1. Представлення чисел в цифрових пристроях. Системи числення.

Системи числення. Для обробки будь-якої інформації величини, що характеризують цю інформацію, повинні бути представлені в якомусь виді. Для представлення інформації існують аналогова (неперервна) і числова (дискретна) форма.

В першій формі величини сигналів представляють в вигляді неперервних сигналів, пропорційних цій величині; в другій формі – у вигляді перервних в часі сигналів, кожний з яких відповідає одній з цифр прийнятої системи числення. Система числення – це сукупність правил запису чисел цифровими символами, число це величина, що виражає кількість однорідних об’єктів, цифра – символ для позначення числа.

Інформація може бути представлена в вигляді звичної для нас десяткової системи числення з величинами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; або у вигляді двійкової системи з цифрами 0, 1. Ці системи ще називають позиційними системами числення.

Дійсно, числа в таких системах представляють у виді групи порозрядної послідовності цифр, для цілої і дробної частини:

а₂ ∙ а₁ ∙ а_0 ,           а_-1 ∙ а_-2 ∙ а_-3   …       _,                                 (1.1)  ціла   дробна, де  а₂  - число сотень; а₁  - число десятків; а₀ -  число одиниць;   а_-1  - десяткове значення одиниці; а_-2  - соте значення одиниці;   а_-3 – тисячне значення одиниць, тобто в цих системах числова вага цифрових знаків залежить від позиції їх в ряді знаків.

Одиниці кожного розряду відповідає вага  р^к, де р – основа системи числення, к – номер розряду, що визначає позицію числа (одиниці, десятки  і  т.д.).

Кількість одиниць  N,  записано  в (1.1.)  визначається як

N=…+а₂∙р²+а₁∙р¹+а₀∙р⁰+а_-1∙р^-1+а_-2∙р^-2,                             (1.2.)

Подання чисел у мікропроцесорах 

У регістрах або комірках пам'яті МП інформацію розміщено у вигляді двійкових чисел, причому для кожного розряду числа відведено окрему комірку, що зберігає один біт інформації. Сукупність комірок, призначе­них для розміщення одного двійкового числа, називаютьрозрядною сіт­кою. Кількість комірок у розрядній сітці обмежена і залежить від конст­руктивних особливостей МП.

Подання чисел у формі з фіксованою комою. Для розміщення двійкового числа, що містить цілу і дробову частини (без урахування знака) у n-розрядній сітці k комірок приділяють для розміщення цілої частини та n-k комірок – для розміщення дробової. При такому поданні двійкових чисел положення коми у розрядній сітці фіксовано. Якщо кількість розрядів у дробовій частині перевищує n-k, то молодші розряди, які знахо­дяться межами розрядної сітки, не сприймаються мікропроцесором. Будь-яке двійкове число, менше ніж 2^n-k, сприймається як нульове і нази­вається машинним нулем. У результаті відкидання молодших розрядів дробової частини числа, розташованої за межами розрядної сітки, вини­кає похибка подання. Максимальне значення абсолютної похибки подан­ня  не перевищує одиниці молодшого розряду сітки:

Δ₁=2^-(n-k).

При такій формі подання чисел мінімальне число т = 2^-(n-k), макси­мальне М = 2^k – 2^-(n-k). Тоді відносне значення похибки подання δ₁ де­якого числа N, т ≤ N < М , дорівнює

δ₁=

Подання чисел у формі з плавучою комою. Форму з плавучою ко­мою застосовують для розширення діапазону і зменшення відносної похибки подання чисел у МП.

Число N зображують у вигляді добутку. Першим множником є правиль­ний дріб а, який називається мантисою числа. Другим множником є ос­нова 2, піднесена до степеня p, який називається порядком числа:

N = ±a-2^±p.

У мікропроцесорних системах, у яких реалізовано подання чисел у формі з плавучою комою, числа зберігають у нормалізованому вигляді, при цьому більшу кількість розрядів використовують для зберігання дро­бової частини, внаслідок чого підвищується точність обчислень. Якщо після виконання арифметичних операцій (наприклад, віднімання) резуль­тат виявляється ненормалізованим, то перед занесенням числа в пам’ять виконують його нормалізацію, тобто зсув мантиси ліворуч на відповідну кількість розрядів, і зменшення порядку числа на відповідну кількість одиниць.

Записуючи двійкове число у формі з плавучою комою у (п + 2)-розрядній сітці, k комірок приділяють для розміщення мантиси, n-kкомі­рок – для розміщення порядку, а 2 розряди – для зазначення знаків.

2. Логічний елемент "І". Логічний елемент "АБО".

 Загальні відомості з алгебри логіки

Обчислювальні пристрої крім арифметичних операцій повинні виконувати і логічні операції. Для цього потрібно вміти:

1) представляти логічні поняття (інформацію) в обчислювальних пристроях;

2) мати набір правил, за якими можна виконувати перетворення логічної інформації.

Такі можливості дає математична логіка.

Математична логіка є розділом загальної логіки, в якій використовуються математичні методи. Логіка – це наука про закони і форми мислення, а математична логіка – наука, що вивчає форми і закони логічних тверджень в математиці, яка побудована, як строга математична теорія.

Логічний елемент І.

Логічний елемент І, умовне графічне позначення якого згідно з державними стандартами наведено на рисунку б, реалізує елементарну логічну операцію кон'юнкції або логічного множення.

Логічний елемент І реалізується на послідовно ввімкнених ключах (а). Вихідний сигнал послідовно ввімкнених ключів, що відповідає логічній 1, буде тільки в тому разі, якщо на обидва ключі подати сигнали, що відповідають рівню логічної 1 і вони обидва перейдуть у замкнений стан. Якщо хоч на один з ключів не подати сигнал, що відповідає логічній 1, то він залишиться у розімкненому стані, і вихідний сигнал дорівнюватиме рівню логічного 0.

 

Логічний елемент АБО.

Логічний елемент АБО, умовне графічне позначення якого згідно з державними стандартами наведено на рисунку б, реалізує елементарну логічну операцію диз'юнкції або логічного додавання.

Логічний елемент АБО реалізується на паралельно ввімкнених ключах (а). Вихідний сигнал паралельно ввімкнених ключів, що відповідає логічному 0, буде тільки в тому випадку, якщо на обидва ключі подати сигнали, що відповідають рівню логічного 0, і вони обидва будуть розімкненими, і вихідний сигнал елемента дорівнюватиме рівню логічного 0. Якщо на один з ключів або на обидва разом подати сигнал, що відповідає логічній 1, то він замикається і на виході елемента встановиться рівень сигналу, що дорівнює логічній 1.

3. Принцип двоїстості

Введене поняття двоїстих булевих функцій дозволяє сформулювати принцип двоїстості, що полягає в такому: якщо формула  реалізує булеву функцію , то формула , одержана з  заміною функцій  на двоїсті функції , відповідно реалізує функцію , двоїсту функції . Формулу ^* називають двоїстою . Для формул над множиною  принцип двоїстості може бути сформульований так: для отримання формули , двоїстої формулі , достатньо у формулі  усюди замінити 0 на 1, 1 на 0, & на ,  на &.

Приклад. Із співвідношення  застосуванням принципу двоїстості виходить співвідношення . Принцип двоїстості дозволяє майже в два рази скоротити зусилля на виведення співвідношень при розгляді властивостей елементарних булевих функцій.

     

 

4). Перетворення чисел з різних систем числення.

Перевід будь-якого числа з двійкової системи числення у вісімкову та шістнадцяткову системи проводиться так. Основою вісімкової системи числення являється число 8=2³, то для переводу двійкових чисел  у вісімкові необхідно розділити двійкові числа на трьохбітові групи – тріади  і  перевести кожну тріаду в десяткове число.

Аналогічно здійснюється перевід двійкових чисел в шістнадцяткові (16=2⁴). В цьому випадку двійкове число розбивається на 4^х-бітові групи (тетради), які і переводяться в шістьнадцяткову цифру. Розбивка двійкового числа на тріади, тетради здійснюється зправа наліво, починаючи з наймолодшого розряду числа. Якщо в групі  немає  0  чи  1,  групу  (старший значущий розряд) доповнюють нулями.

Приклад. Число 11 01 01 0001 110₍₂₎

представляємо, як

        001 101 010 001 110₍₂₎ =15216₍₈₎

або

           1     5      2    1      6    ₍₈₎

Для переводу вказаного двійкового числа в шістнадцяткову систему числення, це двійкове число розбиваємо по 4 біти:

          0001  1010  1000  1110₍₂₎=1А 8D₍₁₆₎

             1        А        8        D₍₁₆₎

Дробну частину двійкового слова також можна представити  8 або  16  еквівалентом. Тільки об’єднання в групи по 3 або 4, відповідно, необхідно проводити, починаючи з старшого значущого розряду після десяткової крапки.

Для переводу будь-якого десяткового числа  в  2, 8, 16  систему числення, необхідно ділити це десяткове число на основу  (2, чи 8, чи 16)  системи, в яку ми це десяткове число переводимо, врахувавши залишок.

Приклад 1. Число 134 ₍₁₀₎ перевести у двійкову систему числення

      Крок         Ділення       Частка             Залишок

        1                 134:2              67                  0-молодший    

                                                                        значущий розряд 

        2                  67:2             33                   1

        3                  33:2             16                   1

        4                  16:2              8                    0

        5                    8:2              4                    0

        6                    4:2              2                    0

        7                    2:2              1                    0

        8                    1:2              0                    1-старший значущий розряд

Результат 134₍₁₀₎=1000 0110₍₂₎

Приклад 2:

 Число 634₁₀ перевести у вісімкову систему числення

Крок         Ділення       Частка             Залишок

     1           634:8              79              2-м.з.р.

     2             79:8                9               7

     3             9 : 8                1               1

     4             1 : 8                0               1-ст. з.р. результат:  634₍₁₀₎ = 1172₍₈₎ 

Приклад 3:

 Число  634₍₁₀₎ – перевести в шістьнадцяткову систему числення

Крок         Ділення       Частка             Залишок

     1           634 : 16           39            10₁₀ = А₁₆  м.з.р.

     2             39 : 16            2              7

     3              2 : 16             0              2      ст.з.р.

результат 634₍₁₀₎  = 27А  ₍₁₆₎

При переводі дробної частини десяткового числа в а-б-в -2, 8, 16 систему числення, необхідно це дробне число помножити на (а) –2, (б) – 8,  (в) - 16 відповідно і:

а) записати 1, якщо число >1,  0 якщо число < 1;

б) заокругливши до цілого числа, якщо число <8;

в) заокругливши до цілого числа.

Числа, що обробляються в обчислювальних пристроях можуть бути представлені у формі з фіксованою і плаваючою крапкою.