугольника (раздел 2.4). Измерим разность ZА – ZК и отложим перпендикулярно А1К1 от А1 отрезок, равный ZА – ZК. Соединив конец отложенного отрезка с К1 получим н.в. АК.

Рисунок 4.1.4

29

4.2 Проекции расстояний между двумя прямыми

При нахождении расстояний между параллельными прямыми следует знать, что искомые расстояния спроецируются в н.в. в следующих случаях:

а) если прямые перпендикулярны одной из плоскостей проекций (рисунок 4.2.1); б) если прямые расположены в плоскости, параллельной плоскости проекций, т.е.

прямые занимают фронтальное или горизонтальное положение (рисунок 4.2.2).

Рисунок 4.2.1

Рисунок 4.2.2

При нахождении расстояний между скрещивающимися прямыми следует знать, что искомые расстояния спроецируются в н.в. в следующих случаях:

а) если одна из прямых перпендикулярна одной из плоскостей проекций (рисунок 4.2.3); б) если одноименные проекции прямых параллельны между собой (рисунок 4.2.4).

Рисунок 4.2.3

Рисунок 4.2.4

Вопрос для самопроверки

В каких случаях проецируются в натуральную величину: а) угол между двумя прямыми;

б) расстояния между двумя параллельными и скрещивающимися прямыми?

30