Програма fel Mоделювання первинного плоскопаралельного (двовимірного) електричного поля в прямокутній ячейці з електродами довільної форми

1. Обєкт і мета розрахунків

1. Фізичний обєкт, який моделюється – проста електрохімічна ячейка, яка в плані має прямокутну форму, розміром HL=12 , і з електродами довільної форми. Вважається, що електроди плоскі, висота електродів і електроліту (h) в ячейці однакові , а довільна форма обох електродів утворюється шляхом згинанні плоскої смуги шириною h у площині HL (рис. 1).

Електродів два (катод і анод), але обидва вони можуть бути сформовані з окремих частин, електрично зєднаних за межами електроліту.

Рис.1. Модель прямокутної ячейки з електродами довільної форми

Мета роботи- вивчення структури електричного поля в електроліті в ячейці з складною геометричною конфігурацією електродної системи, і закономірностей розподілу локальної густини струму по поверхні електродів. Ці питання перш за все стосуються гальванотехніки, де існує проблема одержання рівномірного осаду покриття на деталях складної геометричної форми в електролітах з низькою розсіюючою здатністю. Моделювання дозволяє виявити зони на поверхні катода, де густина струму мала, і спроектувати форму анода, яка зможе забезпечити рівномірне осадження металу.

Графічне зображення поля дає можливість робити приблизні кількісні оцінки густини струму в різних точках поля.

2. Програма розраховуєлише первинне (без урахування поляризації) електричне поле в електроліті. Єдиний результат - зображення електричного поля системою еквіпотенціальних зон (забарвлених смуг) та ліній струму (штрихів).

В окремий файл числові результати не виводяться. Потрібні оцінки виконуються орієнтовно, шляхом приблизного аналізу ширини еквіпотенціальних смуг та довжин штрихів на лініях струму.

2. Математична модель і алгоритм

Обємне електричне поле в електроліті (поле потенціалу U) в ячейці вказаної вище форми є плоскопаралельним, бо потенціали електроліту в будь якій точці ячейки вздовж координати висоти Z не змінюються (U=const), і похідні всюди мають нульове значення. Тому електричне поле в такій системі можна формально описувати простішим двовимірним рівнянням Лапласа в декартовій системі координат

, (1)

з граничними умовами на межі ячейки (відсутність струму через контур HL)

; . (2)

Потенціали обох електродів задані: U_А=0, U_К = (U₀ – Е_Р) – різниця між напругою на ячейці U₀ та напругою розкладу електроліту Е_Р (термодинамічне значення).

Рівняння Лапласа (1) вирішується на квадратній сіті, утвореній системою з’єднаних між собою опорів R (рис. 2). Сіть має розмір 8040 вузлів і моделює двовимірну (плоску) робочу область розміром HL. Така дискретизація області зв’язана з тим, що в полі екрану монітора (текстовий редактор програми PASCAL ) по ширині розміщується 80 позицій для символів, і кожний символ відповідає одному вузлу сіті. Розташування електродів в ячейці вказується символами “а” та “к” (анод-катод) у відповідних вузлах. Розмір однієї клітинки сіті дорівнює dx=dy=, тому через цю величину задають габаритні розміри ячейки, L=79, H=39 (вузлів на один більше, ніж ділянок  по обох координатах).

Рис.2. Схема будови сіткової моделі електрохімічної ячейки і нумерація вузлів. Обведені контуром вузли, які відповідають геометричному розташуванню електродів (наведені їх фрагменти).

Опір електроліту в одному дискретному елементі сіті розміром (об’ємом) h визначається рівнянням закону Ома

. (3)

Розмірність цього опору – [Ом], поширена назва – “Ом на квадрат”. Як видно з формули, значення опору R не залежить від розміру елементарного квадрата . Інакше – можна сказати, що сумарний опір сіткової моделі, виміряний в будь-якому напрямі, не залежить від ступеню дискретизації сіткової моделі, або кількості елементарних квадратів (проте від цього залежить точність рішення).

Можна показати, що рівняння Лапласа, якщо його перетворити в різницеву форму, матиме вигляд відомого з електротехніки рівняння Кірхгофа, яке є математичним виразом закону збереження кількості електрики. Для вузла з координатами I,J , показаного на рис. 2, сума струмів, які проходять через чотири з’єднані в цій точці опори R, повинна дорівнювати нулю:

. (4)

Якщо записати значення цих струмів у відповідності з законом Ома через потенціали чотирьох найближчих вузлів , позначених на рис. 2 окремими точками, можна одержати кінцеве співвідношення

, (5)

де U _I,J – потенціал окремого вузла з координатами I,J (номером рядка та стовпця) на сіті.

Таким чином, рівняння Лапласа і рівняння Кірхгофа виражають собою один і той же закон природи - закон збереження кількості електрики, а різниця між рівняннями полягає в тому, що перше описує цей закон в формі диференційного рівняння електричного поля в безперервному середовищі, а друге - на дискретній сітковій моделі простору (електропровідної області розміром HLh) .

Рішення, які на всіх вузлах сіті задовольняють рівнянню Кірхгофа, і є рішенням задачі визначення електричного поля. Якщо відомі потенціали у всіх вузлах, неважко підрахувати і інші характерні параметри електричного поля – градієнт потенціалу та його складові, значення густини струму і його напрямок в будь-якій точці. Наприклад, якщо відомі потенціали в трьох сусідніх вузлах сіті 0,1,2 (рис.3), можна визначити і віднести до точки “0” такі параметри.

1-Дві складові вектора напруженості поля за координатами x,y, (), які мають числове значення та знак (знаки “+” напрямків осів вказані на рис.3 стрілками)

, ; (6)

2- Градієнт напруженості поля, який має числове значення (модуль), визначене за теоремою Піфагора, і напрямок, вказаний стрілкою “і” на рис. 3 (напрямок може бути в будь-якому з чотирьох квадрантів). В цьому напрямку потенціал поля змінюється найшвидше:

. (7)

В часткових випадках напрямок grad(U) може співпадати з напрямками OX або OY.

3. Дві складові вектора густини струму, які визначаються за законом Ома:

, , (8)

вони також можуть мати різні напрямки в залежності від знаків компонентів вектора напруженості поля;

Рис.3. Схема визначення величини і напрямку струму у вузлі 0 за значеннями потенціалів трьох вузлів.

3. густина струму в точці “0” , яка також є вектором

, (9)

напрямок якого співпадає з вектором градієнта напруженості поля. Саме в цьому напрямку рухаються заряджені частинки середовища під дією електричного поля.

Таким чином, завдання полягає в тому, щоб спершу визначити значення потенціалів у всіх вузлах сітки, зайнятих електролітом, а потім згідно з виразами (6)-(9) підрахувати значення складових частин градієнта поля і локальних густин струму .

Алгоритм вирішення задачі в програмі ітераційний [1], і складається з таких частин.

1. Спочатку програма задає довільні значення потенціалів у всіх вузлах, зайнятих електролітом (U=0.5U₀), і значення U_A=0 та U_K=(U₀ –Е_Р) у вузлах, які розташовані всередині контуру поперечного перетину електродів по товщині (на рис. 2 позначені кружками). Мінімальна товщина електрода в моделі дорівнює .

2. Далі в ітераційному циклі повторюються дві операції:

А) перераховуються потенціали у всіх вузлах електроліту за рівнянням (5); електродні вузли пропускаються, бо там задані постійні значення потенціалів.

Б) перераховуються потенціали на чотирьох лініях контуру ячейки у відповідності з граничними умовами (2), наприклад по рис. 2 - (потенціалам вузлів на верхній горизонтальній контурній лінії i=1 присвоюють значення потенціалів вузлів на лінії i=2).

3- Перевіряється сходження ітераційного процесу за яким-небудь критерієм, наприклад, середньоарифметичним значенням потенціалів у вузлах. Ітераційний процес закінчується, коли відхилення критерію на двох чергових кроках досягає заданого нижнього рівня помилки.

Після закінчення ітерацій програма визначає локальні значення густини струму у вузлах і будує графічне зображення поля..