1. Історичні відомості

Людство завжди стикалося з проблемами нерозв’язності будь - яких завдань і шукало, іноді успішно, іноді ні, шляхи їх вирішення. Наприклад, у математиці, для того щоб будь-яке рівняння мало корені, додатних чисел виявилося недостатньо і за два століття до н.е. китайськими математиками були введені від'ємні числа. Від’ємні числа допомогли описувати єдиним чином зміну величин.

Для розв'язання рівнянь виду було потрібно введення дробових чисел. Відомо, що за два тисячоліття до н.е. в Давньому Єгипті і Стародавньому Вавилоні вже застосовувалися дроби.

У VIII столітті нашої ери було встановлено, що квадратний корінь з додатного числа має два значення - додатне та від’ємне, і те, що з від’ємних чисел квадратні корені витягти не можна: ні, наприклад, такого числа , щоб виконувалася рівність .У XVI столітті в зв'язку з вивченням кубічних рівнянь виявилося необхідним навчитися витягувати квадратний корінь з від'ємних чисел. У 1545 році італійський математик Д. Кардано (1501 - 1576) запропонував ввести числа нової природи. Він показав, що система рівнянь , не має розв’язків в множині дійсних чисел, має розв’язок завжди, при , потрібно тільки умовитися діяти над такими виразами за правилами звичайної алгебри і вважати, що. Кардано називав такі величини «чисто від’ємними» і навіть «софістическі від’ємними», вважаючи їх непотрібними, і прагнув не застосовувати їх, адже за допомогою таких чисел не можна виразити ні результат вимірювання якої-небудь величини, ні зміни цієї величини. Але вже в 1572 вийшла книга італійського алгебраїста Р. Бомбелли (бл. 1526 - 1572), в якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до вилучення з них кубічних коренів. Далі комплексні числа застосовувалися в різних питаннях алгебри, але практичних застосувань поки не мали. Назва «уявні числа» ввів в 1637г. французький математик і філософ Рене Декарт.

Взагалі математики XVI в. і наступних поколінь аж до початку XIX століття ставилися до комплексних чисел з явною недовірою і упередженням. Вони вважали ці числа «уявними» (Рене Декарт), «неіснуючими», «вигаданими», «виниклими від надмірної мудрування» (Д. Кардано) [10]. Г. Лейбніц називав ці числа «витонченим і чудесним притулком божественного духу», а , вважав символом потойбічного світу (і навіть заповідав накреслити його на своїй могилі).

Багато вчених цього періоду намагалися інтерпретувати комплексні числа на прямій лінії і застосовувати до таких понять, як наприклад, температура, час та ін., що не вимагає площинного зображення.

Пізніше, Л. Ейлер (1707 - 1783) ввів в математику символ , де .

(- це перша буква латинського слова imaginarius, що означає «уявний», «уявний»).

Також Л. Ейлером була виведена формула , яка згодом була названа його ім'ям, хоча до Ейлера цією формулою володів англійський математик Р. Котес (1682 - 1716) [35]. Ця формула дозволила:

• довести періодичність експоненційної функції;

• вивести логарифми комплексних чисел.

Більш сувору теорію нової множини чисел, яка була названа комплексною, розвинув німецький вчений Карл Гаусс (1777 - 1855), який також дав їй геометричне тлумачення, що дозволило подолати багато труднощів в її розумінні. Хоча до Гаусса геометричне тлумачення зустрічається у датського землеміра К. весело (1745 - 1818) і французького математика Аргана (1768-1822). К. Гаусс в 1831 році дав глибоке обґрунтування комплексних чисел в математиці. Після того як з'явилося наочне геометричне зображення комплексних чисел за допомогою точок площини і векторів на площині (Гаусс в 1831 г, Вессель в 1799 г, Арган в 1806 г), стало можливим зводити до комплексних чисел і рівнянь для багатьох задач природознавства, особливо гідро - і аеродинаміки, електротехніки, теорії пружності і міцності, а також геодезії і картографії. З цього часу існування «уявних» або комплексних чисел стало загальновизнаним фактом і вони отримали таке ж реальний зміст, як і числа дійсні.

У XIX столітті О. Коші (1789-1857), Г. Ріман (1826-1866), і К. Вейерштрасс (1815-1897) на базі комплексних чисел створили нову математичну дисципліну - теорію функцій комплексного змінного, яка відіграє важливу роль у сучасній математики.

З розвитком науки і техніки ставало все більш зрозумілим, що без комплексних чисел не можна обійтися в багатьох практичних справах. Широке застосування знайшли комплексні числа в електротехніці, гідродинаміці, картографії, в теорії літака і багатьох інших галузях. Зараз важко вказати область фізики, механіки, технічних дисциплін, де не застосовувалися б комплексні числа.