Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.1. Матрицы и определители
Меню 8.1.6. Обратная матрица	Назад Вперёд

8.1.6. Обратная матрица

Определение. Пусть — квадратная матрица. Матрица −1 называется обратной для , если

−1 = −1 = ,

где — единичная матрица.

Теорема 8.1. Если для квадратной матрицы существует обратная, то она единственная. [Доказательство]

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю: det ̸= 0. В противном случае, когда det = 0, матрица называется вырожденной.

Определение. Матрица *, транспонированная к матрице алгебраических дополнений квадратной матрицы , называется присоединённой к матрице

.

Пример 8.20. Выпишем произвольную квадратную матрицу третьего порядка и её присоединённую *:

=	11	12	13		,	* =	11	21	31	.	(8.5)
	21	22	23				12	22	32
	31	32	33				13	23	33

Теорема 8.2. Для квадратной матрицы существует обратная тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. При этом

−1 =		1			· *,	(8.6)
	|		|
где * — присоединённая матрица.						[Доказательство]

Невырожденные матрицы обладают следующими свойствами:

	Часть I. Теория
	Глава 8. Линейная алгебра
	8.1. Матрицы и определители
Меню	8.1.6. Обратная матрица							Назад Вперёд
	1			1			3)	( )−1 = ( −1) ,
1)	| −	| =				,
			|		|
							4) ( )−1 = −1 −1,
2) ( −1)−1 = ,							5) ( −1) = ( )−1.

Теорема 8.2 позволяет сформулировать следующий алгоритм нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы .

1. Вычисляем определитель | |. Если | | = 0, то матрица вырожденная и обратная −1 не существует. Если | | ̸= 0, то есть матрица невырожденная, то продолжаем вычисления.

2. Находим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы . 3. Строим присоединённую матрицу *.

4. Выписываем обратную матрицу −1 по формуле (8.6).

		1	−1	1
Пример 8.21. Найти матрицу, обратную к =	1		1	2		.

Решение. 1. Данная матрица уже рассматривалась в примере 8.3. Там мы нашли, что | | = 5 ̸= 0. Значит, матрица невырожденная, и обратная существует.

2. Находим алгебраические дополнения элементов матрицы :

			1	1
11 = (−1)1+1						= 1 · (2 − 1) = 1,
		1		2
	1+2	2		1
12 = (−1)		1 2				= (−1) · (4 − 1) = −3,
	1+3	2		1
13 = (−1)						= 1 · (2 − 1) = 1.
		1 1

Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.1. Матрицы и определители
Меню 8.1.6. Обратная матрица																										Назад Вперёд
Аналогично
		1	1					1			1										1			1
21	= − −1 2 = 3,				22	=	1 2						= 1,			23 = −				1		−1				= −2,
	1 1									1			1						1			1
31					32	=	−								= 1,	33	=							= 3.
	= −1 1 = −2,								2 1									2				−1

3.Выписываем присоединённую матрицу:

1 3 −2

* =

−1

2

3

.

−

4. По формуле (8.6) выписываем обратную матрицу:

1

3

2

1/5

3/5

2/5

−1 =

1

3

1

−1

=

3/5

1/5

−1/5 .

−

−

2

2/5

5 −1

3 −1/5

3/5

Проведём проверку. По определению обратной матрицы, перемножив

Часть I. Теория
Глава 8. Линейная алгебра
8.1. Матрицы и определители
Меню 8.1.6. Обратная матрица	Назад Вперёд

матрицы и −1, мы должны получить единичную матрицу . Убедимся, что так оно и есть:

				1	1	1	1		3	2
	·	−1 =	1	2	−1	1	3		1	−1	=
			5
				1	1	2 −1			2	3
								−

	1			1 + 3 + 1	3 + (−1) + (−2) (−2) + (−1) + 3
=			2 + ( 3) + 1		6 + 1 + ( 2)				( 4) + 1 + 3				=
				−			−		−
	5 1 + (−3) + 2				3 + 1 + (−4)				(−2) + 1 + 6
							5	0	0	1	0		0
					=	1	0 5 0 =			0	1	0		= .
					5		0	0 5		0	0	1

Замечание 8.9. Для квадратной матрицы второго порядка присоединённая матрица находится по следующему простому правилу: элементы главной диагонали меняются местами, а элементы побочной диагонали умножаются на −1. Это позволяет для любой невырожденной квадратной матрицы второго порядка быстро выписывать обратную матрицу −1:

	( 21	22)			11	22	1	21 12	(	21	11	)
=	11	12 ,	−1	=						22	− 12	.	(8.7)
							−			−