Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta
.pdfТ.1 ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ |
|
||||||
|
1.1. Комплексні числа та дії над ними |
|
|||||
Вираз |
|
|
z = x + iy, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
де x і y – дійсні числа, i = −1 |
— уявна одиниця |
(i2 =−1) , називають |
|||||
комплексним числом. Таку форму запису комплексного числа називають |
|||||||
алгебраїчною. |
|
|
|
|
|
|
|
Число x називають дійсною частиною числа z і позначають x = Re z; y — |
|||||||
уявною частиною z і позначають y = Im z. |
|
|
|||||
Два комплексні числа z1 і z2 рівні тоді і тільки тоді, коли |
|
||||||
|
|
|
Re z1 =Re z2 і Im z1 = Im z2. |
|
|
||
Якщо y = 0, то комплексне число z = x + 0·i = x є дійсним числом; якщо |
|||||||
x = 0 і y ≠ 0, то z = iy — суто уявне число. |
|
|
|||||
Число z = x + iy дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли x = 0 і y = 0. |
|
||||||
Y |
|
|
Геометрично комплексне |
число z = x + iy |
зо- |
||
А(х,у) |
бражають у площині Оxy точкою з координатами x |
||||||
y |
|||||||
|
|
та y (рис. 3.1), причому між множиною всіх ком- |
|||||
r |
|
|
плексних чисел і множиною всіх точок площини |
||||
φ |
|
|
існує взаємно однозначна відповідність. |
|
|||
x |
|
Площину, точки якої зображають комплексні |
|||||
О |
X |
||||||
числа, називають комплексною площиною Z. При |
|||||||
Рис. 3.1 |
|
|
цьому дійсним числам відповідають точки, розмі- |
||||
|
|
|
щені на осі абсцис (осі Оx); суто уявним числам — |
||||
точки, розміщені на осі ординат (осі Оy). Тому вісь Оx називають дійсною |
|||||||
віссю, вісь Оy — уявною віссю. |
|
|
|
||||
Комплексне число |
z = x +iy можна також зображати вектором, поча- |
||||||
ток якого міститься у точці О(0; 0), а кінець — у точці |
A(x, y) . |
|
|||||
Модулем комплексного числа |
z = x + iy (позначення z ) називають до- |
||||||
вжину вектора |
JJJG |
, тобто |
|
|
|
||
OA |
|
|
|
||||
|
|
|
z = |
x2 + y2 . |
|
(3.1) |
|
Очевидно, що 0 ≤| z | < +∞. |
|
|
|
||||
Два комплексні числа z = x + iy та z = x – iy, які відрізняються лише зна- |
|||||||
ком уявної частини, називають спряженими. |
|
|
|||||
Добуток спряжених чисел z і z дорівнює квадрату модуля кожного з |
|||||||
них: zz = x2 + y2 = z 2 = z 2 . |
|
|
|
||||
242 |
|
|
|
|
|
|
|
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/ |