Розв’язок

Для вибору апроксимуючого многочлена доцільно побудувати графік залежності Cр=f(T) і проаналізувати його(рис. 8.3).

Рис. 8.3. Вихідні дані прикладу 8.2

Апроксимуємо дану табличну залежність многочленом першого ступеню (лінійна апроксімація)

P1(x)=a0+a1x.

(8.27)

Щоб не оперувати з великими числами, зробимо наступну заміну

(8.28)

Функцію Ср позначимо y.

Для визначення коефіцієнтів а₀, а₁ необхідно скласти систему рівнянь

(8.29)

Складемо таблицю 8.7, що містить допоміжні дані для складання системи рівнянь.

Таблиця 8.7

Допоміжні дані до складання системи лінйних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів лінійної апроксімації

i	Ti	Xi	yi	xi^2	xiyi
1	300	0	70,35	0	0
2	400	1	75,38	1	75,38
3	500	2	80,53	4	161,06
4	600	3	85,81	9	257,43
5	700	4	91,26	16	365,04
6	800	5	96,83	25	484,15
7	900	6	102,53	36	615,18
8	1000	7	108,27	49	757,89
		28	710,96	140	2716,13

Підставивши дані з останнього рядка таблиці 8.7 в систему рівнянь (8.29), одержимо:

(8.30)

Знайдемо а₀ і а₁ за формулами Крамера.

.

Отже, шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд

.

(8.31)

За допомогою формули (8.28) перейдемо до вихідних позначень. Одержимо

,

після перетворень

.

(8.32)

Формула (8.32) є аналітичною залежністю, що узагальнює експериментальні дані таблиці 8.6.

Для оцінки лінійної апроксимації необхідно порівняти значення y_i з таблиці 8.6 зі значеннями, які отримані за формулою (8.32) для всіх точок (i=1, 2, ..., 8). Результати порівняння подані в таблиці 8.8.

Таблиця 8.8

Абсолютна та відносна похибки апроксімації

і	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	0	1	2	3	4	5	6	7
yi	70,35	75,38	80,53	85,81	91,26	96,83	102,53	108,27
аналіт. залежність	69,89	75,31	80,74	86,16	91,58	97,00	102,43	107,85
абс. похибка	0,46	0,07	0,21	0,35	0,32	0,17	0,10	0,42
y, %	0,65	0,1	0,3	0,4	0,4	0,2	0,1	0,4

Проаналізувавши y з таблиці 8.7, можна зробити висновок, що формула (8.32) є аналітичною залежністю, що узагальнює експериментальні дані таблиці 8.6.

На рис. 8.4 наведені графік функції (8.32) і вихідні дані. Порівняльний аналіз показує задовільну збіжність лінійної апроксимації.

Рис. 8.4. Графік лінійного апроксимуючого многочлена і вихідні дані

Завдання для самостійної роботи

Апроксимуватидані, які наведені у таблиці 8.9многочленом першогоступеню. Провести аналіз похибкиапроксимації.

Таблиця 8.9

Tk	18+k	19+k	20+k	21+k	22+k	23+k	24+k	25+k
P	360,3	509,5	699,2	935,3	1223,7	1570,5	1981,8	2463,8

k – варіант.

Відповідно до варіанту до всіх значень тиску з таблиці необхідно додати величину Р_k=0,5k²+1.