- •Метрическое пространство Rn и важнейшие классы его подмножеств.
- •Неравенство Коши.
- •Метрическое пространство Rn.
- •Некоторые топологические понятия метрического пространства Rn.
- •Евклидово пространство Rn.
- •Норма в Rn.
- •Евклидова структура в Rn.
- •Последовательности точек пространства Rn.
- •Предел и непрерывность отображения.
- •Предел отображения.
- •Предел по направлению.
- •Повторные пределы.
- •Непрерывные отображения.
- •Линейные отображения.
Г Л А В А 2
Отображения, их предел и непрерывность.
§2.1. Метрическое пространство Rn и важнейшие классы его подмножеств.
2.1.1.Неравенство Коши.
Лемма 1. Для любых действительных чисел ai; bi; i = 1; n выполняется неравенство
vv
n |
u n u n |
|
|
Xaibi |
6 uXai2 |
|
uXbi2 |
: |
|
(1.1) |
||||
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|||
Следствие 1. |
i=1 |
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
|||
v |
|
|
6 v |
|
|
+ v |
|
|
|
(1.2) |
||
|
(ai + bi)2 |
n |
ai2 |
n |
bi2: |
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ui=1 |
|
ui=1 |
|
|
ui=1 |
|
||||||
uX |
|
uX |
|
|
uX |
|
||||||
t |
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
Доказательство. Если все ai = 0, i = 1; n, то неравенство (1.1) справедливо, так как обе его части равны 0. Если
n |
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
iP |
|
|
|
|
|
|
|
||||
a2 |
> 0, то рассмотрим квадратичную функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
Xi |
|
|
|
X |
|
X |
|
X |
|
|
|
|
)2 |
= t2 |
|
|
|
(1.3) |
||||
|
f(t) = (a |
t + b |
a2 |
+ 2t |
a b |
+ |
b2 |
: |
|||
|
i |
i |
|
|
i |
|
i i |
|
i |
|
|
|
=1 |
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что f(t) = i=1(ait + bi)2 > 0; 8t 2 R. Квадратный трёхчлен (1.3) принимает только неотрицательные значения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
когда его дискриминант не положителен, т.е.: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тогда и только тогда, P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 v |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|||||
D = 2 |
aibi |
2 |
|
4 |
ai2 |
bi2 |
6 0 |
или |
aibi |
6 |
|
ai2 |
bi2; |
откуда |
|
|
aibi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ai2 |
|
bi2: |
||||||||||||||||||||||||
i=1 |
! |
|
|
i=1 |
i=1 |
! |
|
i=1 |
! |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
ui=1 |
|
|
ui=1 |
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
||
X |
|
|
|
X X |
|
|
X |
|
|
X X |
|
|
X |
uX uX |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем (1.2). Учитывая (1.1), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(ai + bi)2 |
= ai2 |
+ 2 aibi |
+ bi2 6 ai2 |
+ 2v |
ai2 |
|
v |
bi2 + bi2 |
= 0v |
ai2 |
+ v |
bi21 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
n |
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
ui=1 |
ui=1 |
|
|
i=1 |
|
ui=1 |
ui=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
X |
|
|
|
X X X X uX |
|
uX X uX uX |
A |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
@t |
|
t |
|
|
|
|
|
s s !2
|
n |
n |
n |
|
P |
P |
iP |
Следовательно |
(ai + bi)2 6 |
ai2 + |
bi2 , откуда получаем (1.2). |
|
i=1 |
i=1 |
=1 |
2.1.2. Метрическое пространство Rn.
Обозначим через Rn множество всех упорядоченных наборов (x1; x2; : : : ; xn); xk 2 R; k = 1; n: Каждый такой набор будем обозначать одной буквой x = (x1; x2; : : : ; xn) и называть точкой множества Rn. Число xk; k = 1; n называется k-той координатой точки x = (x1; x2; : : : ; xn).
Определение 1. Множество X называется метрическим пространством, если существует функция : X X ! R, удовлетворяющая следующим условиям:
1)(x; y) > 0, причем (x; y) = 0 , x = y;
2)(x; y) = (y; x);
3)(x; z) 6 (x; y) + (y; z) (неравенство треугольника), где x; y; z произвольные элементы множества X.
2 |
Глава 2. Отображения, их предел и непрерывность. |
Число (x; y) называется расстоянием между точками x и y или метрикой пространства X. На множестве Rn определим расстояние между его двумя точками x = (x1; x2; : : : ; xn) и y = (y1; y2; : : : ; yn) по формуле
(x; y) = v |
n |
(xi |
|
yi)2 |
: |
(1.4) |
ui=1 |
|
|
|
|
||
uX |
|
|
|
|
|
t
Функция : Rn Rn ! R, определяемая формулой (1.4), очевидно удовлетворяет условиям 1) и 2) определения 1. Покажем, что она удовлетворяет и условию 3). Действительно, полагая в (1.2) ai = xi yi, bi = yi zi, получим условие 3) определения 1.
Таким образом, если на множестве Rn ввести расстояние по формуле (1:4), то оно превратится в метрическое пространство Rn.
Непосредственно из (1:4) следуют двойные неравенства p
jxi yij 6 (x; y) 6 n |
max |
(1.5) |
16k6n jxk ykj; i = 1; n; |
которые в дальнейшем будут часто использоваться.
2.1.3. Некоторые топологические понятия метрического пространства Rn.
Определение 2. Пусть |
a |
2 R |
n |
, |
r > 0 |
. Множество |
B(a; r) = |
f |
x |
2 |
R |
n |
j |
(a; x) < r |
g называется открытым |
шаром |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
. |
|||||||||
с центром в точке a радиуса r. Множество V (a; ) |
= B(a; ) называется -окрестностью точки a в множестве R |
|
Множество S = fx 2 Rn j (a; x) = rg называется сферой с центром в точке a радиуса r.
Определение 3. Пусть X Rn. Точка a 2 X называется внутренней точкой множества X, если существует окрестность V (a; ) точки a, такая, что V (a; ) X.
Определение 4. Точка a 2 Rn называется внешней точкой множества X Rn, если существует окрестность V (a; ) точки a, не содержащая ни одной точки из множества X.
Определение 5. Точка a 2 Rn называется граничной точкой множества X Rn, если любая окрестность V (a; ) точки a содержит как точки из множества X, так и точки не принадлежащие ему.
Множество всех граничных точек множества X называется границей и обозначается @X.
Например, сфера S(a; r) является границей шара B(a; r).
Определение 6. Множество X Rn называется открытым в Rn, если каждая точка множества X является его внутренней точкой.
Любое открытое в Rn множество, содержащее точку a, называется окрестностью этой точки в Rn и обозначается
V (a).
Множество V (a)nfag называется проколотой окрестностью точки a в Rn и обозначается V_ (a).
Приведем примеры открытых множеств: Rn открытое множество в Rn; пустое множество ? вообще не содержит точек и потому считают, что ? открытое множество в Rn.
Утверждение 1.
1)Объединение любой совокупности множеств, открытых в Rn, является множеством открытым в Rn.
2)Пересечение конечного числа множеств, открытых в Rn, является множеством открытым в Rn.
Доказательство.
1) Пусть X = SA , где A множества открытые в Rn. Если a 2 X, тогда существует 0, что a 2 A 0 . Поскольку множество A 0 открытое в Rn, то существует V (a; ), что V (a; ) A 0 . Значит V (a; ), содержится в множестве X, а это и означает, что множество X является открытым в Rn.
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
V (a; i) Ai, i = 1iT; n. Положим = minf 1 |
|
|
|
|
|
|||
; : : : ; ng. Тогда V (a; ) Ai; i = 1; n и, следовательно, V (a; ) X, значит |
||||||||
2) Пусть X = |
=1 Ai, где Ai открытые в Rn множества. Если a 2 |
X, то a 2 |
Ai; i = 1; n и существуют V (a; i), что |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множество X открытое.
Определение 7. Множество X Rn называется замкнутым в Rn, если его дополнение RnnX в Rn является множеством открытым в Rn.
Определение 8. Точка a 2 Rn называется предельной точкой множества X Rn, если в любой окрестности точки a содержится хотя бы одна точка из множества X, отличная от точки a.
Определение 9. Объединение множества X Rn и всех его предельных точек называется замыканием множества X в Rn и обозначается X.