Matematika

	2	7	−1
3.15 0		3	3	.
	0	21	5
0		2	0
	−1
3.17		3	0	.
	− 2	1	2
3		5	1
3.19 0		4	0 .
	−1	6
			1
1		0	0
	− 2
3.21		5	4 .
	7	2
			− 2
5		− 4	7
3.23 1		1	3	.
	0	0	1
5		21	6
3.25 1		1	7 .
	0	0
			3

	−19		10		4
	− 24
3.16			13		2 .
	0		0
					1
	5	4		0
		− 2
3.18	2			0	.
	2	7		3
	4	3	3
			−
3.20 5		6		2	.
	0	0	2
	3	− 2			0
		−1
3.22	2				0 .
	− 3		6
					4
	3	− 2		2
		−1
3.24	2			3	.
	0	0		6

11

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 4

Треугольник задан вершинами A, B и C . Найти: а) площадь ABC ;

б) уравнение биссектрисы угла B; в) координаты центра тяжести;

г) центр и радиус окружности, описанной около треугольника;

д) длину перпендикуляра, опущенного из вершины A на медиану, проведенную из вершины B ;

е) угол между стороной AC и медианой, проведенной из вершины A .

4.1A(7;−2), B(−3;8), C(−1;11) .

4.2A(−3;2), B(7;3), C(4;5) .

4.3A(9;4), B(3;6), C(1;2) .

4.4A(0;7), B(−3;8), C(4;5) .

4.5A(4;6), B(9;4), C(7;5) .

4.6A(−7;−1), B(3;6), C(9;7) .

4.7A(7;6), B(3;5), C(5;8) .

4.8A(4;3), B(−2;2), C(3;6) .

4.9A(−1;−3), B(4;8), C(−2;6) .

4.10A(3;7), B(6;−2), C(−3;5) .

4.11A(10;−2), B(−3;5), C(1;4) .

4.12A(−2;3), B(3;1), C(6;−5) .

4.13A(5;−2), B(1;2), C(−2;3) .

4.14A(6;−9), B(16;5), C(7;0) .

4.15A(9;−11), B(2;6), C(−3;1) .

4.16A(−7;−4), B(−2;−1), C(4;4) .

4.17A(−4;5), B(−3;3), C(2;4) .

4.18A(4;16), B(−3;11), C(−7;10) .

12

4.19A(12;−10), B(5;−8), C(3;−2) .

4.20A(−6;3), B(7;10), C(−1;8) .

4.21A(5;3), B(10;9), C(3;−9) .

4.22A(−13;9), B(7;6), C(5;5) .

4.23A(5;−6), B(8;−2), C(−2;3) .

4.24A(6;1), B(−3;8), C(−7;6) .

4.25A(12;17), B(6;14), C(7;3) .

13

	РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 5
5.1	Даны две смежные вершины A(−2;6) и	B(3;10) паралле-
лограмма	ABCD и точка P(1;4) пересечения его диагоналей. Найти
уравнения сторон параллелограмма.		2x − 3y −12 = 0 ,
5.2	Две стороны квадрата лежат на прямых
2x − 3y + 4 = 0 . Найти его площадь.
5.3	Уравнение одной из сторон ромба 2x − y + 2 = 0 , а уравне-

ние одной из диагоналей x + y − 4 = 0 . Найти уравнения остальных

сторон ромба, зная, что диагонали пересекаются в точке (1;3) .

5.4 Даны вершины A(6;4) , B(−1;2) , C(−2;−3) трапеции ABCD ( AD // BC) . Найти координаты вершины D , зная, что диа-

гонали взаимно перпендикулярны.

5.5 Даны уравнения двух сторон параллелограмма 3x − 2 y +12 = 0 и x − 3y +11 = 0 и точка пересечения его диагона-

лей (2;2) . Найти уравнения двух других сторон параллелограмма и

его диагоналей.
5.6 Даны	уравнения	двух	сторон	прямоугольника
2x + 5 y − 6 = 0 ,	2x + 5 y + 3 = 0		и уравнение	его диагонали

4x + 5 y − 2 = 0 . Найти уравнения остальных сторон и второй диаго-

нали.			2x − 5 y −1 = 0 ,
5.7 Даны уравнения двух	сторон	ромба
2x − 5 y − 34 = 0 и уравнение	одной	из	его диагоналей

x + 3y − 6 = 0 . Найти уравнения остальных сторон и второй диагона-

ли.
5.8	Найти длину высоты трапеции ABCD (BC // AD) , если
x − 4 y + 8 = 0 − уравнение BC , а вершина A(6;4) .
5.9	Точка A(3;1) является вершиной квадрата, диагональ кото-

рого лежит на прямой 2x − 3y − 5 = 0 . Найти уравнения сторон квад-

рата.

5.10 Две стороны, исходящие из одной вершины параллелограмма, заданы уравнениями 5x − 3y + 28 = 0 , x − 3y − 4 = 0 ; координа-

14

ты противоположной вершины (10;6) . Найти уравнения двух других

сторон параллелограмма и его диагоналей.

5.11 Найти уравнения сторон ромба, зная две противолежащие его

вершины A(−3;1) ,		B(5;7) и площадь ромба 25 кв. ед.
5.12	Даны	уравнения	двух	сторон	прямоугольника
3x − 4 y + 8 = 0 ,		3x − 4 y −1 = 0 и		уравнение	его	диагонали
x + y − 6 = 0 . Найти уравнения двух остальных сторон.
5.13	Меньшее основание прямоугольной трапеции задано урав-
нением 3x − y + 2 = 0 , а вершины большего основания						A(2;5) и
D(3;8) . Найти уравнения боковых сторон, зная, что большая из них
образует с меньшим основанием угол α = arctg3 .
5.14	Найти уравнения сторон ромба, зная одну из его вершин
A(0;−1) ,	точку пересечения диагоналей			M (4;4) и точку (2;0) на
стороне AB .
5.15	Уравнение одной из сторон квадрата 5x + 3y − 7 = 0 . Най-
ти уравнения трех остальных сторон квадрата, если					(2;1)	есть точка
пересечения его диагоналей.

5.16Найти уравнения сторон и диагоналей параллелограмма, если известны вершины A(2;4) , B(6;−2) , C(3;−8) .

5.17Найти уравнения двух сторон прямоугольника и тангенс угла между его диагоналями, зная две вершины A(1;1) , C(−1;1) и урав-

нения двух сторон 3x + 4 y − 7 = 0 , 3x + 4 y − 1 = 0 .

5.18 Две вершины прямоугольной трапеции A(2;7) и D(0;6) .

Найти уравнения трех сторон этой трапеции, зная уравнение меньшего основания x − 2 y + 6 = 0 и угол наклона большей боковой стороны к

этому основанию, равный arctg6 .

5.19Диагонали ромба, равные 6 см и 8 см, приняты за оси координат. Найти уравнения сторон этого ромба.

5.20Даны три последовательные вершины параллелограмма A(2;−6) , B(−1;2) , C(−3;−4) . Найти уравнение его меньшей высо-

ты.

5.21 Найти уравнения сторон квадрата, зная одну из его вершин A(3;10) и точку пересечения диагоналей M (3;6) .

15

5.22	Даны три вершины прямоугольника	A(−5;3) , B(2;7) ,
C(1;11) . Найти косинус угла между его диагоналями.			C(−4;0) .
5.23	Даны три вершины трапеции A(2;1) ,	B(3;1) ,
Найти уравнения сторон трапеции, зная, что основание			AB вдвое
больше основанияCD .

5.24Диагонали ромба, равные 10 см и 4 см, приняты за оси координат. Найти уравнения высот ромба.

5.25Найти уравнения сторон квадрата, диагонали которого слу-

жат осями координат, зная, что длина стороны квадрата 6 см.

16

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 6

Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Найти:

а) угол между высотой пирамиды, проведенной из вершины D , и ребром DC ;

б) уравнение плоскости сечения, проведенного через середину стороны основания BC перпендикулярно боковому ребру AD ;

в) угол наклона боковой грани BCD к основанию ABC ;

г) уравнение плоскости сечения, проведенного через середины ребер AB и BC параллельно боковому ребру BD ;

д) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, проведенную из вершины D , и высоту боковой грани BCD , опущен-

ную на ребро BC ;

е) уравнение плоскости сечения, проведенного через середины смежных боковых ребер BD и CD перпендикулярно основанию

ABC ;

ж) объём пирамиды.

6.1A(6;6;1), B(5;7;4), C(2;0;7), D(3;9;5) .

6.2A(9;5;−1), B(4;3;1), C(6;−3;1), D(7;−6;3) .

6.3A(−3;7;1), B(3;5;7), C(−7;1;5), D(7;9;4) .

6.4A(7;5;3), B(9;4;4), C(4;5;7), D(7;9;6) .

6.5A(3;4;1), B(3;5;9), C(−1;−3;0), D(6;2;3) .

6.6A(0;4;−7), B(5;8;7), C(8;3;5), D(3;6;4) .

6.7A(−2;2;7), B(6;2;−1), C(−2;−5;0), D(2;−2;9) .

6.8A(1;−3;5), B(−2;4;−7), C(−1;6;5), D(9;0;−8) .

6.9A(4;3;9), B(4;−4;10), C(2;4;−4), D(1;4;1) .

6.10A(2;−10;3), B(1;−3;2), C(1;9;−2), D(3;2;4) .

6.11A(4;−3;−1), B(7;−4;1), C(−3;9;2), D(7;3;3) .

6.12A(1;20;2), B(7;8;−1), C(3;2;7), D(3;−5;2) .

6.13A(2;4;−6), B(1;3;−5), C(4;−3;3), D(−7;6;3) .

17

6.14A(−13;2;17), B(20;1;1), C(2;3;−1), D(18;8;2).

6.15A(0;12;6), B(1;20;5), C(2;−1;−4), D(1;3;4) .

6.16A(7;2;3), B(1;5;7), C(3;4;10), D(−1;−3;5) .

6.17A(1;7;−3), B(15;4;3), C(1;26;1), D(−3;20;1) .

6.18A(−1;−3;2), B(10;0;5), C(5;2;12), D(2;7;6) .

6.19A(7;4;−2), B(3;2;1), C(3;1;3), D(11;20;−1) .

6.20A(5;7;8), B(−3;7;1), C(9;5;5), D(6;9;2) .

6.21A(0;7;1), B(4;1;5), C(4;6;3), D(3;9;8) .

6.22A(8;2;4), B(5;1;4), C(6;3;6), D(3;5;7) .

6.23A(11;2;4), B(2;−1;6), C(3;5;4), D(12;−5;−9) .

6.24A(5;4;12), B(2;3;−1), C(5;4;3), D(4;3;−2) .

6.25A(2;4;−4), B(4;−3;8), C(2;7;3), D(6;−5;2) .

18

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 7

Решить задачу на составление уравнения линии на плоскости.

7.1 Найти уравнение траектории точки M (x; y) , которая при

движении по плоскости остается втрое ближе к прямой x = 1, чем к точке A(9;0) .

7.2Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от оси ox и от точки A(0;−2) .

7.3Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от оси oy и от точки A(3;0) .

7.4Найти уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки A(2;−1) равен квадрату расстоя-

ния от оси ox .

7.5Найти уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от прямой x = 4 и точки A(−2;3) .

7.6Найти уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки A(3;0) и от прямой x = 12 равно 0,5.

7.7Составить уравнение траектории точки М, которая при своем движении по плоскости остается вдвое ближе к точке A(1;0) , чем к

прямой x = 4 .

7.8Составить уравнение множества точек на плоскости, равноудаленных от прямой y = −2 и точки A(−3;4) .

7.9Составить уравнение множества точек на плоскости, отстоящих от точки A(6;0) в три раза дальше, чем от точки B(2;0) .

7.10Составить уравнение множества точек на плоскости, сумма

квадратов расстояний которых от двух данных точек A(−6;0) и

B(6;0) есть величина постоянная, равная 104.

7.11 Составить уравнение множества точек на плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек A(0;−2) и

B(0;2) есть величина постоянная, равная 33.

7.12 Найти уравнение множества точек M (x; y) , разность рас-

стояний каждой из которых до точек A(−4;0) и B(4;0) равна 6. 7.13 Найти уравнение множества точек M (x; y) , равноудален-

ных от прямой x = −1 и точки B(3;1) . 19

7.14Найти уравнение траектории точки M (x; y) , которая при движении остается вдвое ближе к A(1;3) , чем к B(1;0) .

7.15Найти уравнение множества точек M (x; y) , сумма расстояний от каждой из которых до точек A(0;3) и B(0;−3) равна 8.

7.16Найти уравнение траектории точки M (x; y) , движущейся

так, что расстояние от M до M 1 (−1;2) вдвое меньше, чем расстояние

от M до M 2 (4;2) .

7.17Составить уравнение множества точек M (x; y) , равноудаленных от точки B(1;1) и прямой y + 3 = 0 .

7.18Найти уравнение линии, если любая ее точка M (x; y) равноудалена от точки P(−1;1) и прямой x = 3 .

7.19Найти уравнение множества точек M (x; y) , для которых отношение расстояния от M до A(3;0) к расстоянию от M до пря-

мой x = 1 равно 3.

3

7.20Найти уравнение множества точек M (x; y) , равноудаленных от точки B(1;3) и прямой y = −1 .

7.21Найти уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки A(4;0) вдвое дальше, чем от прямой x = 1.

7.22Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(4;2) и от оси ординат.

7.23Найти уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A(2;2) и от оси абсцисс.

7.24Найти уравнение линии, для каждой точки которой отноше-

ние расстояния до начала координат к расстоянию до прямой

3x + 16 = 0 равно 0,6.

7.25 Найти уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке A(1;0) , чем к точке B(−2;0) .

20