9. Характеристическая функция и ее свойства.

Опред. Характеристической функцией случайной величины ξ называется мат ожидание случ. величины e^itξ

g(t)= M[e^itξ]

характеристическая функция при любых фиксированных t совпадает с мат ожиданием сл величины вида e^itξ.

-∞ ≤ t ≤+∞

Замеч.: Хар. ф-ция предст. соб. преобразование Фурье плотности f(x) cлуч. величины ξ.

Св-ва хар. функции:

1.│g(t)│≤ 1 при -∞ ≤ t ≤ +∞

док-во: i²= -1

e^itξ =cos (tx)+ i∙sin (tx)

ξ+iη

M[ξ] + i M[η]

│e^itx│² = cos² (tx) + sin² (tx)= 1

2. g(0)=1

e^itx=1

3.η=aξ+b , ξ-cл. величина, a,b- const, то g_η(t)=e^ibtg_ξ(at)

док-во: g_η(t)=M[e^i(aξ+b)]= e^itb M[e^itaξ]= e^ibtg_ξ(at)

4.Хар.ф-ция суммы двух независимых случайных величин произведению их характеристических функций.

Док-во: φ=ξ+η

g_η(t)=M[e^itφ]= M[e^it[ξ+η]]= M[e^itξ∙ e^itη ]= M[e^itξ]∙ M [e^itη ]=g_ξ(t) ∙ g_η(t)

5. если случайная величина ξ имеет абсолютный момент n- ого порядка, то хар. ф-ция величины ξ, дифференцируемая k раз, при n≤k, выглядит следующим образом:

g^(k)(0)=i^kM[ξ^k]

10. Мода и медиана. Квантиль

Модой дискретной случайной величины нзв наиболее вероятное ее значение.

Модой непрерывной случайной величины нзв такое значение, при котором плотность ее распределения достигаетmax. В случае симметрии мат. ожидание совпадает с модой и центром симметрии распределения, при условии что мат ожидание существует, а распределение является модальным. В общем случае мода и мат. ожидание не совпадают.

Медиана (Ме) рассматривается только для непрерывных случайных величин.

Ме случайной величины ξ нзв такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения сл. величины ξ.

P(ξ<Me)= P(ξ≥Me)

Квантилями уровня p ф-ции распределения F_ξ (x) нзв min значение x_p, при котором F(x) ≥p.

x_p= min{ x: F(x) ≥p } p(0;1)

Квантилью порядкаp нзв значение случайной величины x_p, левее которого на оси x лежит p-ая часть распределения.

F(x)= P (x<x_p)=p

Квантиль порядка 0,5 является медианой.

11. Основные дискретные распределения. Вырожденное распределение. Испытания Бернулли. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Теорема Пуассона.

Основные дискретные распределения

Говорят, что случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {a₁, a₂, …, a_n} такой, что: а) для всех i; б).

То есть случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Виды дискр.распр-ний: вырожденное распр., распр. Бернулли, биноминальное распр., геометрическое распр., распр. Пуассона, гипергеометрическое распр. и др.

Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с параметром а, если ξ принимает единственное значение а с вероятностью 1, то естьР(ξ=а)=1. Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	а
Р	1

Испытания Бернулли

Одинаковые, независ.между собой испытания, в каждом из к-рых рассматривается некотор.соб.А, наступающее с некотор.положит.вер-тью Р=Р(А)0, нзв испытаниями Бернулли. Само соб.А нзв успехом, а Ā – неудачей. р – вер-ть успеха; q – вер-ть неуспеха. q=1-р.

Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, если ξ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1-р, соответственно. Случайная величина ξ с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха р (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения ξ имеет вид

ξ	0	1
Р	1-р	р

Биноминальное распределение

Говорят, что случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0p1, если ξ принимает значения 0, 1,…, n с вероятностями . Случайная величина ξ с таким распределением имеет смыслчисла успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения ξ имеет вид

ξ – может быть представл в виде суммы независ-ых событий ξ_k.

ξ_k = 0 – неуспех

ξ_k =1 – успех

ξ= ξ₁+ ξ₂+…+ ξ_k

M[ξ_k]=P

D[ξ_k]=M[ξ_k ²]-[M[ξ_k]²]=p-p²=pq

=> M[ξ]=np

D[ξ]=npq

Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром , где >0, если ξ принимает значения 0, 1, 2… с вероятностями Таблица распределения ξ имеет вид

Ф-ция распределения:

где а – мат.ожидание

Замечание: распр Пуассона явл предельным, к кот-му → биноминальное распр при n→∞ и a=np=const.

Теорема Пуассона.

n – большое число испытаний

p – достаточно малая вер-ть

np – число успехов – значительно

a=np – среднее число успехов

Док-во:

р=a/n

Теорема: Пусть число исп-ий n →∞, а P→0, так что среднее число успехов np=a>0, тогда для любого k≥0 вер-ть получить k успехов в n исп-ях схемы Бернулли с вер-тью P по формуле:

n∞, P0, np=const>0, то