Matematika

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 8

8.1Найти уравнение окружности, проходящей через точку A(4;−7) и концентрической с окружностью

x2 + y 2 + 4x − 2 y −11 = 0 .

8.2Найти уравнение окружности, описанной около треугольника

свершинами A(7;7) , B(0;8) и C(−2;4) .

8.3Найти уравнение диаметра окружности

x2 + y 2 − 8x − 2 y + 4 = 0 ,

перпендикулярного хорде x − 5 y −12 = 0 .

8.4 Диаметр окружности x 2 + y 2 − 2x + 4 y − 4 = 0 образует с

положительным направлением оси ox угол 1350 . Найти уравнение этого диаметра.

8.5Найти уравнение окружности, проходящей через точку A(5;6) и концентрической с окружностью

x2 + y 2 − 2x + 6 y +1 = 0 .

8.6Найти уравнение окружности, проходящей через начало ко-

ординат и отсекающей на осях ox и oy соответственно отрезки a = −4 и b = −3 .

8.7Найти уравнение окружности, проходящей через точки A(5;7) и B(−2;4) , если центр ее лежит на прямой 4x + 3y −18 = 0 .

8.8Найти уравнение окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точки A(7;8) и B(6;9) .

8.9Найти уравнение окружности, проходящей через точки A(−8;3) и B(2;−7) , если центр ее лежит на прямой

x+ 4 y +16 = 0 .

8.10Найти уравнение окружности, проходящей через точки A(3;7) и B(5;−1) и имеющей центр на оси ординат.

8.11Центр окружности находится в точке C(−3;1) . Найти урав-

нение этой окружности, если она касается прямой 4x + 3y = 16 .

8.12 Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку A(8;9) .

21

8.13Найти уравнение окружности, касающейся оси ординат в точке A(0;4) и имеющей радиус, равный 5.

8.14Найти уравнение окружности, касающейся оси ординат и проходящей через точки A(4;5) и B(18;−9) .

8.15Найти уравнение окружности, проходящей через точки

A(2;8), B(4;−6) и C(−12;−6) .

8.16Найти уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке A(3;0) и имеющей радиус, равный 6.

8.17Найти уравнение окружности, описанной около треугольника,

сторонами которого являются прямые x − y + 4 = 0, 3x + y −16 = 0 и

x + 2 y − 2 = 0 .

8.18 Найти уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой 4x + 3y − 24 = 0 , заключенный между осями коорди-

нат.

8.19 Найти уравнение окружности, описанной около треугольника, сторонами которого являются прямые

2x − y + 2 = 0 , x − 3y −14 = 0 и x + y − 2 = 0 .

8.20 Центр окружности находится в точке (−1;−4) . Найти урав-

нение окружности, если она касается прямой, пересекающей оси координат в точках A(2,25;0) и B(0;3) .

8.21 Найти уравнение окружности, описанной около треугольника, сторонами которого являются прямые

4x − 3y −17 = 0, 7x + y − 61 = 0 и x − 7 y − 73 = 0 .

8.22 Найти уравнение окружности, проходящей через точки M (3;2) и N (−1;−6) , если центр ее лежит на прямой, пересекающей

оси координат в точках A(2;0) и B(0;−4) .

8.23Найти уравнение окружности, имеющей центр в точке (6;7) и касающейся прямой 5x −12 y − 24 = 0 .

8.24Через точку M (2;1) провести окружность, касающуюся ок-

ружности x 2 + y 2 − 8x − 4 y +19 = 0 и имеющую радиус, равный 1. 8.25 Найти уравнение окружности, радиус которой 50, зная, что окружность отсекает на оси x хорду длиной 28 и проходит через точ-

ку A(0;8) .

22

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 9

9.1Найти уравнение эллипса с фокусами на оси ox , если он проходит через точку A(−6;4) и малая ось равна 10.

9.2Найти уравнение эллипса с фокусами на оси ox , если он про-

ходит через точки A(3; 6) и B(3; 2 ) .

9.3Найти уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 10 (фокусы лежат на оси ox ) и большая ось равна 12.

9.4Найти уравнение эллипса, если сумма полуосей равна 25, а

фокусы имеют координаты (−5;0) и (5;0) .

9.5Найти уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 12 (фокусы лежат на оси ox ), а эксцентриситет 0,6.

9.6Найти уравнение эллипса, если две его вершины находятся в

точках	A1 (−6;0) и A2 (6;0) , а фокусы в точках			F1 (−4;0) и
F2 (4;0) .
9.7	Найти уравнение эллипса с фокусами на оси ox , если он про-
ходит через точку A(12;−12) и большая ось равна 40.
9.8	Найти уравнение эллипса с фокусами на оси			ox , если его
большая ось равна 14, а эксцентриситет		2	.
		3
9.9	Прямые x = ±8 служат директрисами эллипса, малая ось ко-

торого равна 8. Найти уравнение эллипса.

9.10 Найти уравнение эллипса, если сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.

9.11Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его большей оси равны 7 и 1. Найти уравнение эллипса.

9.12Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей.

9.13Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между директрисами в четыре раза больше расстояния между фокусами.

9.14Эллипс проходит через точку P(3;2,4) и касается прямой

4x + 5 y = 25 . Найти уравнение эллипса.

9.15 Найти уравнение эллипса, если его директрисы x = ±9 , а расстояние между фокусами 8.

23

9.16 В эллипс	x 2	+	y 2	= 1 вписан прямоугольник, две проти-
	49
		24

воположные стороны которого проходят через фокусы. Найти площадь прямоугольника.

9.17 На эллипсе, один из фокусов которого имеет координаты (3;0) , взята точка M (4;2,4) . Найти расстояние от этой точки до со-

ответствующей директрисы.

9.18Найти уравнение эллипса, если его директрисы x = ±56 ,

амалая полуось 26 .

9.19Найти уравнение эллипса, если его большая ось 8, а рас-

стояние между фокусами 27 .

9.20Найти уравнение эллипса, если его директрисы x = ±36 ,

абольшая полуось 6.

9.21 Найти уравнение эллипса, если его эксцентриситет L =	5	,

3

а малая ось равна 4.
9.22 На эллипсе	x 2	+ y 2	= 1 найти точку, расстояние которой

100 36

от правого фокуса в четыре раза больше расстояния от нее до левого фокуса.

9.23 На эллипсе, один из фокусов которого имеет координаты

(33;0) , взята точка M (6;0) . Найти расстояние от этой точки до со-

ответствующей директрисы.

9.24 Прямые x = ± 9

5

служат директрисами эллипса, малая

ось которого равна 4. Найти уравнение эллипса.

9.25 Найти уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 43 , а большая ось равна 8.

24

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 10

10.1 Найти уравнение гиперболы по координатам ее фокусов

(−20;0); (20;0) и эксцентриситету L = 5 .

3

10.2Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если она проходит через точки (6;3) и (52;−4) .

10.3Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если сумма ее действительной и мнимой полуосей равна 7, а расстояние ме-

жду фокусами равно 10.

10.4 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если

длина действительной				оси		16 и гипербола				проходит через точку
(−10;−3) .
10.5 Найти	уравнение					гиперболы		по		координатам	фокусов
(±5;0) и уравнениям ее асимптот y = ±							4x		.
								3
10.6 Найти	уравнение					гиперболы,		если		ее асимптоты	заданы
уравнениями y = ±			6x
					и точка (6;−4) лежит на гиперболе.
		3

10.7Найти уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси ox , если гипербола проходит через точку A(−5;4) .

10.8Найти уравнение гиперболы по координатам ее фокусов

(±22;0) и эксцентриситету L = 2 .

10.9 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если длина ее действительной оси равна 8 и гипербола проходит через точку

(8;6) .

10.10 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если разность ее действительной и мнимой полуосей равна 4, а расстояние между фокусами 40.

10.11 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если

9

длина ее действительной оси 14, а эксцентриситет равен .

7

10.12 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если она проходит через точки (−6;−7 ) и (62;4) .

25

10.13 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , зная

уравнения асимптот y = ±	5x	и уравнения директрис x = ±		49		.
7			74

10.14Зная уравнения асимптот гиперболы y = ±0,5x и одну из

ееточек M (12;33) , найти уравнение гиперболы.

10.15Найти уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках A1 (−3;0) и A2 (3;0) , а фокусы в точках F1 (−5;0) и F2 (5;0) .

10.16Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если

4

длина ее действительной оси 12, а эксцентриситет равен .

3

10.17 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если сумма ее действительной и мнимой полуосей 14, а расстояние между фокусами равно 20.

10.18 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если

5

длина ее действительной оси равна 6, а эксцентриситет .

3

10.19Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если длина мнимой оси 12 и гипербола проходит через точку (20;8) .

10.20Найти уравнение гиперболы, если уравнения ее асимптот

y = ±	3x
	и точка (9;3 2 ) принадлежит гиперболе.

3

10.21Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если она проходит через точки (−8;22) и (6;−1) .

10.22Найти уравнение гиперболы по уравнениям ее асимптот

y = ±	2x	(−4;−2) , через которую она прохо-
	и координатам точки

2

дит.

10.23Найти уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси ox , если гипербола проходит через точку (8;2) .

10.24Найти уравнение гиперболы по координатам фокусов (±3;0) и уравнениям ее асимптот y = ±2x .

26

10.25 Найти уравнение гиперболы с фокусами на оси ox , если

3		5
длина ее мнимой оси равна 8, а эксцентриситет			.

5

27

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 11

Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка на плоскости и определить тип линии.

11.1x 2 + 2xy − y 2 + 8x + 4 y − 8 = 0 .

11.27x 2 − 24xy − 38x + 24 y +175 = 0 .

11.35x 2 + 8xy + 5 y 2 −18x −18 y + 9 = 0 .

11.45x 2 +12xy − 22x −12 y −19 = 0 .

11.56xy + 8 y 2 −12x − 26 y +11 = 0 .

11.6x 2 − 2xy + y 2 −10x − 6 y + 25 = 0 .

11.73x 2 + 2xy − y 2 + 8x +10 y +14 = 0 .

11.8x 2 + 2xy + y 2 − 8x + 4 = 0 .

11.99x 2 + 24xy +16 y 2 − 40x + 30 y = 0 .

11.107x 2 + 4xy + 4 y 2 − 40x − 32 y + 5 = 0 .

11.11x 2 − 2xy + 2 y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 .

11.12x 2 − 4xy + 4 y 2 +10x − 20 y + 25 = 0 .

11.139x 2 + y 2 + 2x − 7 = 0 .

11.14x 2 + 6xy + 9 y 2 + 4x +12 y − 5 = 0 .

11.15x 2 + 6xy + y 2 + 6x + 2 y −1 = 0 .

11.163x 2 − 2xy + 3y 2 + 4x + 4 y − 4 = 0 .

11.17x 2 − 4xy + 3y 2 + 2x − 2 y = 0 .

11.18x 2 − xy − y 2 − x − y = 0 .

11.19x 2 − 4xy + 4 y 2 + 2x − 2 y −1 = 0 .

11.20x 2 − 2xy + 2 y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 .

11.21x 2 − 2xy − 2 y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 .

11.22x 2 − 2xy + y 2 − 4x − 6 y + 3 = 0 .

11.23x 2 + y 2 − 4x − 6 y = 0 .

28

11.242 y 2 + 8x +12 y − 3 = 0 .

11.252x 2 − 4xy + 5 y 2 − 8x + 6 = 0 .

29

РАСЧЁТНОЕ ЗАДАНИЕ 12

Определить вид поверхности второго порядка, привести уравнение к каноническому виду, составить уравнения линий пересечения поверхности с плоскостями координат.

12.12x 2 + 2 y 2 +12z 2 + 8 yz +12zx + 14x −10 y + 7 = 0 .

12.25x 2 + 9 y 2 + 9z 2 −12xy − 6zx +12x − 36z = 0 .

12.35x 2 + 2 y 2 + 2z 2 − 2xy − 4 yz + 2zx − 4 y − 4z + 4 = 0 .

12.4x 2 + y 2 + z 2 + 6 yz − 4zx − 8x +10 y = 0 .

12.54x 2 + y 2 + 9z 2 − 4xy − 6 yz +12zx + 8x − 4 y +12z − 5 = 0.

12.62x 2 + 9 y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 6 yz +10x − 5 = 0 .

12.7x 2 + 4 y 2 + 5z 2 + 4xy −12x + 6 y − 9 = 0 .

12.82x 2 + 2 y 2 + 4 yz − 2zx − 4x − 8z − 9 = 0 .

12.99x 2 + 25 y 2 + 9z 2 −10xy − 30 yz − 2x − 2 y = 0 .

12.10x 2 +10 y 2 + 10z 2 − 4xy + 4xz + 2x + 20 y + 8z − 9 = 0 .

12.113x 2 + 2 y 2 + 2z 2 + 6xy − 2x − 4 y − 4z = 0 .

12.12x 2 + y 2 + z 2 − 2xz + 4 yz − 4 y − 8x + 1 = 0 .

12.13x 2 + 2 y 2 − z 2 + 2x − 4 y + 2z +1 = 0 .

12.142x 2 + 4 y 2 − z 2 − 8xy + 8x − 8 y + 4 = 0 .

12.153x 2 + 3y 2 − 4 yz + 2zx − 2x − 8 y − 2z − 3 = 0 .

12.165x 2 + 5z 2 + 3xy + 2 yz − 7x − 6 y − 2z +10 = 0 .

12.176x 2 + 9 y 2 + 9z 2 + 6xy − 4xz = 0 .

12.18x 2 +10 y 2 + 10z 2 − 4xy + 4xz + 4x −10 y + 2z −1 = 0 .

12.194x 2 + y 2 + 9z 2 − 4xy − 6 yz +12zx + 2x − 8 y −1 = 0 .

12.203x 2 + y 2 − z 2 + 6zx − 4 y = 0 .

12.216x 2 + 5 y 2 + 6z 2 − 4xy + 4 yz + 4x + 6 y + 4z − 7 = 0 .

12.22x 2 + 2 y 2 + z 2 − 4xy − 2 yz − 2 y + 2z − 4 = 0 .

30