завдання Розділ 5_2н

ЗАВДАННЯ ДО РОЗДІЛУ 5

Завдання 5.1. Обчислити похідні

e3x x 1

Варіант 1

1.

y 3arcsin 3 ln x

2.

y

tg 2 x

1

t

2

1

1

x

4.

?

5.

x

3.

y

2y ln y x, yx

y

?

x

y arctg t

x

10x cos x

Варіант 2

1.

y tg3

4

2.

y

ln x 1

x 1

3

3.

y sin 3x x2

4.

x2 y sin x y 0,

yx ?

5.

x sin t

yx ?

y t cos t

Варіант 3

y ln2

x 1 2

1.

tg

x

2.

y

cos x ln x

3.

y cos 3x x3

4.

xy ey

0,

yx ?

5.

x ln t

yx ?

y cos t

2.

y

x2 5

ln x

Варіант 4

1.

y cos 3 arctg x

x x 1 2

1

t

4.

xy2 x2 y x3 y3 0,

yx ?

5.

x e

3. y tg 3x x

yx ?

y ln 1 t

Варіант 5

1.

y ln sin x 1 cos2

x

2.

y ln 2 x arctg 3 x x 1 3

2

2

y

t

3.

y x arccos x

4.

x

y arcctg

0,

yx ?

5.

y

?

x

y arcsin t

x

Варіант 6

1.

y 4 arcsin

x2 1

2.

y ln

1 ctg3

x

3.

y cos x arcsin x

4.

x3 y 3x2 y2

5y3

3 0, y

?

5.

cos

3

t

x a

y

?

x

y a sin3 t,

x

Варіант 7

1.

y 1 tg4

x 1 tg2

x ln cos x

2.

y ln

4

x2 3x 1

4

2

3 x2 4

x

3.

y xsin x

4.

x3 y2 5xy 4 0,

y

?

5.

t

x

y 3

t

y

?

x

541

Варіант 8

1.

y ln arcsin

y ex2

1 e2x

2.

tg3

x arctg x

3. y x2 3

x ln t

x

4.

xy3 2y x3 0, yx ?

5.

yx ?

y sin 2t

x 5 3 ·2x

Варіант 9

1.

y ex

1 e2x arcsin ex

2.

y

x2

3. y x2 3

x ln t

x

4.

xy3 2y x3 0, yx ?

5.

yx ?

y sin 2t,

Варіант 10

x

3

2.

y

10x ·cos3

x

1.

y arccos

x 1

3

x

1

1

4.

xy x2 y2 xey 0,

yx ?

5.

x arctg t

3. y ln x x

2

,

y

?

y t

x

Варіант 11

1.

y arctg tg2

x

2.

y

3

x

3·cos3 x

ln x

1

2

exy x2 y2 0, yx ?

5.

x t

3.

y sin x

4.

x

y

?

y ln t

x

Варіант 12

1.

y ln arcsin tg x

2.

y 10x

·sin2

x

x 1

x ln t

3. y tg 2x x2

4.

xy2 yx2 x 1 0, yx ?

5.

1

,

yx ?

y

t

1.

y x arccos x

2.

y

ln x

Варіант 13

1 x2

e

x

·tg x

2

3.

y xsin x

4.

4,

yx ?

5.

x a sin

t

x

y

y

?

y b cos2

t,

x

ln x

5x ·ln x 1

Варіант 14

1.

y arctg x

2

1

2.

y

x2 1

x 1

2t

y ln x

x

yx ?

5.

x e

3.

4.

3 x 3 y 3 a,

y

?

y sin2 t,

x

Варіант 15

1.

y ln arccos

2.

y cos2

x·10x

x

x 1

3.

y

tg 2x

4.

y2 x x2 y exy 0,

y ?

5.

2

x

x t

x

y ln t,

y

?

x

542

Варіант 16

1.

y arctg e2 x

ln

e

2 x

2.

y

x 5

e3x ·cos x

e2 x 1

3.

y

ln x

x

2

2

2

5.

x cos t

4.

x

3

y

3

a

3

,

yx ?

yx ?

y t sin t,

Варіант 17

1.

y ctg2

ln

x 1

2.

y arcsin

x

x 1

2x ·3 x

ln x

t

3.

y sin x

4.

y3 x exy

0,

y

?

5.

x e

y

?

x

y t3 1

x

3

52 x ·tg x

Варіант 18

1.

y ctg

ln

x

2

1

2.

y

3 x 5

1

t

3.

y arctg x x2

4.

xy

ey

0,

yx ?

5.

x

2

?

xy

y ln t, y

x

1.

y ln

1

y sin

3

x·4

x

Варіант 19

arctg

2.

x

3 x 1

ln x

x

t2

3.

y

x

2

1

4.

sin

x y

cos

x y

0,

y ?

5.

1

x

y

, yx ?

t

2

1

Варіант 20

1.

y 3 cos

x 1

tg ln x

2.

y

x

·ctg3 x

2x

x 1

ln x

2

3.

y

1

4.

tg x y ctg x y 0,

yx ?

5.

x t

yx ?

x

y cos t,

x

sin3

x

Варіант 21

1.

y ln cos

1

1

2.

y

;

2

x2

ln x e2 x

x

1

3.

y arctg x

4.

xy cos(x y) 0, yx ?

5.

x

t

?

y sin t,

yx

Варіант 22

1.

y tg2

x

4 ctg3

1

2.

y 72 x

·cos 2x

3

x

3 x 1

x t3

3.

y

x

arctg x

4.

y2 x 2 sin(x y) 0,

y

?

5.

1

x

, yx ?

y

ln t

Варіант 23

1.

y

arcsin x

1

ln

1 x

2.

y 2x ·

x

2

1 x

ctg3

x

1 x2

2

x

1

tg x y ctg xy 0,

yx ?

1 t

3.

y ln x x

4.

5.

2

,

y

?

y t

x

543

Варіант 24

1.

y arctg

ln x

2.

y 32 x · x2

1

x

1 x

tg x

ln x

1 t

2

3.

y

x

4.

sin(x y) cos x y 0,

yx ?

5.

x

y

?

y et ,

x

Варіант 25

1.

y arcsin

2.

y

tg2

x·

x2 1

ln x

32x

x 3

1

5.

t

1

4.

ln x y

0,

yx ?

3.

y ln x x

y sin t,

yx ?

x y

Варіант 26

1.

y arctg

x

2.

y sin

3x e

2 x

1 x2

3 x 3

tg x

3

3.

y

1

4.

(x y)

3

arcsin yx 0,

yx ?

5.

x t

yx ?

x2

y ln t,

Варіант 27

1.

y arccos cos(x)

2

sin(x)

2

2.

y

ctg 3x·72 x

(x 3)

3

y x

y

5.

2

3.

y x

2

1

ctg x

4.

tg

0,

yx ?

x t

y

y arctg t,

?

y x

x

x

Варіант 28

1.

y arcsin sin x cos x

2.

y

tg 3x

23x

x

1

x 4

y tg x

1

4.

arctg xy 0,

yx ?

5.

t

3.

x

x y 2

y cos t,

y ?

x

1.

y ln cos2

x

2.

y

4

x 4

Варіант 29

1 cos4

x

4 x

cos 4x e

tg x

x

x

4

3.

y ln x

4.

arcsin

0,

yx ?

5.

x t

x y

y

y

3 t ,

y

?

x

ex 1

2

x

2. y

tg 2x 82 x

Варіант 30

1.

y ln ex

1

ctg

2

x 1 4

x

y

x

t 1

3.

y

x

2

1

sin x

4.

arccos

0,

y ?

5.

yx ?

x y

y

x

y 1 ,

t

544

Завдання 5.2. Розв’язати задачу використовуючи похідну

1.Якими повинні бути розміри ящика з кришкою об'ємом V 1764 см3 , якщо сторони

основи відносяться як 3:4, щоб на його виготовлення витратити мінімальну кількість матеріалу?

2.Довжина відкритого басейну об'ємом 288 м3 удвічі більша його ширини. Якими повинні бути розміри басейну, щоб на його облицьовування витратити мінімальну кількість матеріалу?

3.Необхідно виготовити конічну лійку із твірною, рівною 20 см. Якою повинні бути висота лійки, щоб її об'єм був найбільшим?

4.Художник вирішив намалювати картину, що зображає червоний прямокутник, оточе-

ний білою облямівкою. Вимагається, щоб площа червоного прямокутника дорівнювала 12 дм2, а ширина облямівки – 1 дм по боках і 2 дм зверху і знизу. Які повинні бути розміри картини, щоб загальна площа була найменшою?

5.Стадіон є прямокутним полем з областями у вигляді півкола, приєднаним до двох його протилежних сторін. Периметр стадіону повинен дорівнювати 330 м. Знайдіть найбільшу можливу його площу.

6.Відкриту коробку виготовляють з прямокутного шматка жерсті 5дм 9дм, для чого вирізають однакові квадрати по кутах і згинають жерсть уздовж ліній вирізу. Які квадрати слід вирізувати, щоб одержати коробку найбільшого об'єму?

7.Ціна алмазу, за інших однакових умов, пропорційна квадрату його маси. Ціна алмазу за 1 карат дорівнює a грн. Чому дорівнює мінімальна ціна двох алмазів загальною масою в 4 карати.

8.Канал, ширина якого рівна 27 м, впадає під прямим кутом в інший канал шириною 64 м. Визначити максимальну довжину стовпа, який можна сплавити по цих каналах.

9.На сторінці книги друкарський текст повинен займати площу S см2. Верхнє і нижнє поля повинні бути по a см, праве і ліве – по b см. При яких розмірах сторінки на неї витратять мінімальну кількість паперу?

10.Людина знаходиться в лісі на відстані 5 км від прямолінійної дороги (яка припускається нескінченно довгою) і в 13 км від будинку, що стоїть край дороги. Людина може пройти 3 км в годину по лісу і 5 км в годину по дорозі. Вона прямує по прямій лінії до дороги, а потім по дорозі до будинку. Який найкоротший час, протягом якого він може досягти будинку?

11.Знайти співвідношення між радіусом r і висотою h циліндра, який має при даному об'ємі V найбільшу повну поверхню.

12.Число 48 розкласти на два доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.

13.Знайти прямокутник найбільшої площі, вписаний в півколо радіусу 1 так, щоб дві його вершини лежали на діаметрі півкола.

14.Дріт необхідно розрізати на дві частини. Одна частина буде зігнута в квадрат, а інша в круг. Загальна площа обох одержаних фігур повинна бути 16 дм2. Яка мінімально можлива довжина дроту? Яка найбільша можлива довжина?

545

15.Фермер хоче розчистити поле у вигляді прямокутної ділянки з приєднаною до однієї з

його сторін напівкруглою ділянкою. Прямокутна ділянка буде відведена під сіно, що дає дохід 5 грн. на м2, а напівкругла ділянка буде засіяна гречкою, що дає дохід 6 грн. на м2. Периметр поля повинен бути рівний 800 м. Як повинен фермер спланувати поле, щоб одержати найбільший дохід?

16.Знайдіть найбільшу площу трапеції, що вписана в півколо радіуса r і має нижньою основою діаметр півкола.

17.Три пункти A, B і C розташовані так, що ABC 60 . Одночасно виїжджають з

пункту A автомобіль і з пункту B – потяг. Автомобіль рухається до пункту B із швидкістю 80 км/год. потяг – до пункту C із швидкістю 50 км/год. у який момент часу (від початку руху) відстань між поїздом і автомобілем буде мінімальною, якщо відстань від A до B дорівнює 200 км.

18.Завод D необхідно з'єднати шосейною дорогою з прямолінійною ділянкою залізниці, на якій знаходиться місто A . Відстань від заводу до найближчої точки B на залізниці рівна DB 40 км. Відстань від міста до цієї точки B дорівнює AB 200 км. Вартість перевезення по шосейній дорозі в 5 раз вища, ніж залізницею. У яку точку C залізниці необхідно провести шосейну дорогу, щоб вартість перевезення була мінімальною?

19.	З квадратного листа картону із стороною a вирізають по кутах однакові квадрати і з
	хрестоподібної фігури, що залишилася, склеюється прямокутна коробка. Яка повинна
	бути сторона квадрата, щоб об'єм коробки був найбільшим?

20.Визначити розміри відритого басейну з квадратним дном, що має об'єм V так, щоб на облицьовування його стін і дна пішла найменша кількість матеріалу.

21.Знайти такий циліндр, який мав би найбільший об'єм при даній повній поверхні S .

22.З трьох дошок однакової ширини зробили жолоб. При якому куті нахилу бічних сторін площа поперечного перетину жолоба буде найбільшою?

23.Знайти таке додатне число, щоб різниця між ним і його кубом була найбільшою.

24.З прямокутників, у яких сума двох сторін дорівнює 100, вибрати той, який має найбільшу площу.

25.Знайти висоту h в рівнобедреній трапеції площею 16 см2 і кутом 60o між бічною стороною і великою основою, при якій сума бічних сторін і меншої основи була б найменшою?

26.Знайти висоту циліндра найбільшого об'єму, який можна вписати в сферу радіусу R .

27.Знайти висоту конуса найбільшого об'єму, який можна вписати в сферу радіусу R .

28.На параболі y x2 9 знайти точку найближчу до початку координат.

29.На гіперболі xy 4 знайти точку, сума квадратів координат якої була б мінімальної.

30.Через точку з координатами 2;8 провести пряму, яка б відсікала на додатних на півосях координат відрізки, сума яких була б найменшої.

546

Завдання 5.3. Дослідити функцію і побудувати її графік

	1.		y	x2 1
				1 x
	4.		y	x2 1
				1 x
	7.		y 3 x2
				2 x
	10.		y x 1
				x

13.		y	x 1 3
			x 1 2

16.y x2 1

x2

19.		y	x
			3 x2

x

22.y (1 x)2

25.		y 3 x2
		2 x
28.		y ln	x 1
		1 x

2.y

5.y

8.y

11.y

14.y

17.y

20. y

23.y

26.y

29. у

3x

x4

1

1 x2

3x

x 2

x2

x 2

x3 1

x2

4x

1 x

x

2

1 x

1 2x2 x

3x2 x

(x 2)2

1

x2 5x 4

3.

6.

9.

12.

15.

18.

21.

24.

27.

30.

y		9
	x2	9

yx2 1 x2 1

y	ex
	x 1
у	x 1					3
	x 1
y	x2 1
		x
y	x2 1
	x2 x
y		x2
	x 2

y1 x2

1 x2

y x2 1 x2 x

	y	x
		3 x2

				Завдання 5.4. Знайти найбільше і найменше значення функції																															y f (x) на зада-
ному відрізку
		1.		y x		3	3x 1;					[0; 3]							2.		y	1		x cos x;													;
																						2												2
		3.		y x5			5 x3 2;						[0; 2]						4.		y 3x4						16x3						2; [0; 4]
								3
		5.		y	1		x cos x;												6.		y 3x				4		16x					3	2;				[ 3;1]
												0;
					2										2
		7.		y x		3	3x 1;								1				8.		y x		3			3x 1;									1
												1;																								; 2
															2																			2
		9.		y x		5		5	x	3		2;	2; 0						10.		y x		5					5	x	3		2;					1
								3																														;3
																												3									2
		11.		y x3			9x 3;					1, 0							12.		y 6x x3 ;										2,1
		13.		y x 2 3						x 1 ;					1, 2				14.		y	x3					3 ;					1, 3;					1, 5
																						3						x
																	547

					0,1x2								x2 ;				1, 5
			y					5																	y x2			4x 8;
	15.																						16.											0, 2			3
	17.		y 3x4			8x3					6x2						3;		2,1				18.		y x			4				;		0, 5
																											x 2				2
			y			1											1
	19.									;								, 3					20.		y x3 3x2				105x 25;							6, 6
				x2		1			2
																	2
	21.		y 2x3			3x2					120x 100;									4, 5			22.		y 2x3			3x2 36x 6;								3, 2
																												1
							2							3		x; 0,														2					5, 3; 2, 3
	23.		y cos					x															24.		y 3 x				x		15			;
													2															5
	25.		y 2x x2					12 15 x2 1 ;												1, 7;	2, 2		26.		y 3x5			20x3			2;			1, 3
	27.		y 3x4			8x3					6x2						3;		1, 2				28.		y x3 9x2				15x 12;							6, 2
	29.		y x3 3x2 9x 8;																4, 3				30.		y 3x5			20x3			2;			2, 0

Завдання 5.5. Дослідити функцію на неперервність і побудувати схематичний графік функції. Встановити наявність і характер точок розриву функції. Довизначити функцію в точках розриву (якщо це можливо) так, щоб вона стала неперервною

					x 1					2	,		x 1				cos 2x,										x					sin x , x
			2
	1.		y												2.		y										4			3.
																																y
			x		3	1,						x 1																				1			,				x
																			3sin 2x, x
																												4
					x																		2	,			x 1					log				x,			x 1
						(x 2),							x 2																						2
	4.														5.		2x													6.
			y	1													y															y
											2						tg x , x 1															x2 1,							x 1
						(x 2)						,	x 2
																			x 1							,	x 2
																																		x 1, x 0
	7.		arctgx,								x 0				8.															9.
			y														y															y
			tgx,							x 0										x 1 2							2, x 2						x 1					2 ,	x 0
			2x 1 ,					x 0													2	2,					x 2					tgx,					x
																																							2
	10.		y 1			,		x 0							11.		y													12.		y
																	2x 1, x 2
					2
																																					x
			x																													1,							2
					2		,		x 1												2	1,					x 0					log					x,		x 1
																																			0,5
	13.		y x 1												14.		y													15.		y
																	cos x,										x 0					x2 5x 4, x 1
				x		1,			x 1
				1		2,							x 2				1																				3
			x2																			,					x 0					x 1						,	x 0
																			x		3
						х
	16.		y					,	2				x 4		17.		y x,								0 x 2					18.		y 0,						0 x
			x 2															2,									x 2														2
			x,										x 4																										x	3
																																tg x,						2			2
																				548

3

x 0

sin x,

x

2

sin 2x,

x

19.

y

,

20.

y

3

21.

2

x2

y

x 0

2 cos x,

x

2

cos 2x,

x

2,

3

2

x

1,

x 2

arccos x,

x

0

log

2

x,

x 4

22.

y

23.

y

24.

y

x

2

1,

x 2

arcsin x,

x 0

2x 3

3,

x 4

x,

x 0

х 2

,

x 1

3

x,

x

2

x

25.

y

4,

4 x 0

26.

y

27.

y

1

x 2, x 2

,

x 1

x 4

x,

x 1 3

x 1

3

2x3 , x 1

x,

x 2

28.

y

2

,

x 0

29.

y

30.

2

y

1

1

cos x,

x 0

x 2,

x 2

,

x

2

x

Завдання 5.6. Обчислити диференціал

dy

функції

y

1.

y arcsin x 5 ;

2.

y 102 x

arctg 3x ;

3.

y 5

;

arctg 2x

y sin x x cos x ;

x

4.

y sin x 3 x ;

5.

6.

y ln tg

;

2

4

7.

y x2

x 1 ·tg2

x ;

8.

y arctg 1 ;

9.

y

;

1 arctg x

x

10.

y

1

x

2

·arctg x

;

11.

y arccos

1

;

12.

y arccos 3x

1

;

x

1 9x2

y ln

x

;

y

;

y arctg 2x

1

;

13.

14.

3 x2 x ln x

15.

x

4x2 1

16.

y 3

;

17.

y 4

;

18.

y arcsin

;

arctg

x

arcctg x

x

y 1 sin x ;

tg x

19.

20.

y arctg

;

21.

y (arcsin x)2 ;

1 cos x

2

y arcsin 2sin x ;

y 3

;

y arcsin 23

;

22.

23.

x2 4

24.

x

2

2

25.

y x·ex

1 ;

26.

y cos ln x ;

27.

y arctg

x

;

2

2

3

28.

y ex

2 x 3 ;

29.

y ln cos x ;

30.

y arctg

x

.

3

549

Завдання 5.7. Обчислити наближено використовуючи поняття диференціала першого порядку

	1.		3						2.		tg 44o					3.		1, 02 5							4.		sin 29o
				26
																			x 3		,
	5.		arctg1, 05						6.		0, 99			4		7.									8.			1, 98
																			x								5
																		x 1, 04									2, 02
	9.		arctg 0, 93						10.		arccos 0, 45					11.		arctg 0, 95							12.		ln 0, 9
	13.		cos 62o						14.							15.		sin 31o							16.		4
																												15,8
												82
	17.		tg 46o						18.		arcsin 0, 45					19.									20.
																			1, 005
																												101
	21.		4						22.		arcsin 0, 51					23.		3							24.
				80, 5															1, 02									1, 04
	25.								26.		cos 63o					27.		ln1,1							28.		lg101
				41
									29.		ctg 46o					30.		log2 5

	Завдання 5.8. Скласти рівняння дотичної до кривої
1.	Записати рівняння дотичної до графіка функції y x2 в точці графіка з ординатою
	y 4 .
2.	Знайти рівняння дотичної до кривої	y ln x	в точці перетину з віссю Ox .
3.	Записати рівняння дотичної до графіка функції y 3x 2 в точці графіка з ордина-
	тою y 1.		5x 4
4.	Знайти рівняння дотичної до кривої	1 x2	в точках перетину з прямою y 1.
		y e
5.	Знайти рівняння дотичної до кривої	y 2x2	в точці A 1; 2 .
6.	Знайдіть всі спільні точки графіка функції		y 9x2 7x 1 і прямої y x . У яких з

цих точок дана пряма є дотичною до графіка даної функції?

7.Знайдіть всі спільні точки графіка функції y x3 3x і прямої y 2 . У яких з цих точок дана пряма є дотичною до графіка даної функції?

8.	Знайти	рівняння	дотичної	до	кривої	y x3 3x2 x 1		паралельної		прямої
	2x y 5 0 .
9.	Знайдіть всі загальні точки графіка функції					y x3 3x	і прямої		y 6x 2 . У яких
	з цих точок дана пряма є дотичною до графіка даної функції?
10.	Знайти	рівняння	дотичної	до	кривої	y x4 6x 6	перпендикулярної			прямої
	2x 4 y 7 0 .
11.	Знайдіть всі спільні точки графіка функції y x4 2x3 x2							x	і прямої	y x . У
	яких з цих точок дана пряма є дотичною до графіка даній функції?
					550