IV. Этап закрепления, проверки полученных знаний

Учитель: Можно ли применять метод деления отрезка пополам для нахождения корней уравнений, на заданных отрезках (уравнения записаны на доске):

1. x² – 5 = 0, [0, 3] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0) * f(3) < 0, применять метод можно)

2. sin(x) – 0,2 = 0 [0, /2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0) * f(/2) < 0, применять метод можно)

3. 1/(x – 1) [–2, 2] (ПО: функция не существует в точке х=1, применять метод нельзя)

4. x⁴ + cos(x) – 2 = 0 [0, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(0)* f(2) < 0, применять метод можно)

5. x⁵ – 1 = 0 [–5, 2] (ПО: функция непрерывна на отрезке и f(– 5) *   f(2) < 0, применять метод можно)

V. Задания для самостоятельного выполнения

1. Записать для алгоритма на рисунке 2 программу на языке Паскаль.

(Program XXX; Uses Crt; Var a, b, e, fa, fc, c: Real; Begin ClrScr; e : = 0.001; fa : = … ; While Abs (a – b) > e do Begin c : = (a + b)/2; fc : = … ; If fc  ^. fa < 0 Then b : = c Else Begin a : = c; fa : = fc; end; end; Writeln (‘Корень уравнения равен ’, a : 6 : 3); Readkey; End.

Программу учащиеся математического класса пишут самостоятельно, для непрофильного класса её можно дать в готовом виде с пояснениями учителя).

2. Используя программу, вычислить на компьютере приближенные корни уравнения с точностью до 0.001 следующих уравнений: (записаны на доске)

1. x²cos(2x) + 1 = 0 [0, /2]

2. x³ + x² + x + 1 = 0 [–2,1]

3. x⁵ – 0,3 | x – 1 | = 0 [0,1]

4. 2x – cos(x) = 0 [0, /4]

5. tg(x) – (x + 1)/2 = 0 [0, /4]

3. Это задание для учащихся математического класса: Вычислить значения , используя этот же метод деления отрезка пополам. Ответы сравните с расчетами на инженерном калькуляторе.ВСЕ результаты вычислений фиксируются в тетради.

4. Результаты лабораторной работы должны быть защищены в индивидуальном порядке в беседе с учителем: проверяется понимание метода и используемой программы.

Вопросы для собеседования:

1. В чем смысл переменной…?

2. Что означает данная команда…?

3. Как вы записывали для функции а) – е) выражение в команде fa : = ...?

4. Для чего в программе используются операторные скобки?

5. Для чего использовали в программе команду ветвления? Цикла?

6. Где в программе осуществляется выбор отрезка, где находится корень уравнения?

Пример: класс для решения уравнения методом деления отрезка пополам (метод бисекции, он же, метод дихотомии)

Метод деления отрезков пополам является одним из самых медленных, но надежных численных методов решения уравнений. Сущность метода поясним с помощью рисунка слева. Решаемое уравнение нужно привести к виду f(x) = 0. Пусть на интервале [a, b]имеется корень. Обозначим значение функции в точке aчерезfa, значение функции в точкеbчерезfb. Делим отрезок пополам. Обозначим эту серединную точкуc = (a + b)/2, а значение функции в нейfc.

Если знаки функции в точках aиcсовпадают (как на рисунке), то переносим точкуaв точкуc. В противном случае нужно было бы перенести точкуbв точкуc.

В любом случее интервал, в котором находится корень уравнения, сократится вдвое.

Опять находим среднюю точку cи опять переносим в эту точкуaилиb.

Такой процесс продолжаем до тех пор, пока ширина интервала не станет меньше заданного. Значения функций fa,fbиfcнужно хранить, тогда на каждом шаге повторения (на каждой иттерации) придется вычислять только одно значение функции в новой точекc. Остальные просто копируются (см.код).

Заметим, что полагаться на то, что при делении интервала пополам попадем в корень, очень мала. Кроме того, даже если математическаяфункция непрерывна и изменяет знак на интервале[a, b],вычисляемаяфункция дискретна в силу ограничения памяти, отводимой для хранения чисел. Это значит, что функция ни в одной извычислимыхточек, может не равняться нулю точно. А малость значения функции критерием быть не может: возможно, что функция на всем интервале мизерна.

Проблемы метода:

1. если на интервале [a, b]имеется несколько корней, то определим только один. Но это общий недостаток численных методов решения уравнений.

2. Если на интервале [a, b]имеется четное число корней, то значения функции в крайних точках будут иметь одинаковые знаки. И этот случай неотличим, в общем случае, от случая, когда уравнение на указанном интервалевообщене имеет корней. Мое мнение, что в этом случае, пользователь должен уточнить интервал, на котором следует искать решение. В свое время я писал функцию для отыскания корней и в этом случае, но применять ее следовало с осторожностью: еслиf(x) = 1/xилиexp(-x), то мы долго-долго будем ждать результат, которого не существует.