MA_Metod3

Змiст

Роздiл IX. Функцiональнi послiдовностi i ряди		4
9.1	Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних
	послiдовностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
9.2	Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних рядiв . . . . . .	7

9.3Властивостi сум функцiональних рядiв . . . . . . . . . 14

9.4Область збiжностi степеневих рядiв . . . . . . . . . . . 20

9.5Властивостi сум степеневих рядiв i розклад функцiй у

степеневi ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.6Розклад функцiй у ряди Фур’є на промiжках завдовжки 2¼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.7Розклад функцiй у ряди Фур’є на довiльних промiжках 30

9.8Розклад у ряди Фур’є лише за косинусами або лише за

синусами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
Роздiл X. Iнтеграли, залежнi вiд параметра	26

10.1Власнi iнтеграли, залежнi вiд параметра . . . . . . . . 38

10.2Рiвномiрна збiжнiсть невласних iнтегралiв, залежних

вiд параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.3Властивостi невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10.4Iнтеграли Дiрiхле та Ейлера-Пуассона . . . . . . . . . 54

10.5Ейлеровi iнтеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Роздiл XI. Криволiнiйнi i подвiйнi iнтеграли

58

11.1Криволiнiйнi iнтеграли I роду . . . . . . . . . . . . . . 60

11.2Криволiнiйнi iнтеграли II роду . . . . . . . . . . . . . . 68

11.3Обчислення подвiйних iнтегралiв . . . . . . . . . . . . 79

11.4Замiна змiнних у подвiйних iнтегралах . . . . . . . . . 85

11.5Формула Ґрiна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

11.6Геометричнi та фiзичнi застосування подвiйних

iнтегралiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	92
Роздiл XII. Поверхневi i потрiйнi iнтеграли
12.1 Поверхневi iнтеграли I роду . . . . . . . . . . . . . . .	99

12.2Поверхневi iнтеграли II роду . . . . . . . . . . . . . . . 104

12.3Обчислення потрiйних iнтегралiв . . . . . . . . . . . . 108

12.4Замiна змiнних у потрiйних iнтегралах . . . . . . . . . 113

3

12.5Геометричнi та фiзичнi застосування потрiйних iнтегралiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

12.6Формули Стокса i Ґаусса-Остроградського . . . . . . . 118

4

Роздiл IX. Функцiональнi послiдовностi i ряди

9.1Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних послiдовностей

Послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : X ! R називається поточково збiжною на множинi X до функцiї f : X ! R, якщо

lim fn(x) = f(x)

n!1

для кожного x 2 X. При цьому, функцiю f називають граничною функцiєю i пишуть

fn ! f на X:

Послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : X ! R називається рiвномiрно збiжною на множинi X до функцiї f : X ! R , якщо для довiльного

" > 0 iснує таке N 2 N, що для всiх n ¸ N i для всiх x 2 X має мiсце нерiвнiсть

jfn(x) ¡ f(x)j < ":

Для позначення рiвномiрної збiжностi функцiональної послiдовностi (fn)1n=1 до функцiї f на множинi X використовують запис

fn ¶ f на X:

Зрозумiло, що кожна рiвномiрно збiжна на множинi X послiдовнiсть функцiй є поточково збiжною на цiй множинi.

Для кожного n 2 N покладемо

rn = sup jfn(x) ¡ f(x)j:

x2X

Теорема 9.1. Нехай послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : X ! R поточково збiгається на множинi X до функцiї f : X ! R. Тодi функцiональна послiдовнiсть (fn)1n=1 рiвномiрно збiгається на X до функцiї f у тому i тiльки в тому випадку, коли

lim rn = 0:

n!1

5

Дослiдити на рiвномiрну збiжнiсть функцiональну послiдовнiсть

(fn)n1=1 на множинi X, якщо:

1. fn(x) = xn, X = [0; 1 ];

2. fn(x) = xn, X = [0; 1];

2

3. fn(x) = xn ¡ xn+1, X = [0; 1];

4. fn(x) = xn+2 ¡ xn, X = [0; 1];

5. fn(x) = x2n ¡ xn, X = [0; 1];

6. fn(x) = x2n ¡ x5n, X = [0; 1];

7. fn(x) =

xn

, X = [0; 1];

8. fn(x) = sinn x, X = [0; ¼ ];

n

1+x

2

9. fn(x) =

arctg nx

, X = [0; +1);

10.

fn(x) =

arctg(n+2x)

, X = R;

p

n3+jxj

n+x

sin (n¡x)

cos p

nx5

11.

fn(x) =

n+x2

, X = R;

12.

fn(x) =

p

, X = [0; 2¼];

2n+3x

13.

fn(x) =

n2

, X = [¡1; 1];

14.

fn(x) =

x

, X = [0; 3];

n2+x2

x+n

15.

fn(x) =

nx

, X = [0; 1];

16.

fn(x) =

nx2

, X = [0; 1];

1+n+x

1+2n+x

17.

fn(x) =

2nx

, X = [0; 1];

18.

fn(x) =

nx

, X = [0; 1];

2 2

3

2

1+n x

1+n x

19.

fn(x) =

n2x

, X = [1; +1);

20.

fn(x) =

2nx

, X = [1; +1);

n5+x2

n2+x2

21.

fn(x) = q

, X = R;

22.

, X = (0; 1);

x2 + n1

fn(x) =

nx

n+xn

2

sin np

23.

, X = [1; +1);

24.

fn(x) =

x

fn(x) = e¡nx

ln(n+1) , X = [0; ¼];

25.

fn(x) = e¡(x¡n)2 , X = [¡1; 1];

26.

fn(x) = e¡(x¡n)2 , X = R;

2

4

27.

¡nx, X = (0; 1);

28.

pn3 x

, X = [0; +1);

fn(x) = e¡x

fn(x) =

ep

nx

29.

fn(x) = nx ln nx , X = (0; 2);

30.

fn(x) =

ln(nx)

, X = [1; +1);

nx2

31.

fn(x) = sin

x

, X = R;

32.

fn(x) = sin

1+nx

, X = R;

n4

2n

33.

fn(x) =

1

cos x , X = (0; 1);

34.

fn(x) =

1

cos x , X = (0; 2);

3

2

x

n

x

n

35.

fn(x) = n sin

1

, X = (1; +1);

36.

fn(x) = n sin

1

, X = (0; 3);

nx

nx

37.

fn(x) = sin

n

, X = [1; +1);

enx

6

38.fn(x) = nx ln(1 + nx ), X = (0; 4);

39.fn(x) = arctg nx, X = (0; +1);

40.fn(x) = x arctg nx, X = (0; +1).

41.Нехай (fn)1n=1 – послiдовнiсть функцiй fn : R ! R, яка рiвномiрно на R збiгається до функцiї f0 : R ! R, i gn(x) = sin(fn(x)) для всiх

x 2 R i n = 0; 1; 2; : : : . Довести, що gn ¶ g0 на R.

42. Нехай (fn)1n=1 – послiдовнiсть строго додатних функцiй fn : R ! (0; +1), яка рiвномiрно на R збiгається до функцiї f : R ! (0; +1).

Чи обов’язково 1 ¶ 1 на R?

fn f

43.Нехай для кожного " 2 (0; 1) послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : (0; 1] ! R рiвномiрно на ["; 1] збiгається до функцiї f : (0; 1] ! R. Чи обов’язково fn ¶ f на (0; 1]?

44.Нехай послiдовнiсть (fn)1n=1 неперервних функцiй fn : [0; 1] ! R рiвномiрно на (0; 1] збiгається до функцiї f : (0; 1] ! R. Довести, що iснує така функцiя g : [0; 1] ! R, що fn ¶ g на [0; 1].

9.2Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних рядiв

Розглянемо функцiональний ряд

X1

un(x);	(9.1)
n=1
де un : X ! R для кожного n 2 N.
Для x 2 X та n 2 N суму
	n
Sn(x) = u1(x) + u2(x) + : : : + un(x) =	uk(x)
	=1
	Xk
називають n-ою частинною сумою ряду (9.1).

7

Функцiональний ряд (9.1) називається поточково збiжним на множинi X, якщо послiдовнiсть (Sn)1n=1 його частинних сум є поточково збiжною на X. При цьому, функцiя

S(x) = lim Sn(x)

n!1

позначається через P1 un(x) i називається сумою функцiонального

n=1

ряду (9.1).

Функцiональний ряд (9.1) називається рiвномiрно збiжним на множинi X, якщо

Sn ¶ S на X:

Теорема 9.2. Якщо ряд (9.1) рiвномiрно збiгається на множинi X, то un ¶ 0 на X.

Теорема 9.3 (критерiй Кошi). Функцiональний ряд (9.1) рiвномiрно збiгається на X тодi i тiльки тодi, коли для довiльного " > 0 iснує таке N 2 N, що для всiх n ¸ N, p 2 N i x 2 X має мiсце нерiвнiсть

jun+1(x) + un+2(x) + : : : + un+p(x)j < ":

Теорема 9.4 (ознака Вейєрштрасса). Нехай

1)jun(x)j · cn для всiх x 2 X i n 2 N;

2)числовий ряд P1 cn збiжний.

n=1

Тодi функцiональний ряд P1 un(x) рiвномiрно збiжний на X.

n=1

Теорема 9.5 (ознака Дiрiхле). Нехай

1) для кожного x 2 X послiдовнiсть (an(x))1n=1 монотонна;

	2)	an ¶ 0 на X;				¯ n	bk(x)¯
	3)	iснує таке C > 0, що						· C для всiх n 2 N i x 2 X.
			1	a (x) b (x)		¯X	¯	X
						¯	¯
			nP			¯k=1	¯
	Тодi ряд			n n	рiвномiрно¯ ¯збiжний на .
			=1
							8

Теорема 9.6 (ознака Абеля). Нехай

1)для кожного x 2 X послiдовнiсть (an(x))1n=1 монотонна;

2)iснує таке C > 0, що jan(x)j · C для всiх n 2 N i x 2 X;

X1

3) функцiональний ряд bn(x) рiвномiрно збiжний на X.

n=1

Тодi ряд P1 an(x) bn(x) рiвномiрно збiжний на X.

n=1

Знайти областi збiжностi таких функцiональних рядiв:

1. X1 xn;

n=1

3. X1 xn2 ;

n=1

5. X1 xn ;

n=1 n2

1

xn

X

7.

p

n

+ n

;

n=1

1

1

X

9.

1 + xn

;

n=1

11.

1

sin

x

;

n=1

2n

X

13.

1

sin nx

;

n

2

n=1

X

1

nx

15.

X

;

nx

n=1

e

17.

µ

2x + 1

¶

;

n=1 n + 1

1

n

x

n

X

X1

2. (ln x)n;

n=1

4. X1 xnn ;

n=1

X1 xn

6. pn;

n=1

X1

8. n(n + 1) xn;

n=1

xn

1

10.

X

;

n=1

1 + x2n

1

12.

X

xn tg

x

;

n=1

2n

X

cos nx

14.

1

;

e

nx

n=1

16.

2n

1

µ

1 + x¶

;

n=1

1

(¡1)n

1 ¡ x

n

18.

X

¡

: :¢: (2n)

µ

¶

;

n=1

¢2

¢4

1 + x2

1

1

3 : : : (2n ¡ 1)

2x

n

X

¢

¢

¢

9

	1	n 32n					1	2n sinn x
19.	X		xn(1 ¡ x)n;		20.		X			;
	n=1	2n					n=1	n2
21.	1	n2 sin(nx), 0 < x < ¼;			22.		1	(¡1)n ;
	X						X
	n=1	1 + n3					n=1	x + n
	1			n!
23.	X					:
	n=1	(x2 + 1)(x2 + 2):::(x2 + n)

Доcлiдити за означенням або за допомогою критерiю Кошi на рiвномiрну збiжнiсть на вказаних множинах такi функцiональнi ряди:

	1
24.	X	(1 ¡ x) xn, jxj · 1;
	n=0				1
	1
26.	X					, x ¸ 0;
	n=1		(x + n)(x + n + 1)
	1				x
28.	X							, x ¸ 0;
				¡	x + 1)(nx + 1)
	n=1 (nx

25. X1 µxn ¡ xn+1 ¶, jxj · 1; n n + 1

n=1

27.	1	xn		jxj · 1;
	n=1	n2 ,
	X
29.	1	xn		jxj · 1.
	n=1	n! ,
	X

Користуючись ознакою Вейєрштрасса, довести рiвномiрну збiж-

нiсть ряду P1 un(x) на множинi X, якщо:

n=1

30. un(x) =

32. un(x) =

34. un(x) =

36. un(x) =

1

x2 + n2 , X = R;

sin nx, X = R; n!

cos(n2 + x3), X = R; 3n + x4

sin(x2 ¡ n), X = R; n3 + jxj

31.	un(x) =			n		, X = R;
		x	4		3
				+ n
33.	un(x) =	cos(x + n)							, X = R;
				2n
		sin(p
35.	un(x) =				nx)				, X = R;
		(2n)! + jxj
37.	un(x) =	cos(n7			+ x)						, X = R;
			n2 + x6

10

38.

un(x) =

1

, X = R;

39.

un(x) =

np

1

, X = R;

n2(1 + nx2)

n + x2

n

p

40.

un(x) = p

, X = R;

41.

un(x) =

n + 7

, X = R;

n5 + x4

n

5

+ jxj

x

n

xn

(3

)

p

42.

un(x) =

np

, X = [0; 31 ];

43.

un(x) =

, X = [¡1; 1];

n2

n + x

44.

un(x) =

e¡n2x2

, X = R;

45.

un(x) = p

2¡nx4

, X = R;

n2

n3 + x2

46.

arcctg(n x)

, X = R;

47.

arctg(n2x)

, X = R;

un(x) =

un(x) =

np

(n + jxj)2

n

u

(x) =

(¡1)n

X = (

2; +

)

48.

2n + x,

¡

1

;

n

49.

u

(x) =

(¡1)n

,

X = (

¡

2; +

1

)

;

n2 + x2

n

p

x

50.

un(x) =

x

, X = [0; +1);

51.

un(x) =

, X = R;

n3 + x

n4 + x2

52.

un(x) =

n x

, X = R;

53.

un(x) =

n x2

, X = R;

5

2

6

4

1 + n x

1 + n x

n2(x2n

+ 1)

xn

54.

un(x) =

xn p

, X = [21 ; 2]; 55. un(x) =

, X = [¡98; 89];

n!

n!

x2

x

56.

un(x) =

, X = [0; +1);

57.

un(x) =

, X = [0; +1);

enx

en2x

p

58.

un(x) = sin2

x

, X = [0; +1);

1 + n2x

59.

un(x) = arctg

2x

, X = R;

x

2

3

+ n

60.

un(x) = ln µ1 +

x2

¶, X = [¡5; 5];

1 + n ln2 n

11

61. un(x) =	n ln(1 + nx)	, X = [2; +1);
	xn

12