Определение погрешностей при прямых измерениях

Пусть в результате измерения физической величины N получен ряд значений N, N, N,.…, N, где n - число отдельных измерений. Среднее арифметическое этих результатов, т.е.

(1)

есть величина, называемая средним значением величины N, которая наиболее близка к истинному значению.

Отсюда следует, что каждое измерение должно быть повторено несколько раз.

Разности ,, , …, между средним значением измеряемой величины и значением,,, …,, полученным при отдельных измерениях, т.е.

……………..

называются абсолютными ошибками или погрешностями отдельных измерений и могут быть положительными и отрицательными.

Для определения средней абсолютной погрешности результата берут среднее арифметическое абсолютных значений (модулей) отдельных ошибок:

Отношения называютсяотносительными погрешностями отдельных измерений.

Отношение средней абсолютной погрешности результата к его среднему значениюдаетсреднюю относительную погрешность результата измерений:

Относительные ошибки принято выражать в процентах

Истинное значение

N = N

Не следует думать, что величина N_ист имеет два значения N_ср - иN_ср+ . N_ист имеет только одно значение, а знак « + » или « – » показывает , что истинное значение измеряемой величины находится в интервале

N_ср - N_ср N_ист N_ср + .

Теория вероятностей дает более точную формулу для вычисления абсолютной ошибки результата, устанавливая понятие так называемой наиболее вероятной ошибки результата :

= ± 0, 6745

В этом случае окончательное значение измеряемой величины

N_ист = N_ср

Если точность прибора такова, что при любом числе измерений получается одно и тоже число, лежащее где-то между делениями шкалы, то приведенный метод оценки погрешности неприменим. В этом случае измерение производится один раз и результат измерений записывается так:

,

где - искомый результат измерений;

- средний результат, равный среднему арифметическому из двух значений, соответствующих соседним делениям шкалы, между которыми заключено остающееся неизвестным истинное значение измеряемой величины;

- предельная погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора.

Часто в работах даются значения некоторых величин, измеренных заранее. В таких случаях абсолютную погрешность принимают равной ее предельной величине, т.е. равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе. Например, если дана масса тела m=532,4 г , то m=0.05 г, следовательно m= 532.4 г 0.05 г. .

Определение погрешностей при косвенных измерениях

В тех случаях когда физическая величина не может быть измерена непосредственно, прибегают к косвенным измерениям. Пусть для нахождения величины N пришлось измерить какие-то величины x, y, z, связаные функциональной зависимостью .

В этом случае средняя абсолютная ошибка может быть найдена по правилам дифференцирования, если значок дифференциала d заменить значком ошибки и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошибки была максимальной, т.е.

и

Пример 1. Объем цилиндра

, т.е.

В этом случае

Абсолютная ошибка

= 2R H +

Пример 2. Ускорение свободного падения g вычисляется по формуле

т.е.

;

.

(в частном случае когда формула принимает вид:

т. е. абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции).

Относительная погрешность находится по формуле:

,

а так как дифференциал натурального логарифма

то

или

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой значков d значком

Определение погрешностей для косвенных измерений удобно проводить по следующим этапам:

вычисляем относительную ошибку измерения

,

для этого следует:

а) прологарифмировать расчетную формулу;

б) найти от логарифма полный дифференциал;

в) сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по модулю;

г) заменить все дифференциалы d независимых переменных абсолютными ошибками измерений , а все минусы перед дифференциалами заменить плюсами, так как все частные ошибки складываются.

Необходимо помнить, что точность результата определяется точностью измерительных приборов и тщательностью исходных измерений и не может быть повышена путем искусственного набирания знаков при производстве арифметических действий.