8.2. Порядок виконання операцій взяття кореня та піднесення до степеня можна міняти місцями

,

де першою виконується операція в дужках.

Справді,

8.3.

тобто, спільний множник показників кореня та степеня можна скорочувати.

8.4. Правило внесення множника під знак кореня та винесення множника за знак кореня

.

Справді,

8.5.

тобто, операції піднесення до степеню n та взяття кореня n-го степеню є взаємно оберненими і тому при послідовному виконанні ця пара операцій „ліквідується^”.

Зауваження 1. Має місце рівність

оскільки тут величина а може бути від’ємною, і якщо перед коренем парного степеня не вказано подвійного знаку, то під його значенням розуміють одне невід’ємне значення – арифметичне значення кореня парного степеня

Приклади до розділу 8

а) Спростити вираз , використовуючи степені з дробовими показниками.

Розв’язання

б) Що більше чи?

Розв’язання

в) Ліквідувати іраціональність в знаменнику дробу .

Розв’язання

.

г) Обчислити значення виразу

Розв’язання

9. Формула коренів квадратного рівняння

де величина

є дискримінантом (“розрізнювач”) квадратного рівняння.

Приклади до розділу 9

Знайти корені квадратних рівнянь повного а) та неповних б), в):

а) б) в) .

Розв’язання

.

Оскільки рівняння б) є неповне, його можна розв’язати в інший спосіб – методом розкладу на множники

Оскільки рівняння в) є неповним, його можна розв’язати в інший спосіб

10. Градусна та радіанна міри плоского кута

Величина плоского кута, що відповідає одному центральному куту круга, розділеного на 360 рівновеликих секторів, складає значення 1 градус (1).

Величина кута, що відповідає центральному куту кола, який опирається на дугу кола довжиною, рівною радіусу, складає значення 1 радіан (1рад).

Згідно першому з цих визначень повний кут кола має 360. Оскільки довжина кола становить 2R лінійних одиниць, то в довжині кола довжина радіуса укладається 2=23,14…6 разів. Тому згідно з визначенням кутової міри в радіанах, повний кут кола містить 2… радіан.

Звідси випливає така відповідність між числовою мірою плоского кута в градусах і в радіанах:

(1)

Згідно цій відповідності в куті величиною 1 радіан міститься градусів

11. Поняття тригонометричних величин: синус, косинус, тангенс і котангенс кута, їхні властивості.

В прямокутному трикутнику АОА^´ (Рис.1) з гострим кутом  АОА^´ =  та гіпотенузою ОА за означенням:

а) величина відношення протилежного до кута  катета до гіпотенузи є синусом кута 

б) величина відношення прилеглого до кута  катета до гіпотенузи є косинусом кута 

в) відношення протилежного до кута  катета до катета прилеглого є тангенсом кута 

або з врахуванням а), б)

г) величина відношення прилеглого до кута  катета до катета протилежного – котангенс кута 

або з врахуванням в)

Прямокутні трикутники з однаковим гострим кутом  подібні (тобто, відношення довжин відповідних сторін таких трикутників є однаковими), тому вказані тригонометричні величини не залежать від розмірів сторін трикутників.

Розглянемо прямокутний трикутник АОА^´ з гострим кутом  АОА^´ =  та гіпотенузою ОА=1 в системі координат ОXY, як вказано на Рис.1. Величина кута  цілком визначатиметься положенням точки А на одиничному колі (радіуса R=1), тобто вектором .

Нехай точка А має координати (x, y). Тоді згідно з означеннями а), б), в), г) маємо:

(2)

Рис. 1	Рис. 2

Формули (2) дозволяють поширити визначення тригонометричних величин для гострого кута прямокутного трикутника на випадок тупого або від’ємного кута, не пов’язаного з прямокутним трикутником, Рис.2, Рис.3. При цьому додатним (від’ємним) кутом вважають кут , отриманий поворотом проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою) додатної піввісі ОХ до її суміщення з напрямком вектора , який визначає цей кут (Рис.3).

Тригонометричні величини для довільного кута обчислюються через координати (х, y) відповідної точки на одиничному колі, яка визначає цей кут (Рис.2, 3), за формулами (2). Знак відповідної тригонометричної величини для кута  визначається знаками координат точки у тому квадранті (чверті) координатної площини, який відповідає цьому куту.

Рис.3

Оскільки при заміні величини кута , Рис.1, на кут    може змінитися лише знак однієї чи обох координат (x, y) точки A на одиничному колі, то згідно з формулами (2) за такої зміни кута може змінитися лише знак синуса чи косинуса, а величини тангенса і котангенса не змінюються:

, (3)

. (4)

Відповідно синус і косинус кута  не змінюються при заміні кута  на кут   2 , тобто

. (5)

Заміна кута  на доповнюваний кут (/2 – ), який в сумі з кутом  дає /2 = 90 , приводить до співвідношень:

. (6)

Зауваження 2. Формули (3) – (6) справедливі не лише у випадку кута  гострого, о також і у випадку кута  тупого та від’ємного.

Для кутів з протилежними знаками маємо (див. (2) і знаки координат т.А на Рис.1, Рис.3):

. (7)

Координати (x, y) точки A на одиничному колі (Рис.1) задовольняють нерівності x 1, y 1, тому значення тригонометричних величин для кута  згідно з формулами (2) задовольняють умови:

. (8)

В прямокутному трикутнику АОА^´ (Рис.1) у випадку кута  = 45 довжини катетів однакові, а у випадку кута  = 30 довжина протилежного до цього кута катета дорівнює половині гіпотенузи. Застосувавши теорему Піфагора, отримаємо значення координат т.А(х,у) на одиничному колі:

 = 45, ОА=1  у = АА^´=1/2, х = ОА^´ =1/2;

 = 30, ОА=1  у = АА^´ = 1/2, х = ОА^´ =3/2,

що дозволяє за формулами (2) обчислити значення тригонометричних величин для деяких кутів, приведених в таблиці 1.

Таблиця 1

Кут 	sin	cos	tg	ctg
0	0	1	0	
30	1/2	3/2	1/3	3
45	1/2	1/2	1	1
60	3/2	1/2	3	1/3
90	1	0		0

Оскільки для координат точки н А(х,у) на одиничному колі має місце рівність х²+у²=R²=1, то з урахуванням формул (2) дістанемо основну тригонометричну тотожність