1.4.Ряди, знаки членiв яких чергуються

Розглянемо ряди, знаки членiв яких чергуються. Не порушуючи загальностi мiркувань, можемо вважати, що перший член такого знакозмiнного ряду ¹ додатним. Тодi такий ряд ма¹ вигляд

c1 − c2 + c3 − c4 + · · · + (−1)ncn + · · · ,

(1.4.1)

Ряди виду (1.4.1) ще називають знакоперем´

äå cn > 0, n = 1, 2, . . . iжними. Наведемо достатню умову збiжностi знакоперемiжного ряду:

Теорема 8 (ознака Лейбнiца). Якщо абсолютнi величини членiв знакозмiнного ряду (1.4.1) монотонно спадають: cn > cn+1 (n = 1, 2, . . .) i

загальний член ряду пряму¹ до нуля: lim cn = 0, òî ðÿä (1.4.1) çáiãà-

n→∞

¹ться. При цьому абсолютна величина залишку r

абсолютно¨ величини першого його члена, тобто n ряду не перевищу¹

| rn| = | S − sn| 6 | cn+1|.

П р и к л а д 1. Розглянемо ряд

∞ (−1)n+1

X

n

n=1

.

Цей ряд збiга¹ться, оскiльки його члени задовольняють умови теореми

Лейбнiца.

З а у в а ж е н н я. Ознака Лейбнiца ¹ достатньою, але не ¹ необхiдною, тобто, якщо члени знакоперемiжного ряду не задовольняють умови теореми Лейбнiца, то цей знакоперемiжний ряд може бути як збiжним, так i розбiжним.

П р и к л а д 2. Розглянемо ряд, утворений з членiв двох нескiнченно спадних геометричних прогресiй

		1					1			1		1						1	1
						−				+			−				+ · · · +		−		+ · · ·
					2			3			22				32			2n		3n
	Неважко переконатись, що частиннi суми цього ряду мають вигляд
	s2n =	1 − 2n				−	2 1 −						3n			,	s2n+1	= s2n + 2n+1 , n = 1, 2, . . .
			1				1						1									1
	Очевидно, що ряд ¹ збiжним: iсну¹ скiнченна границя lim sn =																							1	. Ó òîé æå
																								2
																						n→∞

час порушуються умови теореми Лейбнiца: загальний член ряду пряму¹ до нуля н е м о н о т о н н о.

11

X

П р и к л а д 3. Обчислити суму ряду

∞ (−1)n+1

n=1 (2n)3

Р о з в ' я з а н н я. Заданий ряд ¹ збiжним його теореми Лейбнiца.

Випишемо кiлька перших членiв ряду:

ç òî÷íiñòþ ε = 0, 01.

члени задовольняють умови

1	−	1	+	1	−	1	+ · · ·
8		8 · 8		8 · 27		8 · 64

Знаходимо перший з членiв ряду, абсолютна величина якого не перевищу¹
1			1
задано¨ похибки ε. Таким ¹ член c3 =			< ε =		. Звiдси робимо висновок,
	8 27			100
що для обчислення суми ряду iз заданою·			òî÷íiñòþ ε = 0, 01 достатньо взяти

два перших члени ряду, при цьому похибка не перевищуватиме абсолютно¨ величини першого вiдкинутого члена:

S = s2 + r2 =	1	−	1		+ r2 =	7		+ r2, äå | r2| 6 c3 =	1	= 0, 004(629).
	8		8 · 8			64			8 · 27

Îòæå, S ≈ 647 = 0, 1109375. Наведемо значення суми ряду з точнiстю до десяти знакiв:

S = 0, 1126928347.

Пропону¹мо порiвняти оцiнку похибки r2, яку да¹ теорема Лейбнiца, iз значенням r2 = S − s2.

1.5.Ряди з довiльними членами

Перейдемо до розгляду рядiв з довiльними членами. Нехай членами
ðÿäó	∞
	X an	(1.5.1)

¹ як додатнi, так i вiд'¹мнi числа.n=1 Поряд iз рядом (1.5.1) розглянемо ряд

∞

X

| an|.

(1.5.2)

n=1

Означення 4. Якщо ряд (1.5.2) збiга¹ться, то ряд (1.5.1) називають а б с о л ю т н о з б i ж н и м рядом.

Означення 5. Якщо ряд (1.5.1) збiга¹ться, а ряд (1.5.2) розбiга¹ться, то ряд (1.5.1) називають у м о в н о з б i ж н и м рядом.

12

Теорема 9. ßêùî ðÿä (1.5.2) çáiãà¹òüñÿ, òî i ðÿä (1.5.1) çáiãà¹òüñÿ.

Ï ð è ê ë à ä 1. Äîñëiäèòè çáiæíiñòü ðÿäó

sin α	+	sin 2α		+ · · · +	sin nα		+ · · · ,
12			22			n2

äå α будь-яке число.

Р о з в ' я з а н н я. Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин членiв заданого ряду,

| sin α|

+

| sin 2α|

+

· · ·

+

| sin nα|

+

· · ·

12

n2

22

та ряд з бiльшими членами

1 +

1

+

· · ·

+

1

+ · · ·

22

n2

∞

1

Цей, останнiй ряд збiга¹ться (ряд

X

ïðè α > 1 çáiãà¹òüñÿ). Îñêiëüêè äëÿ

n=1

nα

будь-якого n викону¹ться нерiвнiсть

| sin nα|

6

1

,

n2

n2

то за першою ознакою порiвняння знаходимо, що i ряд, складений з абсолютних величин членiв заданого ряду, збiга¹ться. Тобто заданий ряд збiга¹ться абсолютно. Оскiльки абсолютно збiжний ряд збiга¹ться (теорема 9), то заданий ряд збiга¹ться.

Ï ð è ê ë à ä 2. Ðÿä	∞	(−1)n	¹ умовно збiжним: вiн збiга¹ться за ознакою Лей-
	X
	n=1	n

∞

áíiöà (äèâ. ñ. 11), à ðÿä X n1 , складений з абсолютних величин його членiв,

ðîçáiãà¹òüñÿ.

n=1

1.6.Дi¨ над збiжними рядами

1.6.1. Множення ряду на число

Твердження 1.6. 1. ßêùî ðÿä

a1 + a2 + · · · + an + · · ·

çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹ A, òî ðÿä

ca1 + ca2 + · · · + can + · · · ,

äå c будь-яке фiксоване число, також збiга¹ться i його сума дорiвню¹ cA.

13

1.6.2. Додавання рядiв

Твердження 1.6. 2. ßêùî ðÿäè

a1 + a2 + · · · + an + · · ·

i

b1 + b2 + · · · + bn + · · ·

збiгаються i ¨хнi суми дорiвнюють вiдповiдно A i B, òî ðÿäè

(a1 + b1) + (a2 + b2) + · · · + (an + bn) + · · ·

i

(a1 − b1) + (a2 − b2) + · · · + (an − bn) + · · ·

також збiгаються i ¨хнi суми дорiвнюють вiдповiдно A + B i A − B.

1.6.3. Групування членiв ряду

Твердження 1.6. 3. ßêùî ðÿä

a1 + a2 + · · · + an + · · ·

çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹ A, òî ðÿä

(a1 + a2 + · · · + an1 ) + (an1+1 + · · · + an2 ) + · · ·

+ (ank+1 + · · · + ank+1 ) + · · ·

çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìà äîðiâíþ¹ A.

Тобто члени збiжного ряду можна довiльним чином групувати: сума ряду вiд цього не змiниться.

1.6.4.Перестановка членiв ряду

Iз курсу елементарно¨ математики ми зна¹мо, що операцiя додавання

¹ комутативною: a + b = b + a i що вiд змiни мiсць доданкiв сума не змiню¹ться.

Ми наводимо двi вiдомi теореми про правило ¾вiд змiни мiсць доданкiв сума не змiню¹ться¿, справедливе для будь-яко¨ скiнченно¨ кiлькостi доданкiв i яке може порушуватись у випадку н е с к i н ч е н н о г о числа доданкiв.

14

Теорема 11 (теорема Рiмана).

Теорема 10 ( теорема Дiрiхле).

Перестановка членiв абсолютно збiжного ряду.

Якщо ряд абсолютно збiга¹ться i його сума дорiвню¹ A, то ряд, отриманий перестановкою його членiв,

також абсолютно збiга¹ться i ма¹ ту саму суму A.

Тобто у випадку абсолютно збiжного ряду перестановка доданкiв не вплива¹ на суму.

Перестановка членiв умовно збiжного ряду.

Якщо ряд збiга¹ться умовно, то, яке б не було наперед задане число A, можна так переставити члени ряду,

що сума отриманого ряду дорiвнюватиме A.

Тобто у випадку умовно збiжного ряду перестановка його членiв виклика¹ змiну суми ряду. Наведемо з цього приводу приклад.

П р и к л а д 1. Знакозмiнний ряд

1 −	1	+	1			−	1	+ · · ·	(A)
	2			3			4

збiга¹ться умовно. Позначимо його суму через S. Переставимо члени ряду так, щоб за одним додатним членом йшли два вiд'¹мнi члени:

1 −	1	−	1		+	1	−	1	−	1	+ · · · +		1		−		1		−	1	+ · · ·	(A0)
	2			4		3		6		8		2k	−	1		4k	−	2		4k

Покажемо, що цей ряд збiга¹ться. Позначимо через sn i s0n частиннi суми рядiв

(A) òà (A0) вiдповiдно. Розглянемо суму 3k ÷ëåíiâ ðÿäó (A0):

s30 k	=	1 − 2		− 4				+ 3				− 6				− 8					+ · · · + 2k1			1 − 4k1							2 − 41k =
		1		1				1				1				1
				2 −				4 +															−							−
		=										6 − 8 + · · · + 4k − 2 −														4k =
				1				1				1				1							1			1
		= 2 1 −						2 + 3								− 4					+ · · · + 2k − 1 − 2k										=
		1						1				1				1							1			1
		= 2 1 − 2 +										3 −				4 + · · · + 2k − 1							− 2k			= 2 sk.
				1				1				1				1					1		1			1

Îòæå,			1				1
lim s0		= lim		s		=				S.
					k
							2
k→∞	3k	k→∞ 2

Знаходимо границi

lim s0	= lim	s0	+	1	=		1	S,
				2k + 1
k→∞ 3k+1	k→∞	3k				2

15

k→∞ s30 k+2	k→∞ s30 k	+ 2k + 1	− 4k + 2		=	2 S.
lim	= lim	1	1			1

Таким чином, ми встановили, що iсну¹ скiнченна границя частинних сум ряду (A0):

lim sk = 1 S.

k→∞ 2

Тобто ряд (A0) çáiãà¹òüñÿ i éîãî ñóìà S0 вдвiчi менша суми S ðÿäó (A):

S0 = lim sk = 1 S.

k→∞ 2

Як бачимо, перестановка членiв умовно збiжного ряду викликала змiну суми ряду.

Завдання до роздiлу

Äîñëiäèòè çáiæíiñòü ðÿäiâ:

	∞ cos2			πn
	1.		3
		3n + 2 .
	n=1
	X
	∞	n	2
	X
	3.
		3n + 2n .

n=1

∞ 3 + (−1)n

X

5.2n+2 .

n=1

∞		n + 1
X
			−
7.	2n (n				1)!.
n=2
∞	n + 5				2
X
9.				sin
n=1		n!				3n .
11. ∞		1 · 3 · 5...(2n − 1)
X
n=1			3n (n + 1) .
∞		2n+1
13.
		nn .

X

n=1

Xn cos2 n

2.n3 + 5 .∞

n=1

∞ sin2 2n

X

4.n2 .

n=1

∞

X ln n

6.	√3
		n7 .
n=1

∞ 10n2n!

X

8.(2n)! .

n=1

∞ n2

X

10.(n + 2)!.

n=1

12.

∞

3 · 5

· 7... (2n + 1)

X

2

·

5

·

8... (3n

−

1).

n=1

14.

∞

10nn+ 5

n2

.

n=1

X

16

∞

1

n

−n2

15.

.

n=1

3n

n + 1

X

n + 1

n2

1

17.

∞

n=1

n

2n .

X

19.

∞

3n2+ 5

n.

n=1 n4

X

n

Xn · 3n+2

16.5n .∞

	n=1		4n − 3			n3
18.	∞
	n=1		5n + 1			.
	X

∞

X

20.2n−1e−n.

n=1

Дослiдити абсолютну збiжнiсть рядiв:

21.

∞

n+1

2n + 1

(−1)

n=1

n (n + 1).

X

n

π

∞

(−1)

sin

2√

.

23.

n

√

n=1

X

25.

∞

cos n

n=1

n2 .

X

27.

∞

1

.

n=1

(−1)n ln 1 + n2

X

Обчислити суму ряду з точнiстю ε.

22.

∞

(−1)n+1

n

n.

n=1

2n + 1

X

∞

π

X

24.

n=1

(−1)n cos

6n

.

∞

( 1)n 2n − 1

26.

X

−

n=1

3n .

∞ (−1)n−1

X

28.(n + 1) 22n .

n=1

29.

∞

( 1)n+1

1

ε = 0, 01.

30.

∞

(−1)n

ε = 0, 001.

X

−

X

n=1

3n2

n=1

(2n)! ,

31.

∞

(−1)n

ε = 0, 001.

32.

∞

(−1)n

ε = 0, 0001.

X

X

n=1

(2n)!!

,

n=1

(2n + 1)! ,

(−1)n

(−1)n

33.

∞

ε = 0, 01.

34.

∞

ε = 0, 01.

X

X

n=0

1 + n2 ,

n=0

1 + n2 ,

35.

∞

(−1)

n

2n

ε = 0, 001.

36.

∞

n

n ,

ε = 0, 001.

X

X

n=0

(n + 1)

n=0

(n + 1)

17

Òåìà 2

Функцiональнi ряди

2.1.Границя послiдовностi функцiй

Нехай задана послiдовнiсть, членами яко¨ ¹ функцi¨

f1(x), f2(x), . . . , fn(x), . . . ,

(2.1.1)

визначенi на деякiй множинi X.

Означення 6. Кажуть, що послiдовнiсть (2.1.1) збiга¹ться в точ- цi x0 X, якщо числова послiдовнiсть {fn(x0)} çáiãà¹òüñÿ.

Послiдовнiсть (2.1.1) називають збiжною на множинi X, якщо вона збiга¹ться в кожнiй точцi множини X.

ßêùî lim fn(x) = f(x), x X, то кажуть, що послiдовнiсть (2.1.1)

n→∞

збiга¹ться до функцi¨ f(x), x X.

За означенням границi послiдовностi збiжнiсть послiдовностi fn(x) до функцi¨ f(x) â ò î ÷ ö i x означа¹, що для будь-якого додатного числа ε iсну¹ такий номер N, ùî äëÿ âñiõ n > N викону¹ться нерiвнiсть

| fn(x) − f(x)| < ε.

(2.1.2)

Номер N залежить вiд ε i, взагалi кажучи, вiд x.

П р и к л а д 1. Розглянемо послiдовнiсть функцiй

fn(x) = xn, n = 1, 2, . . . (0 6 x 6 1),

Очевидно, що f(x) = lim fn(x) = 0 ïðè x < 1 i f(1) = 1. Графiки функцiй

n→∞

fn(x) äëÿ n = 1, 2, 3, 4, 5, 10 зображенi на рис. 1.

18

fn(x)

Ðèñ. 1

Якщо ми вiзьмемо, наприклад, ε = 0, 2, то побачимо, що нерiвнiсть (2.1.2), скажiмо, в точцi x = 0, 2 викону¹ться для n > N = 1, а, наприклад, в точцi x = 0, 7 нерiвнiсть (2.1.2) справджу¹ться, починаючи з 5-го номера, тобто для n > N = 4. Як бачимо, N залежить як вiд ε, òàê i âiä x: N = N(ε, x).

Означення 7. Якщо для будь-якого ε > 0 iсну¹ такий н е з а л е - ж н и й в i д x номер N = N(ε), ùî ïðè n > N нерiвнiсть (2.1.2) викону¹ться о д н о ч а с н о д л я в с i х x X, то кажуть, що послiдовнiсть (2.1.1) збiга¹ться на множинi X до функцi¨ f(x) р i в н о м i р н о вiдносно x.

Геометрично рiвномiрна збiжнiсть послiдовностi функцiй до функцi¨ f(x) означа¹, що, починаючи з деякого номера n > N, ãðàôi-

ки функцiй fn(x) потрапляють в ε-окiл графiка функцi¨ f(x) i бiльше з нього не виходять (рис. 2).

Ðèñ. 2

19

fn(x)

На рис. 2 зображенi: графiки функцiй послiдовностi тонкi суцiльнi лiнi¨, графiк гранично¨ функцi¨ f(x) товста суцiльна лiнiя, ε-окiл графiка функцi¨ f(x) смужка, обмежена пунктирними лiнiями.

Позначають рiвномiрну збiжнiсть послiдовностi fn(x) до функцi¨ f(x) символом

fn(x) f(x)

на вiдмiну вiд звичайно¨ збiжностi fn(x) → f(x).

Ï ð è ê ë à ä 2. Ïîñëiäîâíiñòü fn(x) = xn, n = 1, 2, . . . íà ïðîìiæêó [0, a], äå 0 < a < 1, çáiãà¹òüñÿ ðiâíîìiðíî, îñêiëüêè ïðè n > N = [loga ε] íåðiâíiñòü

| fn(x) − f(x)| = | xn − 0| < ε

викону¹ться одночасно для всiх x [0, a]. Зокрема, при a = 0, 7 усi члени послiдовностi xn потрапляють в ε-окiл гранично¨ функцi¨ f(x) = 0, починаючи

з 5-го номера (див. рис. 1).

Зауважимо, що на промiжку [0, 1) ïîñëiäîâíiñòü xn íå ¹ ðiâíîìiðíî çái- жною: такого номера N, починаючи з якого д л я в с i х x [0, 1) виконува-

ëàñÿ á íåðiâíiñòü

| fn(x) − f(x)| = xn < ε, n > N

не iсну¹. Справдi, при 0 < ε < 1 для будь-якого n íà ïðîìiæêó [0, 1) ãðàôiêè

√

функцiй fn√(x) = xn перетинають графiк функцi¨ f(x)+ε = ε â òî÷öi xn,ε = n ε, à ïðè x > n ε вони покидають ε-окiл гранично¨ функцi¨ f(x) = 0 (äèâ. ðèñ. 1).

Вкажемо на одну важливу властивiсть рiвномiрно збiжних послiдов-

ностей: Якщо послiдовнiсть функцiй

Теорема 12.

f1(x), f(x), . . . , fn(x), . . . ,

визначених i неперервних на промiжку [a, b], збiга¹ться до функцi¨ f(x) ð i â í î ì i ð í î í à [a, b], то i функцiя f(x) неперервна на [a, b].

2.2.Функцiональнi ряди

Означення 8. Нехай задана послiдовнiсть функцiй u1(x), u2(x),

. . . , un(x), . . ., визначених на деякiй множинi X. Вираз

∞
X
u1(x) + u2(x) + . . . + un(x) + . . . = un(x)	(2.2.1)

n=1

називають функцiональним рядом.

20