Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta
.pdfТ.4 ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ
1. Обчисліть поверхневий інтеграл першого роду I = ∫∫(x − 2z)dσ по
σ
частині площини х + у + z = 1, розміщеній у першому октанті (рис. 2.65). Розв’язання. Поверхню σ задано рівнянням z = 1− x − y, де функція z і її
частинні похідні |
|
z′ |
= −1, |
|
z′ = −1 |
неперервні |
в |
обмеженій |
замкненій |
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
області D — проекції поверхні σ на площину Oху. Тому заданий інтеграл |
|||||||||||||||||||||||||
існує. Обчислимо його за формулою (2.38): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I = ∫∫ (x − 2(1− x − y)) 1+ (−1)2 + (−1)2 dxdy = |
3∫∫ (−2 + 3x + 2 y)dxdy = |
|
|||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1− x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 3∫ dx ∫ (−2 + 3x + 2 y)dy = 3∫ (−2y + 3xy + y2 ) |
0 |
|
dx = |
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
5 |
|
2 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= 3∫ (5x − 2 − |
3x |
|
+ |
(1− x) |
|
)dx = 3 |
|
|
x |
|
− 2x − x |
|
− |
|
|
(1− x) |
|
|
|
|
= − |
|
. |
||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
6 |
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2. Обчисліть поверхневий інтеграл першого роду I = ∫∫ z(x + 2y)dσ , де
σ
σ ― частина поверхні z = 1− x2 , яка обмежена площинами y = 0 та y = 3 (рис. 2.66).
Розв’язання.Проекція заданої поверхні на площину Оху ― прямокут-
ник: −1 ≤ x ≤ 1, |
0 ≤ y ≤ 3 (рис. 2.67). Знайдемо частинні похідні |
|||||||||
|
|
|
z′ |
= |
− x |
, z′ |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
1− x2 |
y |
|
|
|
|
тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dσ = |
1 |
+ (z′ )2 |
+ (z′ )2 dxdy = |
1+ |
x2 |
dxdy = |
dxdy |
. |
||
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
y |
|
|
1− x2 |
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тепер обчислюємо поверхневий інтеграл
|
I = ∫∫ z(x + 2y)dσ = ∫∫ 1− x2 (x + 2y) |
dxdy |
= ∫∫(x + 2y)dxdy = |
||||||||||||
|
1− x2 |
||||||||||||||
|
|
σ |
D |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ∫ dx∫ (x + 2 y)dy = ∫ |
(xy + y |
|
) |
|
dx = ∫ (3x + 9)dx = |
|
x |
|
+ 9x |
|
= 18. |
||||
|
|
|
|
||||||||||||
−1 |
0 |
−1 |
|
|
|
0 |
−1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
−1 |
200
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/