3.3 Конечные разности
Пусть функция задана таблицей с постоянным шагом. Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называются конечными разностями первого порядка:
Из конечных разностей первого порядка образуются конечные разности второго порядка: и так далее: – конечная разность k- того порядка (i=0,1,2...).
Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции: ,
.
Конечные разности принято сводить в таблицу:
Таблица 3.2
… |
|||||
|
|||||
|
|||||
… |
|
||||
… |
|
|
|||
… |
|
|
|
||
… |
… |
|
|
|
|
3.4 Разделенные разности
Разделенной разностью 1-го порядка называется отношение: , а если промежутки интерполирования одинаковы, то .
Для любого : , а если промежутки интерполирования одинаковы, то .
Из разделенных разностей первого порядка составляют разделенные разности второго порядка: .
Разделенной разностью второго порядка называется, для любого узла:
.
Разделенной разностью -го порядка называется:
, а для равных промежутков: .
Разделенную разность тоже принято сводить в таблицу:
Таблица 3.3
… |
|||||
|
|||||
|
|||||
… |
|
||||
… |
|
|
|||
… |
|
|
|
||
… |
… |
|
|
|
|
Главное свойство:
Конечные и разделенные разности n-го порядка от многочлена степени n постоянны, а порядка равны нулю.
3.5 Интерполяционный многочлен Ньютона
Пусть для функции составлена таблица разделенных разностей (3.3). Приведем без вывода формулу интерполяционного многочлена Ньютона, для произвольных узлов, т.е.:
(3.8).
Формула Ньютона удобна для вычисления на ЭВМ.
3.6 Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков
Пусть, где .
Запишем интерполяционный многочлен Ньютона для неравных промежутков, заменив разделенные разности соответствующими формулами, связав их с конечными разностями.
(3.9).
Обозначим , тогда получим:
(3.10).
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона для равных промежутков.
Полученное выражение может аппроксимировать функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако, формулу лучше использовать для интерполирования в начале отрезка интерполяции, то есть когда t мало по абсолютной величине. Поэтому первую интерполяционную формулу называют формулой для интерполирования вперед.
Когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции, то применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона:
(3.11)
Или:
(3.12), здесь .
Вторая интерполяционная формула Ньютона называется формулой для интерполирования назад.
Заметим, что при изменении степени n у интерполяционного многочлена Ньютона, требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых. Это очень удобно на практике.
Очевидно, что при составлении интерполяционных формул Ньютона на практике можно пренебречь членами, в которых соответствующие конечные разности равны или близки к нулю. Поэтому при составлении интерполяционных многочленов вычисления обрывают на членах, содержащих такие разности, которые в пределах заданной точности можно считать постоянными.
Итак, мы получили различные записи интерполяционного многочлена. В силу единственности интерполяционного многочлена для фиксированного отрезка интерполирования изложение вопроса о погрешности метода одинаково годится как для многочлена Лагранжа, так и для многочлена Ньютона.
Остаточный член интерполяционного многочлена:
.
, , где - это максимальное значение из модулей конечных разностей -го порядка.
Эти формулы удобны тем, что позволяют делать оценку ошибки метода интерполирования без исследования -й производной интерполируемой функции , в частности когда аналитическое выражение ее вовсе неизвестно.
Пример
Для функции, заданной таблично построить интерполяционные многочлены Ньютона и Лагранжа:
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
y |
5 |
1 |
-1 |
-1 |
1 |
5 |
19 |
29 |
Строим таблицу конечных и разделенных разностей:
x |
y |
|||||
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 |
5
1
-1
-1
1
5
11
19
29 |
-4
-2
0
2
4
6
8
10 |
2
2
2
2
2
2
2 |
0
0
0
0
0
0
|
-4
-2
0
2
4
6
8
10 |
1
1
1
1
1
1
1 |
Видим, что вторые конечные (и разделенные) разности постоянны, следовательно мы будем выбирать многочлен второй степени.
Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по формуле (3.6):
.
Поскольку шаг интерполирования постоянный, можем использовать и формулу (3.7): , , тогда
Построим многочлен Ньютона по формуле (3.8), считая шаг интерполяции , значения разделенных разностей возьмем из нашей таблицы:
.
Построим многочлен Ньютона по формуле интерполирования вперед (3.10): , , , тогда: и .
Построим многочлен Ньютона по формуле интерполирования назад (3.11): , , : .
И, наконец, построим многочлен Ньютона по формуле интерполирования назад (3.11),но , , :
.
Интерполирование может применяться для уплотнения заданной таблицы функции, т.е. вычисления по исходной таблице новой таблицы с большим числом значений аргумента на прежнем участке его изменения. Эту операцию называют иногда субтабулированием функции. В случае, когда исходная таблица является таблицей с постоянным шагом, естественно применять интерполяционный многочлен Ньютона. При заданном числе узлов (т.е. при условии, что конечные разности и степень полинома определены вручную) для расчетов на ЭВМ формулы Ньютона удобно представлять по схеме Горнера. Использование схемы Горнера позволяет вычислять значение в цикле. Если же максимальный порядок используемых конечных разностей невелик, для вычисления значений могут использоваться формулы Ньютона в их стандартном виде.