3. Аппроксимация сигналов

В этой разделе рассмотрим широко известный аппроксимационный метод наименьших квадратов для функции одной переменной, а также альтернативный метод, который позволяет снизить вычислительные затраты и упростить реализацию на ПЭВМ – модифицированный метод равных площадей. В частности, в Simulink- структурах анализа динамических систем удобнее использовать именно метод равных площадей благодаря его преимуществам.

_{Пусть непрерывный сигнал}

_{x(t )}

_{задан на некотором интервале}

_{изменения аргумента}

_v

[0,T ]. Выбирается некоторая система функций

_{S = {s (t )}}ⁿ

_{, заданных на том же интервале изменения аргумента. Из}

k k = 0

теории аппроксимации известно [6, 18], что сигнал может быть представлен на определенном интервале изменения аргумента обобщенным полиномом

_n

^{xa (t ) = ∑ X (k )sk (t ).}

^{k = 0}

_{Систему коэффициентов}

(3.1)

_{X (k ) обычно называют}

_{аппроксимирующим полиномиальным спектром (АПС) сигнала x(t ) .}

3.1. Метод наименьших квадратов

Задача определения аппроксимирующего спектра методом наименьших квадратов формулируется следующим образом [18, 26]:

определить систему величин

_{функции ошибки}

X (k ) , минимизирующую норму

β (t )

β (t ) = x_a (t ) − x(t ).

В качестве нормы ошибки будем использовать условие

₁ ^T

_∫

r (t )β ² (t )dt = min,

^T ₀

_где r (t ) _{- весовая функция.}

^v

_{Вектор АПС X = {X (k )}}ⁿ

k = 0

_v

сигнала находится по формуле:

_r

^{X = W−1 ⋅ Q,}

(3.2)

_v

где элементы операционных матриц W и и вектора Q

_{следующим образом:}

вычисляются

T

^{w ij =} ∫ ^{r (t )si −1(t )s j −1(t )dt,}

0

T

^{qi =} ∫ ^{r (t )si −1(t )x(t )dt,}

0

_{i, j = 1,..., n + 1.}

(3.3)

Рассмотрим использование метода наименьших квадратов на примере.

Пример 3.1.

_{Необходимо аппроксимировать методом наименьших квадратов}

_сигнал

_{x(t ) = cosπt} ²

_{на интервале [0, 1] . В качестве базисных функций}

взять степенные функции 5-го порядка.

Структурные схемы определения коэффициентов по формулам

3.2-3.3 представлены на рис. 3.1и 3.2.

Рис. 3.1. Структурная схема определения коэффициентов аппроксимирующего полинома

Основу схемы составляет подсхема Analysis MNK, которая в развернутом виде приведена на рис. 3.1б. Виртуальные индикаторы Scope и Display, показанные на этой подсхеме, не являются обязательными для определения коэффициентов аппроксимирующего полинома, а предназначены для контроля правильности построения структурной схемы в процессе отладки виртуальной модели.

Рис. 3.2. Рассчет коэффициентов по методу наименьших квадратов.

После расчета коэффициентов сигнал восстанавливается по схеме, приведенной на рис. 3. 3.

Рис. 3.3. Восстановление сигнала по найденному спектру

Результаты работы модели выводятся на экран виртуального осциллографа, и изображены на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Исходный сигнал x(t ) = cosπt ² и его аппроксимация по методу наименьших квадратов.