экрана во время работы программы (данные, введенные пользователем, выделены полужирным шрифтом).
Вычисление суммы четных положительных чисел Введите количество суммируемых чисел – > 12 Сумма первых 12 положительных четных чисел равна 156
2.Вычислить значения функции y = 4x3 – 2x2 + 5 для значений х, изменяющихся от –3 до 1, с шагом 0,1.
3.Сберегательная касса начисляет 2% годовых (т. е. через год вклад увеличивается на 2% без участия вкладчика). Какой станет сумма (в руб.), положенная в сберкассу на N лет?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ОРГАНИЗАЦИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ЦИКЛОВ В ПРОГРАММЕ
Цели работы
1.Получение навыков в выборе и использовании операторов цикла.
2.Знакомство с итерационными процессами.
3.Вычисление суммы бесконечного ряда с заданной точностью.
Теоретический материал
1. Общие положения
Различают циклы с заданным и неизвестным числом повторений. К по-
следним относятся итерационные циклы, характеризующиеся последовательным приближением к искомому значению с заданной точностью.
Итерация [iteration] – это процесс вычислений, основанный на повторении последовательности операций, при котором на каждом шаге повторения используется результат предыдущего шага.
1.1. Способы задания последовательности
Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное действительное число: 1 → a1, 2 → a2, …, n → an, тогда имеем a1, a2, …, an и говорим, что задана числовая последовательность.
80
Имеем следующие способы задания последовательности:
1. Аналитический способ – задается формулой n-го члена ряда, напри-
мер: an = n n+1 . Получаем последовательность: 12 , 23 , 34 L n n+1.
2. Рекуррентный способ – это такой способ задания последовательности, когда любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие члены.
При этом способе задания последовательности указывают ее первый член (или несколько начальных членов) и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.
Пример: арифметическая прогрессия an+1 = an +d .
При a1 = 2, d = 0,5 получим ряд: –2, –1,5, –1, –0,5, 0, 0,5….
В математике суммы вида а1 + а2 + ... + аn + ... + ak, где ak – заданная числовая последовательность (k принадлежит N), называются числовыми рядами.
Конечные суммы S1 = а1, S2 = а1 + а2, ..., Sn = а1 + а2, ..., an называются
частичными суммами ряда.
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм S, то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся и суммы не имеет.
Ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные в некоторой области изменения аргумента х, называются функциональными:
s = f1(x) + f2 (x) +... fn (x) = ∑n f (x) .
i=1
Например: sinx + 1/2 sin2x + ... + 1/nsinx + ...
Придавая х какое-либо значение x0 из области определения функций
an(х), получим числовой ряд: f1(x0) + f2(x0) + ... + fn(x0) + ..., который может сходиться или расходиться.
Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды. Степенным рядом называется ряд вида
a0 + a1(x – a) + ... + an(x – a)n +...,
где а и коэффициенты ряда – постоянные. В частности, при а = 0 степенной ряд имеет вид: a0 + a1x + ... + anxn + ...
Приведенные начальные сведения из теории рядов будут использоваться в некоторых последующих примерах, так как суммирование рядов имеет учебную и практическую ценность.
Различают два основных вида суммирования:
–вычисление суммы первых п членов ряда;
–вычисление суммы ряда с наперед заданной точностью.
1.2. Вычисление суммы первых n членов ряда
Вычисление конечной суммы сводится к нахождению суммы заданного количества слагаемых.
81
Вычисление суммы организуется в виде циклического алгоритма, когда при каждом прохождении цикла номер слагаемого i увеличивается на единицу, а сумма изменяется на величину i-го слагаемого, т. е. si+1 = si + f (i) , где
si и si+1 – соответственно суммы слагаемых.
Цикл будет повторяться до тех пор, пока не будут вычислены все n слагаемых. Начальное значение суммы должно быть обнулено (S = 0). Вывод результата осуществляется по окончании цикла.
Задача 1
Вычислить сумму десяти членов ряда,
в котором a = |
1 |
|
, т. е. мы должны вычис- |
|
|||
|
|
|
|||||
n |
n4 |
|
|||||
10 |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
||
лить сумму ∑ |
|
. |
|
|
|
||
4 |
|
||||||
i=1 |
|
n |
|
||||
Составимблок-схемупрограммы(рис. 27). |
|
||||||
В алгоритме рекуррентное соотношение |
|
||||||
запишется так: s = s + |
1 |
. |
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
n4 |
|
|
PROGRAM Lab6_1; |
|
||||||
VAR |
|
|
|
|
|
|
|
n : Integer; |
|
||||||
S : Real; |
|
|
|
|
|
|
|
BEGIN |
|
|
|
|
|
|
|
S : = 0; |
|
||||||
For n : = 1 To 10 DO |
|
||||||
S : = S + 1/exp(4*ln(n)); |
Рис. 27. Блок-схема программы |
||||||
WRITELN('СУММА = ', S); |
вычисления суммы 10 членов ряда |
||||||
END.
1.3. Вычисление суммы бесконечного ряда
Вычисление суммы бесконечного ряда осуществляется с заданной точностью, которая определяется по члену ряда, который меньше некоторой величины ε. Заранее неизвестно, при каком члене ряда будет достигнута требуемая точность, поэтому это цикл с неизвестным количеством повторений. Выход из цикла осуществляется по достижении требуемой точности. Для вычисления результата используется прием накопления суммы (последовательное нахождение частичных сумм).
Вычисление закончим, когда |Sn + 1 – Sn| < = ε, что означает: |S1| < = ε, т. е. когда абсолютная величина очередного члена ряда станет не больше заданной точности вычислений.
82