Задача 3. Векторы и простейшие действия над ними

1. В треугольнике АВС сторону АВ точками М и N разделили на три равные части: АМ = MN = NB. Найти вектор , если , .

2. В треугольнике АВС прямая АМ является биссектрисой угла ВАС, причем точка М лежит на стороне ВС. Найти , если , .

3. Радиусами-векторами треугольника АВС являются r₁, r₂ и r₃. Найти радиус-вектор точки пересечения медиан треугольника.

4. Найти длину вектора а = 20i + 30j – 60k и его направленные косинусы.

5. Найти ветор а = , если А (1; 2; 3) и В (5; 8; -1).

6. Дан треугольник АВС. На стороне ВС расположена точка М так, что . Найти , если , .

7. Дано , , . Доказать, что АВСD – трапеция.

8. Найти проекции вектора а на оси координат, если а = , А (0; 0; 1), В (3; 2 ;1), С (4; 6; 5) и D ( 1; 6; 3).

9. Найти длину вектора a = mi + (m + 1) j + m (m + 1) k. Показать, что треугольник АВС равносторонний.

10. Даны радиусы-векторы вершин треугольника АВС: r_A = i + 2j + 3k, r_B = 3i + 2j + k, r_C = i + 4j + k.

11. Вычислить модуль вектора a = i + 2j + k - и найти его направляющие косинусы.

12. Даны точки М₁ (1; 2; 3) и М₂ (3; -4; 6). Найти длину и направление вектора .

13. Дан вектор а = 4i – 2j + 3k. Найти вектор b, если b=a, b_y=a_y и b_x=0.

14. Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60⁰, а с осью Oz угол 45⁰; длина его r = 8. Найти координаты точки М, если абсцисса ее отрицательна.

Задача 4. Скалярное и векторное произведение. Смешанное произведение.

1. Найти скалярное произведение векторов а = 3i + 4j + 7k и b = 2i - 5j + 2k.

2. Даны векторы а = mi - 3j + 4k и b = 4i + mj - 7k. При каком значении m эти векторы перпендикулярны?

3. Найти (5а + 3b) (2a – b), если a = 2, b = 3, .

4. Определить угол между векторами а = i + 2j + 3k и b = 6i + 4j - 2k.

5. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор а = i + 2j + 2k.

6. Найти векторное произведение векторов а = 2i + 3j + 5k и b = i + 2j + k.

7. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а = 6i + 3j - 2k и b = 3i - 2j + 6k.

8. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1; 1; 1), В (2; 3; 4), С (4; 3; 2).

9. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a + 3b и 3a + b, если a = b = 1, .

10. Найти смешанное произведение а = 2i - j - k, b = i - 3j - k, с = i + j + 4k.

11. Показать, что векторы а = 2i + 5j + 7k, b = i + j - k, с = i + 2j + 2k компланарны.

12. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С (4; 5; 4) и D (5; 5; 6).

13. Вычислить (a – b) (b – c) (c- a).

14. Найти скалярное произведение векторов 3a – 2b и 5a – 6b, если a = 4, b = 6 и угол между векторами a и b равен .

15. Определить угол между векторами а = 3i + 4j + 5k и b = 4i + 5j - 3k.

16. При каком значении m векторы а = mi + j и b = 3i - 3j + 4k перпендикулярны?

17. Найти скалярное произведение векторов 2a + 3b + 4c и 5a + 6b + 7c, если a = 1, b = 2, c = 3, а .

18. Найти работу силы F на перемещение s, если F = 2, s = 5 а угол .

19. Найти единичный вектор, перпендикулярный к векторам а = i + j + 2k и b = 2i + j + k.

20. Векторы a, b, c имеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти вектор с, если а = i + j, b = j +k.

21. Даны векторы а = 2i + 2j + k и b = 6i + 3j + 2k. Найти пр_a b и пр_b a.

22. Даны радиусы-векторы трех последовательных вершин параллелограмма АВСD: : r_A = i + j + k, r_B = i + 3j + 5k, r_C = 7i + 9j + 11k. Определить радиус-вектор четвертой вершины D.

23. Показать, что а и b не могут быть перпендикулярными, если a  i > 0, a  j > 0, a  k > 0, b  i < 0, b  j < 0, b  k < 0.

24. Показать, что векторы а = i + j + mk, b = i + j + (m + 1)k и с = i - j + mk не при каком значении m не будут компланарными.

25. Могут ли отличные от нуля числа x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃, z₁, z₂, z₃ удовлетворять уравнениям: , ?

26. Найти векторное произведение векторов а = 2i + 5j + k и b = i + 2j - 3k.

27. Вычислить площадь треугольника с вершинами А (2; 2; 2), В (4; 0; 3) и С (0; 1; 0).

28. Найти смешанное произведение векторов а = i - j + k, b = i + j + k, с = 2i + 3j + 4k.

29. Показать, что векторы а = 7i - 3j + 2k, b = 3i - 7j + 8k, с = i - j + k компланарны.

30. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами А (0: 0; 1), В (3; 3; 5), С (6; 2; 3) и D (3; 7; 2).

31. В предыдущей задаче найти длину высоты пирамиды, опущенной на грань BCD.

32. Показать, что точки А (5; 7; -2), В (3; 1; -1), С (9; 4; -4) и D (1; 5; 0) лежат в одной плоскости.