Вища геодезія для Mathcad
.pdfа коефiцiєнти ak, bk є функцiями B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
a = |
1 |
N sin B cosB , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a4 = |
24 N sin B cos B (5 |
− |
tg B + 9η + 4η ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||
|
8 |
|
|
|
|
N sin B cos B (61 |
|
58 tg B + tg |
|
B + 270η |
|
|
|
330η |
tg |
|
||||||||||||||||||||||||||
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
720 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b = N cos |
B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
B), |
|||||||
a = |
40320 |
N sin B cos B (1385 |
|
|
3111 tg |
B + 543 tg |
|
|
tg |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
tg2 |
B + η2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b3 = |
61 N cos3B ( |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
|
|
|
N cos B (5 |
|
|
|
18 tg B + tg |
B + 14η |
|
|
58η tg B), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b7 = |
5040 |
N cos |
B |
(61 |
|
479 tg |
|
B + 179 tg |
B |
|
|
tg |
|
B), |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e cos B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де позначено |
η = |
√ |
|
|
|
|
|
i, крiм того, в коефiцiєнтах a6 |
та b5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 −e |
2 |
|
B),
(7.15)
вiдкинуто
як малi доданки з множником η4, а в коефiцiєнтах a8 та b7 — доданки з множником η2.
Формули (7.13), (7.15) забезпечують в плоских координатах точнiсть 0,01 м при рiзницi довгот l = 9◦.
Для оберненого переходу вiд плоских координат до геодезичних можна
також побудувати формули у виглядi рядiв |
+ . . . |
|
(7.16) |
||||
|
( l = B1y + B3y3 |
+ B5y5 |
+ B7y7 |
|
|||
|
B = B |
+ A y2 |
+ A y4 |
+ A y6 |
+ A y8 |
+ . . . |
|
|
x |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bx |
|
B |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qx |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
L1 |
L |
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
O |
|
|
|
O |
|
|
|
Рис. 7.2 |
|
|
|
|
Рис. 7.3 |
|
91
Коефiцiєнти Ak, Bk в цих рядах є функцiями x.
|
A2 = − |
1 + ηx2 |
tg Bx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 Nx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
A = |
|
|
A2 |
(5 + 3 tg2 B + η2 |
|
|
9η2 tg2 B 4η4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
− |
12 Nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A6 = |
|
|
|
|
|
61 + (90 252ηx) tg |
|
|
Bx + 46ηx + 45 tg |
Bx(1 |
|
|
2ηx) |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
360 Nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A8 = |
|
|
− |
|
|
6 |
|
(1385 + 3633 tg Bx + 4095 tg |
Bx + 1575 tg Bx), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20160 Nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.17) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
B |
|
Nx |
B1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
B |
|
η2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 (1 + 2 tg |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
− |
6 Nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B5 = |
|
|
|
|
(5 + 28 tg Bx + 24 tg Bx + 6ηx + 8ηx tg Bx), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
120 N |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B7 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
(61 + 662 tg |
|
Bx + 1320 tg |
|
|
Bx |
+ 720 tg |
|
Bx). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5040 Nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e cos Bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
позначено η |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
√1 −e2 |
|
|
|
x |
|
|
p1 −e2 sin2 Bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Продиференцiюємо ряди (7.13) по l: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
= 2a2l + 4a4l3 + 6a6l5 + 8a8l7 + ..., |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂l |
|
|
|
|
|
(7.18) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= b1 + 3b3l |
|
+ 5b5l |
|
+ 7b7l |
|
+ ..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Якщо коефiцiєнти |
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k, |
k обчисленi, то зближення меридiанiв та масштаб в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
будь-якiй точцi можна знайти за формулами (7.8) та (7.9). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
s |
∂x |
2 |
|
|
∂y |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
tg γ = |
|
. |
|
, |
|
|
|
m = |
|
|
|
+ |
|
. |
|
(7.19) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂l |
∂l |
|
|
|
N cos B |
∂l |
∂l |
|
В MATHCAD перехiд вiд геодезичних координат B, L до плоских декартових координат Гауса–Крюгера i навпаки здiйснюється за допомогою функцiй GK_BL2xy та GK_xy2BL (вони описанi всерединi файла GeodeticLib.xmcdz).
GK_xy2BL на основi плоских координат Гауса–Крюгера x, y для елiпсоїда iз екваторiальним радiусом a та ексцентриситетом e повертає значення геодезичної широти B та рiзницi довгот dL (вона вiдповiдає величинi l, яка використовувалась у наведених вище формулах); формат виклику насту-
пний: |
|
|
B |
|
L := GK_xy2BL(x, y, a, e) |
92
GK_BL2xy на основi геодезичної широти B та рiзницi довгот dL повертає для заданої точки значення плоских координат Гауса–Крюгера x, y, а також
значення зближення меридiанiв γ та масштабу m.
x
y := GK_BL2xy(B, dL, a, e)
γ m
7.3.Редукування геодезичної лiнiї при переходi до координат Гауса–Крюгера
На рис. 7.4 показано зображення двох точок Q1 та Q2 в проекцiї Гауса– Крюгера. Криволiнiйний вiдрiзок, який їх сполучає — це зображення вiдрiзку геодезичної на елiпсоїдi. Кут A — це азимут геодезичної в точцi Q1; при конформному вiдображеннi вiн зберiгає своє значення.
Нехай (x1, y1) та (x2, y2) — це прямокутнi координати точок Q1, Q2; α — це кут мiж лiнiєю y = const та вiдрiзком Q1Q2.
Виявляється, що розв’язання оберненої геодезичної задачi на малi вiдстанi на поверхнi елiпсоїда можна наближено замiнити розв’язанням прямої та оберненої геодезичної задачi в прямокутних координатах xy, якщо точки Q1 та Q2 лежать в межах однiєї шестиградусної зони, причому азимут A та
x
γ |
|
|
A α |
Q1 |
δ |
|
d Q2
y
Рис. 7.4
93
довжина s зображення вiдрiзку геодезичної лiнiї Q1, Q2 обчислюються за формулами:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A= α+ γ −δ, |
+ 720Rm6 |
|
|||||||
|
|
|
|
s = d · 1 + 2Rm2 + 24Rm2 |
+ 24Rm4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
y2 |
|
|
y4 |
|
y6 |
−1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
де позначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y + y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ym = |
|
1 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
y = y2 −y1, |
|
|
x = x2 −x1, |
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
− 6 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
−2Rm2 |
|
|
|
|
− |
3Rm2 |
− 2 |
|
|
Rm3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y3 |
|
|
e2 sin 2Bm |
y2 y, |
|
|||||||
δ = |
|
|
|
|
|
ym |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
α = atan2 ( x, |
|
|
|
y) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d = q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 + |
y2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
B |
= |
B1 + B2 |
|
(B , B — геодезичнi широти точок Q , Q ), |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
||||
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 −e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Rm |
= |
|
a |
|
|
|
|
|
— середнiй радiус кривизни на широтi Bm, |
||||||||||||||||||
|
1 −e2 sin2 Bm |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ — зближення меридiанiв в точцi Q1.
94
Додаток А. Параметри загальноземних елiпсоїдiв,
якi використовуються в деяких координатних системах
Таблиця 1.1
a — екваторiальний радiус елiпсоїда, м b — мала пiввiсь елiпсоїда, м
α— стиснення елiпсоїда
e— ексцентриситет елiпсоїда
e′ |
— другий ексцентриситет елiпсоїда |
GM |
— добуток гравiтацiйної сталої на масу Землi, м3/с2 |
J2, J4, J6 |
— коефiцiєнти зональних гармонiк |
ω— кутова швидкiсть обертання Землi, рад/с
U0 — нормальний потенцiал на поверхнi елiпсоїда, м2/с2 W0 — потенцiал на геоїдi, м2/с2
gекв — прискорення вiльного падiння на екваторi, м/с2 gпол — прискорення вiльного падiння на полюсi, м/с2
M— маса Землi, кг
GRS-80
Визначаючi параметри:
a |
= 6 378 137 |
GM = 3,986 005 |
·1014 |
|
J2 |
= 1,082 63·10−3 |
ω |
= 7,292 115 |
·10−5 |
|
Похiднi параметри: |
|
||
b |
= 6 356 752,314 140 |
J4 |
= −2,370 912 22·10−6 |
|
α |
= 1/298,257 222 101 |
J6 |
= 6,083 47·10−9 |
|
e2 |
= 0,006 694 380 022 901 |
J8 |
= −1,427·10−11 |
|
e′2 |
= 0,006 739 496 775 48 |
gекв = 9,780 326 771 5 |
||
U0 |
= 62 636 860,850 |
gпол = 9,832 186 368 5 |
||
|
|
WGS-84 |
|
|
|
|
|
||
|
Визначаючi параметри: |
|
||
a |
= 6 378 137 |
GM = 3,986 004 418·1014 ±8·105 |
||
α |
= 1/298,257 223 563 |
ω |
= 7,292 115 |
·10−5 |
|
Похiднi параметри: |
|
||
b |
= 6 356 752,314 245 |
J2 |
= 1,082 629 821 313 3·10−3 |
|
e |
= 0,081 819 190 842 622 |
U0 |
= 62 636 851,714 6 |
|
e2 |
= 0,006 694 379 990 14 |
gекв = 9,780 325 335 9 |
||
e′ |
= 0,082 094 437 949 696 |
gпол = 9,832 184 937 8 |
||
e′2 |
= 0,006 739 496 742 28 |
M |
= 5,973 332 8·1024 |
|
|
|
ПЗ-90 |
|
|
|
|
|
||
a |
= 6 378 136 |
GM = 3,986 004 4·1014 |
95
|
α |
= 1/298,257 839 303 |
J2 |
= 1,082 625 7·10−3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
e2 |
= 0,006 694 366 193 10 |
U0 |
= 62 636 861,074 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ω |
= 7,292 115·10−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IERS-96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a |
= 6 378 136,49 |
GM = 3,986 004 418 |
1014 |
|
|
|
|
|
|||||
|
α |
= 1/298,256 45 |
J2 |
|
|
· |
− |
|
|
|
|
|
||
|
= 1,082 635 9·10 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
e2 |
= 0,006 694 397 236 |
U0 |
= 62 636 856,85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ω |
= 7,292 115·10−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IERS-2002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
= 6 378 136,6±0.1 |
GM = 3,986 004 418·1014 ±8·105 |
|
|
|
|
|
||||||
|
α |
= 1/298,256 42±0,000 01 |
J2 |
= 1,082 635 9·10−3 ±10−10 |
|
|
|
|
|
|||||
|
ω |
= 7,292 115·10−5 |
W0 |
= 62 636 856,0±0,5 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
gекв = 9,780 327 8±10−6 |
|
|
м3 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
IERS Conventions (2003) рекомендує значення G = (6,673±0,010) ·10−11 |
|
|
. |
|||||||||||
кг· с2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
м3 |
|
|
|
||||||
IAG рекомендує значення G = (6,67259±0,0003) ·10−11 |
|
. |
|
|
|
|||||||||
кг· с2 |
м3 |
|
||||||||||||
CODATA в 2002 р. рекомендувала значення G = (6,6742±0,0010) ·10−11 |
||||||||||||||
кг· с2 |
96
Додаток Б. Особливостi виконання символьних обчислень в Mathcad
Б.1. Особливостi поєднання символьних та числових обчислень
Користувач повинен пам’ятати про особливостi “поведiнки” MATHCAD, якi проявляються при поєднаннi числових та символьних обчислень. Деякi з них будуть продемонстрованi нижче.
Для коректної роботи з символьними виразами в MATHCAD потрiбно спочатку “оголосити” змiннi, якi будуть використовуватись у виразах. Це робиться шляхом двох послiдовних присвоєнь вигляду
Iм’яЗмiнної := ЧисловеЗначення |
Iм’яЗмiнної := Iм’яЗмiнної |
причому порядок присвоєнь має значення. Наприклад, оголосимо в документi змiнну з iменем t:
t 1 t t
Далi змiннiй f присвоїмо значення виразу, в якому фiгурує змiнна t, та виведемо значення змiнної f двома способами:
f |
|
cos(2 t) sin(3 t) |
|
f |
|
0.2750268284872752 |
f o cos(2 t) sin(3 t) |
Оператор = в MATHCAD традицiйно застосовується для виведення результату числових обчислень, а результати символьних обчислень виводяться за допомогою оператора символьного виводу →, який вводиться комбiнацiєю клавiш Ctrl-. До речi, можна примусити MATHCAD вiдображати оператор символьного виводу як знак рiвностi; для цього потрiбно вибрати пункт меню Инструменты Параметры, а потiм в дiалоговому вiкнi на вкладцi Отображение для вiдображення аналiтичних операторiв (випадаючий список Аналитические) вибрати один з варiантiв — Стрелка вправо или
Знак равенства.
Як бачимо, чисельний результат — це числове значення виразу cos 2t + sin 3t, в який пiдставлено значення t = 1, яке було присвоєно змiннiй t на початку документа. Оператор символьного виводу примушує MATHCAD вiдобразити символьний результат — вираз, який був присвоєний змiннiй f; числове значення змiнної t тут не пiдставляється та обчислення не виконується. Змiнна f демонструє свою подвiйну природу: в чисельних розрахунках вона трактується як число, а в символьних — як вираз, тобто насправдi змiнна f одночасно зберiгає як числове значення, так i символьний вираз.
Тепер спробуємо обчислити значення похiдної по t (оператор dtd встав-
97
ляється в документ за допомогою кнопки ). Чому в даному випадку дорiвнює значення змiнної df ? Виявляється, що оператори чисельного та символьного виводу дають рiзнi результати:
df |
|
|
d |
f |
|
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
df |
|
0 |
|
df o 3 cos(3 t) 2 sin(2 t) |
Логiчне пояснення цьому явищу просте: в чисельному розрахунку похiдної змiнна f вважалася числом, а похiдна вiд числової константи — це нуль; в символьному розрахунку змiнна f вважалася виразом cos 2t + sin 3t, вiд якого i була взята похiдна. Надалi змiнна df має також виявляти подвiйнiсть — бути нулем в чисельних розрахунках та виразом в символьних.
Тепер розглянемо дещо iнше присвоєння значення змiннiй df — знаходження похiдної з одночасним виведенням символьного результату:
|
d |
|
|
|
|
|
Змінній df присвоюється |
df |
f |
3 cos(3 t) |
|
2 sin(2 t) |
|||
dt |
|
останній результат |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
df |
4.788572343452699 |
df o 3 cos(3 t) 2 sin(2 t) |
Оператори чисельного та символьного виводу показують, що дане присвоєння еквiвалентне присвоєнню вигляду df := 3 cos(3 ·t) −2 sin(2 ·t).
Наступний варiант присвоєння включає виведення спочатку символьного, а потiм чисельного результату. В символьний результат пiдставляється поточне значення змiнної t, тобто t = 1, тим самим отримується число, яке i присвоюється змiннiй df.
|
d |
|
|
3 cos(3 t) |
|
|
|
|
|
Змінній df присвоюється |
df |
f |
|
2 sin(2 t) |
|
|
4.788572343452699 |
||||
dt |
|
|
|
останній результат |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
df |
4.788572343452699 |
|
|
df o 4.7885723434526994 |
Нарештi, продемонструємо обчислення числового значення символьного виразу при заданому t. Для цього скористаємось оператором пiдстановки substitute (вiн вводиться натисканням вiдповiдної кнопки на панелi iнструментiв Аналитические). У вираз, який ранiше був присвоєний змiннiй f, замiсть t пiдставимо значення 2 (у виразi t = 2 знак = вводиться комбiнацiєю клавiш Ctrl-=).
f substitute t = 2 o cos(4) sin(6) 0.9330591190625378 |
t 1 |
Як бачимо, змiнна t свого значення не змiнила, про що свiдчить виведене злiва її значення.
98
Ось iнший спосiб обчислення: спочатку присвоїмо змiннiй t значення 2, а потiм спробуємо вивести значення змiнної f двома способами.
t |
2 |
|
|
f |
0.2750268284872752 |
f o cos(2 t) sin(3 t) |
0.9330591190625378 |
В чому причина рiзних результатiв? В першому випадку проявляється “числова” природа змiнної f i виводиться її числове значення, яке було їй присвоєно на початку документу, коли значення t дорiвнювало 1. Зрозумiло, що присвоєння нового числового значення змiннiй t нiяк не вплинуло на числове значення змiнної f. В другому випадку оператор символьного виводу примушує MATHCAD використати символьний вираз, присвоєний змiннiй f, та пiдставити в нього поточне значення змiнної t, тобто 2.
Щоб позбутися незручностей, пов’язаних iз “прив’язкою” змiнної f до значення змiнної t, достатньо оголосити функцiю f(t)
t 1 |
t t |
f (t) cos(2 t) |
sin(3 t) |
Зауважимо, що в оголошеннi функцiї символ t позначає вхiдний аргумент, вiн нiяк не зв’язаний з оголошеною в документi змiнною t. Вхiдний аргумент можна було б iменувати по-iншому, наприклад, оголосивши функцiю f(t) так:
f (x) cos(2 x) sin(3 x)
Тепер можна отримувати значення функцiї t, передаючи їй або поточне значення змiнної, або конкретне числове значення
f (1) |
0.2750268284872752 |
|
|
...або поточнi значення змiнних |
|
|
|
f (t) |
0.2750268284872752 |
z |
3 |
f (z) |
1.3722887718921226 |
|
|
Функцiю f(t) можна використовувати i в символьних обчисленнях:
f (t) o cos(2 t) |
sin(3 t) |
f (z) o cos(6) |
sin(9) |
f (x y) o cos(2 x 2 y) sin(3 x 3 y)
Звернiть увагу: для змiнної z не було зроблено присвоєння вигляду z := z,
99
тому в символьний результат для f(z) пiдставляється її числове значення). Змiннi x та y взагалi не були оголошенi, тим не менш символьний результат виводиться.
Якщо в документi потрiбно часто працювати з похiдною вiд функцiї f, доцiльно створити окрему функцiю df, призначену для обчислення похiдних. Продемонструємо два варiанти створення та використання цiєї функцiї.
1-й варiант:
df (t) |
d |
f (t) |
|
|
|
|
|
||
|
dt |
|
|
|
df (t) |
4.78857234345273 |
df (t) o 3 cos(3 t) |
2 sin(2 t) |
|
df (2) |
4.394115850566994 |
df (2) o 3 cos(6) |
2 sin(4) |
|
|
|
|
||
2-й варiант: |
|
|
||
|
|
|
|
|
df (t) |
d |
f (t) o 3 cos(3 t) |
2 sin(2 t) |
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
df (t) |
4.788572343452699 |
df (t) o 3 cos(3 t) |
2 sin(2 t) |
|
df (2) |
4.394115850566955 |
df (2) o 3 cos(6) |
2 sin(4) |
|
|
|
|
|
|
На перший погляд здається, що обидва варiанти еквiвалентнi мiж собою, але вiдмiннiсть мiж ними є. Можна помiтити, що результати чисельних обчислень похiдних в першому i другому варiантах дещо вiдрiзняються в останнiх цифрах. Причина полягає в тому, що в першому варiантi числове значення похiдної обчислюється за спецiальним чисельним алгоритмом (методом Рiддера), а в другому варiантi числове значення похiдної отримується на основi символьного виразу 3 cos(3 ·t) −2 sin(2 ·t), оскiльки другий варiант створення функцiї df еквiвалентний присвоєнню вигляду
df(t) := 3 cos(3 ·t) −2 sin(2 ·t)
Б.2. Особливостi символьних операцiй з векторами в Mathcad
Оголосимо символьнi змiннi, якi служитимуть компонентами векторiв, та створимо два вектори a i b — матрицi розмiром 3 ×1.
ǹ ȣȓȒȈ:D:\GEODETICLIB.XMCDZ(R) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ax |
0 |
ax |
ax |
ay |
0 |
ay |
ay |
az |
0 |
az |
az |
bx |
0 |
bx |
bx |
by |
0 |
by |
by |
bz |
0 |
bz |
bz |
100