Прямая на плоскости

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.

Определение.Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.

Прямую можно задать одним из следующих уравнений:

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению осиOx)

у=kх+b (1)

2. Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку

)

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

4. Уравнение прямой в "отрезках"

здесь a и b-отрезки, которые отсекает прямая на осяхО_х и О_усоответственно.

5. Нормальное уравнение прямой

здесь р - длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую,a -угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением осиОх.

6. Уравнение прямой проходящей через точку , в данном направлении

7. Общее уравнение прямой

Ax=By+С=0.(7)

Здесь A, B и Cпостоянные коэффициенты, причемЕсли какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.

а) Если А=0, тогдаBy+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную осиО_х.

б) Если В=0, то уравнениеAx+C=0 определяет прямую, параллельную осиО_у.

в) Если С=0, то уравнениеAx+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.

г) Если А=С=0, то уравнение By=0определяет прямую совпадающую с осьюОх.

д) При В=С=0прямаяАх=0совпадает с осьюОу.

Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ , (8)

то острый угол между прямыми определяется по формуле

. (9)

Если же прямые заданы общими уравнениями

А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0, (10)

то угол между ними можно найти по формуле

(11)

Пусть прямые заданы уравнениями (8). Прямые параллельны, еслиtg a=0,тогда

k₂=k₁ (12)

условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство

(13)

Если прямые заданы уравнениями (10), то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:

, (14)

А₁А₂+В₁В₂=0. (15)

Кривые 2-го порядка.

К кривым 2-го порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Определение 1.Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (центра), Расстояние, на которое удалены точки окружности от центра, называется радиусом.

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точкеO (a; b) имеет вид

Определение 2.Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), большая, чем расстояние между фокусами (2а>2с).

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где . Числоc – половина расстояния между фокусами, числа a иbназывают большой и малой полуосями эллипса. В случаеa = bэллипс представляет из себя окружность радиусаaс центром в начале координат. Форма эллипса характеризуется эксцентриситетом

Расстояния от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам

,

здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.

Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2а<2с).

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

где . Числоc – половина расстояния между фокусами, числа a иbназывают действительной и мнимой полуосями гиперболы. Форма гиперболы характеризуется эксцентриситетом

Расстояния от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам

,

здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.

Если a=b, то уравнение

или

определяет равнобочную гиперболу.

Определение 4.Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом - точкаF(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. Длина фокального радиуса - вектора определяется по формуле

Уравнение

является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.