Vischa_matematika_Chastina_3_Denisyuk_Repeta

1 1

= 2∫ (4 − 2 y2 )(1− y)dy =2∫ (4 − 2 y2 − 4 y + 2 y3 )dy =

0						0
= 2		2 y3		y4				1
	4 y −		− 2 y2 +						= 2		4 −	2	− 2 +	1		=	19	.
	3		4					0			3			4		6

7. Визначте координати центра мас пластини D, обмеженої парабо-лою y2 = x та прямими y = 0 ( y ≥ 0 ), x = 4 (рис. 2.24), якщо густина пластини в кожній точці (x, y) D дорівнює γ(x, y) = y.

Розв’язання. Обчислимо масу пластини та статичні моменти (див. фор-

мули (2.14), (2.15)):

	∫∫					2		4						2							4								2																					y4			2
						∫		∫						∫															∫
m =		ydxdy			=		dy			ydx =						yx						dy =									y(4 − y2 )dy = 2 y2 −																						= 4,
	D					0		y2						0							y2								0				4																	4			0
	M y		=		xydxdy = 2						ydy					4			xdx =2						y			x2											dy =					1		2 y(16			− y4 )dy =
				∫∫												∫
										∫														∫						2				y		2						2				∫
				D						0				y2										0																						0
												1									2			y	6						2						32
											=					8y						−											=									,
												2																											3
																								6							0
											2								4						2										4							2
	M x = ∫∫ y2 dxdy = ∫ y2 dy ∫																				dx =∫ y2 x														y2					dy =∫ y2 (4 − y2 )dy =
				D							0								y2						0																	0
																4				3				y5							2						64
											=								y			−									=										.
																3								5													15
Тоді																															0
												32																														64
									M y												8												M x														16
						x =					=			3				=				,			y =															=			15		=			.
							c			m				4							3					c								m								4				15
8. Обчисліть площу частини параболоїда обертання 2z = x2 + y2																																																					( x ≥ 0 ),

відсіченої площинами x = 0 та z = 8 (рис. 2.25).

Розв’язання. Задана поверхня проектується на площину Оху у напівкруг радіуса R = 4 з центром у початку координат: x2 + y2 = 16, x ≥ 0 .

Оскільки

z =	x2	+ y2	,	∂z	= x,	∂z	= y,
		2		∂x		∂y

131

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

то за формулою (2.13) дістанемо

Sσ = ∫∫

1+ x2 + y2 dxdy .

Dxy

Обчислення проведемо у полярних координатах:

π / 2

4

1

π / 2

4

Sσ = ∫∫

1+ x2 + y2 dxdy =

∫ dϕ∫

1+ ρ2 ρdρ =

∫ dϕ∫

1+ ρ2 d(1+ ρ2 ) =

2

D

−π / 2

0

−π / 2

0

xy

17

17 −1 π

1

π / 2

4

1

π / 2

(

)

=

∫

(1+ ρ2 )3 / 2

dϕ =

∫ (17

17 − 1)dϕ =

.

3

3

3

− π / 2

0

−π / 2

z

z

4

8

В

у

2

О

у

1

– 4

4 у

2 А

4

O

х

х

4

х

Рис. 2.23

Рис. 2.24

Рис. 2.25

Т.1

ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ

І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

∫∫ f (x, y)dxdy

Розставте межі інтегрування у подвійному інтегралі

по

області D, якщо:

D

1. D — трикутник АВС з вершинами A(0; 0) , B(4;1) , C(4; 4) .

2. D — чотирикутник АВСD з вершинами

A(−1;1) , B(−1; 4), C(1; 6)

та

D(4; 6).

Змініть порядок інтегрування, попередньо накресливши область інтегрування.

3	4	2	y2	+3
3. ∫ dx ∫ f (x, y)dy.		4. ∫ dy ∫ f (x, y)dx.
0	3− x	0	y	2

132

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1

1− x2

π / 4

cos x

5. ∫ dx ∫

f (x, y)dy.

6. ∫ dx ∫ f (x, y)dy.

−1

0

0

sin x

2

x2

4

8−2x

7. ∫ dx ∫ f (x, y)dy + ∫ dx ∫ f (x, y)dy.

0

−1

2

−1

Обчисліть подвійні інтеграли

1

2

e

x

dy

8. ∫ dx∫ (x2 + y2 )dy.

9. ∫ dx∫

.

(x + y)

2

0

0

1

0

Обчисліть подвійні інтеграли.

10.

∫∫ (x3 + 4 y)dxdy, якщо D — квадрат, обмежений прямими

x = 0,

D

x = 1 , y = 0 та y = 1 .

2

11.

∫∫

x

dxdy, якщо область D обмежена прямими

x = 2,

y = x

та

2

D

y

гіперболою xy = 1.

12.

∫∫ ydxdy,

якщо область D обмежена параболою y =

x та прямими

y = 0,

D

y + x = 2.

Обчисліть подвійні інтеграли в полярній системі координат.

13.

∫∫

25 − x2 − y2 dxdy, якщо область D обмежена колом x2 + y2

= 9 .

D

14.

∫∫ (x2 + y2 )2 dxdy, якщо область D — кільце 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.

D

15.

∫∫

4 − x2 − y2 dxdy,

якщо область D обмежена колом x2 + y2

= 4

та

D

y =

3x ( x > 0, y > 0 ).

прямими y = x ,

16.

∫∫ ydxdy,

якщо область D обмежена прямими y =

3x ,

x =

3y

та

D

колами x2 + y2

= 4x ,

x2 + y2 = 8x.

Обчисліть площу фігури, обмежену лініями.

17.	x2	= 4 y + 4,	x2	= −2 y + 4.
18.	x2	+ y2 = 4,	y2	= 3x (x ≥ 0).

133

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Використавши геометричний зміст подвійного інтеграла, обчисліть об’єм циліндричного тіла, обмеженого заданими поверхнями.

19.	x2 + y2 + z = 4,			z = 0.
20.	z = x2 + y2 ,		x = 0, x = 1, y = 0, y = 2, z = 0.
21.	z = 0, y + z = 2,			y = x2 .
22.	Обчисліть об’єм тіла, вирізаного циліндром x2 + y2 = Rx					із сфери
x2 + y2 + z2 = R2 .
23. Обчисліть масу пластини, обмеженої лініями x2 + y2					= 4, x2 + y2 = 16
( x ≥ 0,	y ≥ 0 ), якщо густина пластини в кожній точці (x,				y) D	дорівнює
γ(x, y) =		x	.
		x2 + y2

Знайдіть координати центра маси однорідної пластини, обмеженої лініями

24.	y = x2 + 1, x − y + 3 = 0.
25.	x2 + y2 = 4, x = y, y = 3x ( x ≥ 0, y ≥ 0 ).

Відповіді

		4 x											1	4 y					4					4				1	x+5
1.		∫dx∫ f (x, y)dy								або			∫dy ∫		f (x,			y)dx + ∫dy∫ f (x,								y)dx. 2.		∫ dx	∫ f (x,		y)dy +
		0 x											0	y					3					y				−1 x+ 2
						4
4		6											4 y−2								6 y−2							3	3
+ ∫dx		∫ f (x,						y)dy	або				∫dy	∫	f (x,			y)dx + ∫dy						∫	f (x, y)dx.			3. ∫dy ∫		f (x,	y)dx +
1 x+ 2													1	−1							4 y−5							0 3− y
4		3											3	x					4						x			7	2
+ ∫ dy∫ f (x, y)dx.												4. ∫dx ∫ f (x, y)dy + ∫dx ∫ f (x, y)dy + ∫ dx ∫ f (x, y)dy.
3		0											0	0					3						x−3			4	x−3
		1− y2										1
1											2		arcsin x						1					arccos x				0	4
5. ∫dy			∫				f (x, y)dx.			6. ∫			dy ∫ f (x, y)dx + ∫ dy ∫													f (x, y)dx.		7. ∫ dy∫ f (x, y)dx +
0 − 1− y2											0		0								1				0			−1 0
																			2
	4−		y
4		2							10						9				9					5		122				2π	56
+ ∫dy		∫			f (x,			y)dx. 8.					0,5. 10.														π. 14.	21π.
											. 9.						. 11.			. 12.					. 13.				15.	9 . 16.			.
									3							4			4				12			3						3
0		y
134

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

17. 8.			18. (4π +			3) / 3 .			19. 8π. 20.		16	.	21.	32 2	.	22.	2(3π − 4)	R3. 23. 6. 24. (0,5; 2,6).
											3			15			9
25.		8		−		8			− 1)
			( 3		2);			( 2		.
		π					π

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Накресліть область інтегрування та змініть порядок інтегрування у подвійному інтегралі.

	2		x+1				4		0
1.1.1. а)	∫ dx ∫				f (x, y)dy;	б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	−1		x2 −1				2	−2− 4x− x2
	2		x+ 2				1	5+ 9−8x− x2
1.1.2. а)	∫ dx ∫			f (x, y)dy;		б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	0		x				0		0
	1	2x+1					3		6
1.1.3. а)	∫ dx		∫		f (x, y)dy;	б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	0		−1				−1	3+ 3+ 2x− x2
	2		x2 +1				4		16− x2
1.1.4. а)	∫ dx ∫				f (x, y)dy;	б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	−1		0				2		− x
	4		3				3		4− 3+ 2x− x2
1.1.5. а)	∫ dx ∫			f (x, y)dy;		б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	0		x				−1		0
	1	2− x2					4		x
1.1.6. а)	∫ dx		∫		f (x, y)dy;	б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy.
	0		x				2		4x− x2
	1		x+ 2				4		x−2
1.1.7. а)	∫ dx ∫			f (x, y)dy;		б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	0		− x				0	−2− 4x− x2
	2		x+ 2				1		1
1.1.8. а)	∫ dx ∫				f (x, y)dy;	б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	−2		x				0	− 9−8x− x2
	1	4− x2					0		−1+ −6x− x2
1.1.9. а)	∫ dx		∫		f (x, y)dy;	б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	0		1				−6		−1
		1		0			0		3+ −2x− x2
1.1.10. а)		∫ dx		∫	f (x, y)dy;	б)	∫ dx		∫	f (x, y)dy .
	−1		x2 −3				−2		0

135

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1

2− x

5

6x− x2 −5

1.1.11. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

−2

x2

1

−2

1

3x

1

x

1.1.12. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

0

x2

0

− 10x− x2

1

2 x

6

2+ 6x− x2

1.1.13. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

0

x

0

2

4

x

2

2+ 2x− x2

1.1.14. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

0

− x

0

x

1

− x2

2

36− x2

1.1.15. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

−3

2x−3

0

0

2

x+ 2

−1 1+ 6x+ x2 −5

1.1.16. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

−1

x2

−3

0

3

x

5

1+

10x− x2

1.1.17. а)

∫ dx∫ f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

1

1

0

0

x

1

2− y

2

4

1.1.18. а)

∫ dy ∫

f (x, y)dx;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

0

y2

1

1− 2x− x2

2

2 y

0

3− −2x− x2

1.1.19. а)

∫ dy ∫

f (x, y)dx;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

1

2

−1

0

y

1

1+

x

4

0

1.1.20. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

0

− x2

0

− 9+8x− x2

2

2x

5

1

1.1.21. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

1

x

3

− 6x− x2 −5

1 2− x2

2

2− 2x− x2

1.1.22. а)

∫ dx ∫

f (x, y)dy;

б)

∫ dx

∫

f (x, y)dy .

−1

x2

0

0

136

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

	1		x2
1.1.23. а)	∫ dx ∫					f (x, y)dy;	б)
	−1	x−1
	2	3x−2
1.1.24. а)	∫ dx			∫		f (x, y)dy;	б)
	1			1
				x
	1	y2 +1
1.1.25. а)	∫ dy			∫		f (x, y)dx;	б)
	0	− y2
	1	y+1
1.1.26. а)	∫ dy ∫					f (x, y)dx;	б)
	0	− y
	2		2x
1.1.27. а)	∫ dx			∫		f (x, y)dy;	б)
	0	x2 −1
	0	x2 + 2
1.1.28. а)	∫ dx			∫		f (x, y)dy;	б)
	−1		1
	4	2		x
1.1.29. а)	∫ dx ∫					f (x, y)dy;	б)
	1			x
	4	3
1.1.30. а)	∫ dx ∫					f (x, y)dy;	б)
	1		x

0		x+ 4
∫ dx ∫			f (x, y)dy .
−4	−	16− x2
−3		2
∫ dx		∫	f (x, y)dy .
−5	−	6x+ x2 −5
3	3+	3+ 2x− x2
∫ dx		∫	f (x, y)dy .
1		0
3	2+	6x− x2 −5
∫ dx		∫	f (x, y)dy .
1		0
−1		3
∫ dx		∫	f (x, y)dy .
−2	2−	−2x− x2
0	1+	−6x− x2
∫ dx		∫	f (x, y)dy .
−3		0
5		0
∫ dx		∫	f (x, y)dy .
1	− 10x− x2
0		2
∫ dx		∫	f (x, y)dy .
−1	−	9+8x− x2

1.2. Обчисліть подвійний інтеграл ∫∫ f (x, y)dxdy по області D.

D

1.2.1. ∫∫ (x + 2 y + 1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = x2 , y = 1 .

1.2.2. ∫∫ (x2 + y2 )dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = x − 1 , y = 3 − x , x = 0 .

1.2.3. ∫∫ (9 − y2 )dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 4 − 2x , y = 2x , y = 0 .

137

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.2.4. ∫∫ (x − y + 3)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = x , y = (x − 2)2 , y = 0 .

1.2.5. ∫∫ (2x + 1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

x = 4 , y2 = x .

1.2.6. ∫∫ (x − 4 y)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = x − 2 , y = x , y = 0 .

1.2.7. ∫∫ (x2 − 2 y)dxdy, якщо область D обмежена лініями:

D

x = 1 , x = 2 , y = x , y = 0 .

1.2.8. ∫∫ (x2 + 4 y)dxdy, якщо область D обмежена лініями:

D

x = 2 , y = 2x , 2 y = x .

1.2.9. ∫∫ (2x − 3y2 )dxdy, якщо область D обмежена лініями:

D

y = 2 , y = 2x , 2 y = x .

1.2.10. ∫∫ (x + 2 y −1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

x = 1 , y = x2 , x + y = 0 .

1.2.11. ∫∫ 2xydxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 2 , y = 1− x , y = x − 1 .

1.2.12. ∫∫ (2 y − x + 2)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y= 1 , y = 2 − x2 .

1.2.13.∫∫ ( y − 2x + 6)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 0 , y = x , y = 2 − x .

1.2.14. ∫∫ (3x2 − y2 )dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = x + 1, y = 1 , y = x , y = 0 .

1.2.15. ∫∫ (2x + 3)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

x = 0 , y = 1− x2 , y = −1− x , x ≥ 0.

138

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.2.16. ∫∫ (x + 3y2 )dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = x + 1, x = −1 , y = x , x = 1 .

1.2.17. ∫∫ (2x + y + 2)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

x = 0 , y = 0 , y = x2 + 1 , x = 1 .

1.2.18. ∫∫ ( x + 2 y)dxdy, якщо область D обмежена лініями:

D

y = x + 1 , x = 0 , y = 0 , x = 1 .

1.2.19. ∫∫ (x − y )dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

x = 2 , y = 1 , y = 0 , y = − x .

1.2.20. ∫∫ (2xy − 1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = x + 1, y = 1 , y = 0 , x = 1 .

1.2.21. ∫∫ (4x − y + 1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = − x2 , x = 0 , y = 1 , x = −1 .

1.2.22. ∫∫ (3 x + 4 y)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = −2 , y = x , y = − x .

1.2.23. ∫∫ (x − 2 y + 5)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 0 , y = 1 , y = − x , x = 2 .

1.2.24. ∫∫ (x + 1) ydxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 0, y = x, y = x − 1, x = 2 .

1.2.25. ∫∫ (3x + y + 2)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

x = 1 , y = 2x , y = − x .

1.2.26. ∫∫ (x + 3y2 + 1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 3 , y = x2 −1 .

1.2.27. ∫∫ (x2 + 2xy + 2)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 0 , y = 2 − x , y = 1 , x = 0 .

139

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

1.2.28. ∫∫ (4x − 2 y + 1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 0 , y = x2 , x = −2 .

1.2.29. ∫∫ (xy + 1)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

D

y = 1x , y = 1, y = 2 , x = −1 .

1.2.30. ∫∫ (x + 4 y + 2)dxdy , якщо область D обмежена лініями:

	D	1
	y =		,	y = 2 , y = x .
		x

1.3. Обчисліть площу області D, задану системою нерівностей. Обчислення проведіть у полярній системі координат.

1.3.1.	x2	+ y2	+ 6x ≤ 0,	y ≥	3x,	y ≤ 0.
1.3.2.	x2	+ y2	+ 4 y ≤ 0,	y ≤	3x,	x ≤ 0.
1.3.3.	x2	+ y2	− 6x ≤ 0,	y ≤	3x,	y ≥ − x.
1.3.4.	x2	+ y2	− 4 y ≤ 0,	y ≥	3x,	x ≥ 0.

1.3.5. y ≥ 0,			y ≤		3x,		x2 + y2		≤ 10x .
1.3.6. x2 + y2			≤ 8y,			3y ≥ x,			y ≤		3x.
1.3.7. y ≥ − x,				y ≤ −		3x,		x2 + y2 − 4 y ≤ 0.
1.3.8. x2 + y2 + 10x ≤ 0,								3y ≤ x,			y ≥ x.
1.3.9. y ≥ 0,			y ≤ x,			x2 + y2 − 6x ≤ 0.
1.3.10. x2		+ y2 ≤ 2 y,				y ≤ x,			3y ≥ x.
1.3.11.	3y ≥ x,				y ≤ − x,			x2 + y2 + 4x ≤ 0.
1.3.12.	x2	+ y2		+ 10x ≤ 0,				y ≥ x,		y ≤ 0.
1.3.13.	y ≥ 0,			y ≤	3x,		x2 + y2			≤ 4x.
1.3.14.	x2	+ y2		≤ 2 y,		y ≤		3x,		y ≤ − x.
1.3.15.	x2	+ y2		+ 4x ≤ 0,				3y ≥ − x,			y ≤ − 3x.
1.3.16.	x2	+ y2		+ 16 y ≤ 0,				y ≤	3x.
1.3.17.	y ≤ x,			3y ≥ x,			y2 ≤ x(6 − x).
1.3.18.	x ≥ 0,			y ≥	3x,		x2 + y2 ≤ 8y.

140

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/