EKh / Материалы по электра / APREX-a

Програма APREX

Апроксимація експериментальних даних експонентами

1. Мета розрахунків

Програма APREX виконує таку ж саму, як і програма APR, математичну обробку експериментальних даних, заданих в формі таблиці з двох колонок – значень незалежної змінної (аргумента) “Х” і відповідних значень залежної змінної (функції) “y” (рис.1). Метою обробки даних є визначення числових значень констант, які входять до відповідного, відомого спочатку, математичного виразу (формули).

На відміну від програми APR, тут емпіричну (виміряну) залежність апроксимують не поліномами, а спеціальними експоненційними функціями. Таких функцій використано три – вони найбільш адекватно відповідають закономірностям, які часто зустрічаються в практиці технічної електрохімії.

Корисна відмінність апроксимації вказаними функціями та, що для них немає потреби використовувати багато експериментальних точок, достатнім є навіть три числа. Проте результат апроксимації буде точнішим при більшій кількості даних.

2. Функції

Форми використаних варіантів експоненційних функцій (1-3) вказані на рис. 1.

Рис.1. Форми експоненційних функцій..Числа відповідають номерам рівнянь 1-3 .

У використаних функцій три характерних параметри – максимальне Y_МАХ та мінімальне Y_o значення , які в двох функціях є їх асимптотами, та константа F_E в показнику експоненти. Константа F_E є таким значенням аргумента Х, при якому функція змінюється від початкової величини Y_О при Х=0 на 63% (до рівня 1/е = 0.37) від максимального інтервалу визначення Y_МАХ-Y_О або Y_О ). Приблизне значення F_E можна оцінити з графіка Y(X), безпосередньо побудованого за експериментальними даними .

У всіх випадках параметри Y_МАХ, Y_o та константу F_E програма визначає методом нелінійного програмування за умови мінімуму середньоквадратичного відхилення між введеними та розрахованими за обраною формулою значеннями Y.

Перші дві функції, показані на рис.1, мають асимптоти. Часто з практики відомий їх фізичний зміст. Наприклад, вихід за струмом електрохімічної реакції може мати монотонну залежність від деякого фактора (струму, концентрації реагента тощо), причому значення виходу за струмом або асимптотично зростає до одиниці чи деякого максимального відомого значення, меншого одиниці (функція типу 2), або спадає до нуля (функція типу 1).

Функція 1 визначена в інтервалі між Y_МАХ та Y_O,

, (1)

вона монотонно і асимптотичного спадає від початкового значення Y_МАХ до рівня Y_О.

Рис.2. Результати апроксимації функцією 1 . Горизонтальна лінія – асимптота Y_o.

Функція 2

, (2)

також повністю розташована в інтервалі Y_O…Y_MAX і також має асимптоту Y_MAX: вираз в квадратних дужках при Х   наближається до одиниці, при цьому Y Y_MAX. Графік функції 2 наведений на рис.3.

Рис.3. Графік функції 2. Горизонтальна лінія - асимптота Y_MAX.

Функція 3

(3)

на відміну від двох перших асимптоти не має і необмежено зростає із збільшенням аргумента Х. Крім того, її форма залежить не від двох, а лише від одного параметра Y_O , який є початковою точкою графіка.

Рис.4. Графічний екран – апроксимація функцією 3.

2. Алгоритм роботи програми

Задача апроксимації вирішується методом нелінійного програмування, який описано в роботі “Оптимізація”.

По черзі виконується оптимізаційний пошук такого значення кожного з трьох невідомих параметрів, при якому дисперсія

(4)

і середньоквадратичне відхилення

, (5)

тобто середнє відхилення між експериментальними (виміряними) і розрахованими значеннями параметра “у” для всіх N точок, досягають мінімума.

Алгоритм дає розрахунковий графік залежності y=f(x), який найкраще (найточніше) проходить через сукупність експериментальних точок.

3. Форма вхідних даних

Вхідні дані вводять в файл APRЕХ.DAT, який має таку форму:

APREX____N__ FUN_ xmas_ ymas

10 2 10 4

_X____Y_______

1 1.06

2 1.72

3 2.13

4 2.49

5 2.55

6 2.81

7 2.94

8 2.99

9 3.19

10 3.5

Функции типовые 1: Y = Yo + [Ymax-Yo]* exp(-x/FE)

2: Y = Yo + [Ymax-Yo]*[1-exp(-x/FE)]

3: Y = Yo * exp( x/FE)

N		Кількість заданих пар чисел (ряд експериментальних даних). Максимальне значення не повинно перевищувати 30.
FUN		Індекс типу функції у відповідності з рівняннями 1-3.
XMAS YMAS		Масштабні значення змінних «х» та «у». Вони визначають масштаб графіка (максимальне значення «х» та «у» на кінцях відповідної шкали). Графік читається точніше, якщо обрати для масштабів по обох координатах «круглі» числа, кратні 5, 10.

4. Форма вихідних даних

Результат апроксимації програма виводить на графічний екран і в файл “REZ.REZ”.

Графіки на екрані наведені на рисунках 2-4. На екран виводиться також група чисел – значення характерних констант того виразу (1-3), для якого виконується пошук констант :

Ymax

Y0

FE

Otkl - cередньоквадратичне відхилення.

В файлі результатів rez.rez виводяться кількість введених пар чисел, значення констант, формула, якій вони відповідають, і порівняльні дані – таблиця числових значень аргумента Х, відповідних розрахованих і “емпіричних” (введених) значень функції.

Approximation-EXP N= 6

Yt := Y0*exp( xt/FE) FUN=3

Y0= 0.3171

Ymax= 3.6000

FE= 3.7207

________X_____Yexper_____Yappr

0.1000 0.3200 0.3258

2.0000 0.5200 0.5429

3.6000 0.7700 0.8345

5.0000 1.1000 1.2158

5.9000 1.6000 1.5485

9.0000 3.6000 3.5625