Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.2. Интегрирование классов функций
Меню 4.2.3. Тригонометрические интегралы	Назад Вперёд

4.2.3. Тригонометрические интегралы

Пусть имеем интеграл вида
∫	(sin , cos ) ,	(4.13)

где ( , ) — рациональная функция двух переменных и .

В этом случае функцию (sin , cos ) называют тригонометрической рациональной функцией.

Интеграл (4.13) рационализуется (т.е. приводится к интегралу от алгебраической рациональной функции) с помощью замены переменной

= tg

.

(4.14)

2

Действительно,

sin =

2 tg 2

=

2

, cos =

1 − tg2 2

=

1 − 2

,

1 + tg2

1 +

2

1 + tg2

1 + 2

2

2

= 2 arctg ,

=

2

(4.15)

1 + 2

и

∫

(1 + 2

1 + 2 )

∫

∫

1 + 2

1

(sin , cos ) =

2

,

1 − 2

2

=

( ) ,

где 1( ) — рациональная функция переменной .

Пример 4.16. Вычислить интеграл ∫

.

2 + cos

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.2. Интегрирование классов функций
Меню 4.2.3. Тригонометрические интегралы	Назад Вперёд

Решение. Положим = tg 2 . Тогда, воспользовавшись формулами (4.15), имеем

∫

2 + cos = ∫

2 +

1+1− 22

1 + 2 = 2

∫

2(1 + 2) + 1 − 2 =

1

2

= 2

∫

= √3 arctg √3

+ = √3 arctg

√3

+ .

2 + 3

2

2

tg

2

На практике замена переменной (4.14) приводит часто к громоздким выкладкам. При определенных условиях более удобны другие замены переменной:

a) если (− sin , cos ) = − (sin , cos ), то полагают = cos ; б) если (sin , − cos ) = − (sin , cos ), то полагают = sin ; в) если (− sin , − cos ) = − (sin , cos ), то полагают = tg .

В частности, рассмотрим вычисление интеграла вида

∫

sin cos ,

, Z.

Возможны следующие случаи:

1)если — нечетное число, то применяется замена sin = ;

2)если — нечетное число, то применяется замена cos = ;

3)если и — четные числа, то применяются формулы понижения степени

sin2 =	1 − cos 2	,	cos2 =	1 + cos 2	,	sin cos =	1	sin 2 ;
	2			2
							2

4) если + — четное отрицательное число, то применяется замена tg = .

Часть I. Теория
Глава 4. Теория интегрирования
4.2. Интегрирование классов функций
Меню 4.2.3. Тригонометрические интегралы	Назад Вперёд

Пример 4.17. Вычислить интеграл ∫

sin2 cos3 .

Решение. В этом случае = 2, =

3. Сделаем замену sin

= . Тогда

cos = . Учитывая то, что cos2 = 1 − sin2 , получим

∫

sin2 cos3 = ∫

sin2 cos2 cos = ∫

2(1 − 2) =

= ∫

( 2 − 4) = 3 3

− 5 5 + =

3 sin3

− 5 sin5 + .

1

1

1

1

Пример 4.18. Вычислить интеграл ∫

sin2

.

cos4

Решение. В этом случае = 2, =

−

4. Сделаем замену tg = . При этом

= . Значит,

2

cos

∫

= ∫ tg2 cos2 =

∫

2 = 3

3 + = 3 tg3

cos4

+ .

sin2

1

1