2.2. Евклидово пространство RN .	3
Определение 10. Диаметром множества X Rn называется величина d(X) =	sup (x; y).
	x;y2X

Определение 11. Множество X Rn называется ограниченным, если его диаметр конечен.

Определение 12. Множество K Rn называется компактом, если из любого покрытия множества K открытыми в Rn множествами можно выделить его конечное покрытие.

Например, отрезок [a; b], который содержится в R, является компактом в R в силу леммы о конечном покрытии. Обобщением отрезка в Rn является множество J = f(x1; x2; : : : ; xn) 2 Rnj ak 6 xk 6 bk; k = 1; ng; которое называется n-мерным параллелепипедом и является компактом в Rn.

Утверждение 2. Множество X Rn является замкнутым в Rn тогда и только тогда, когда X = X.

Утверждение 3. Множество K Rn является компактом в том и только в том случае, если это множество является ограниченным и замкнутым в Rn.

§2.2. Евклидово пространство Rn.

2.2.1.Rn как векторное пространство.

Если в Rn ввести операции сложения двух элементов x = (x1; x2; : : : ; xn), y = (y1; y2; : : : ; yn) и умножения элемента

x= (x1; x2; : : : ; xn) на действительное число соответственно по формулам:

x + y = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn);x = ( x1; x2; : : : ; xn);

то Rn станет векторным (линейным) пространством над полем действительных чисел.

Векторы ek = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0), k = 1; n (1 стоит только на k-том месте) образуют линейно независимую систему векторов в пространстве Rn. Любой вектор x 2 Rn можно разложить по базисным векторам ek, k = 1; n в виде

x = x1e1 + x2e2 + : : : + enxn:

2.2.2. Норма в Rn.

Определение 1. Пусть X векторное пространство. Функция jj jj : X ! R, удовлетворяющая условиям

1)kxk > 0; причем kxk = 0 , x = 0,

2)k xk = j j kxk,

3)kx + yk 6 kxk + kyk (неравенство треугольника),

8x; y 2 X; 8 2 R, называется нормой в X. Число kxk норма вектора x.

Векторное пространство X с введенной в нем нормой называется векторным нормированным пространством. В векторном пространстве Rn определим норму по формуле

x	= v				(2.6)
		n	xk2 ;
k k	uk=1
	uX

t

где x = (x1; : : : ; xn) 2 Rn. Можно показать, что указанная функция (2.6) удовлетворяет условиям 1)-3).

Таким образом если в Rn ввести норму по формуле (2.6), то Rn станет векторным нормированным пространством

над полем действительных чисел. Из (2.6) следует:
kx yk = (x; y);	kxk = (x; 0);	(2.7)

где (x; y) расстояние между векторами x, y, которые рассматриваются как точки метрического пространства Rn.