Елементи квантової фізики кристалів

Як уже зазначалося, будь-які макроскопічні властивості визначаються властивостями і колективним поводженням величезної кількості мікрочастинок, які містяться у порівняно невеликих, за нашими мірками, об'ємах речовини. Так, у 1 смтвердого тіла міститься атомів. У таких великих колективах природно очікувати проявустатистичних закономірностей. Деякі найпростіші з них ми вже вивчали. Наприклад, розподіл молекул ідеального газу за швидкостями описується статистичним розподілом Максвелла. Кристал – це далеко не ідеальний газ з його вільними молекулами. Між атомами кристала, як і між частинками, з яких складаються атоми, діють величезні сили взаємодії. Крім того, і це головне, мікрочастинки підпорядковані своїм особливим квантовим закономірностям.

А це означає:

• фізичні характеристики частинок можуть набувати тільки дискретних значень, вони «квантовані», а правила квантування залежать від характеру сил взаємодії;

• для квантових частинок існують співвідношення невизначеностей;

• на деякі квантові частинки поширюється принцип заборони Паулі;

• у квантових частинок виявляються хвильові властивості;

• квантові частинки, у принципі, не відрізняються одна від одної.

Як бачимо, один тільки перелік особливих властивостей квантових мікрочастинок може довести до відчаю.

Хоча, здавалося б, існує шлях розв'язання будь-яких квантових задач. Маємо рівняння Шредінгера, потрібно його розв'язувати і знаходити багаточастинкову хвильову функцію. Однак через величезну кількість частинок і складність взаємодії цей прямий шлях практично неможливо реалізувати навіть із залученням сучасних надпотужних обчислювальних машин. Тому доведеться вдатися до різних фізичних моделей, що відбивають певні основні закономірності. Так, дуже продуктивною для пояснення низки властивостей кристалів виявилася модель вільних електронів.

З'ясувалося також, що, вивчаючи енергетичні спектри електронів у кристалах, можна не тільки зрозуміти, чому одні кристали є діелектриками, а інші – напівпровідниками чи металами, а й розібратися в таких складних явищах, як надпровідність.

Багато квантових моделей виявилися доволі вразливими для критики, хоча й мали значні досягнення. Наприклад, при створенні теорії теплоємності кристалів А.Ейнштейн припустив, що всі атоми кристала здійснюють гармонічні коливання однакової частоти, і розглядав кристал як систему таких ідентичних квантових осциляторів. Здебільшого це дуже примітивна модель, але навіть вона дала змогу встановити правильну залежність теплоємності кристала від температури, чого не змогла зробити класична теорія з її ступенями свободи.

Поняття про квантові статистики

Елементи квантової статистики

Якщо кількість частинок у системі дуже велика, то можна й потрібно застосовувати імовірнісні або статистичні методи. Ці методи дають змогу з’ясувати доволі загальні й точні закономірності поводження великих ансамблів частинок. Згадаємо, як блискуче вдалося описати розподіл частинок ідеального газу за енергіями за допомогою розподілу Максвелла-Больцмана.

Ідея виявлення загальних закономірностей, як правило, справджується і для квантових частинок. Потрібно лише врахувати такі особливості.

1. На відміну від класичних частинок однакові квантові частинки (наприклад, електрони) принципово не відрізняються одна від одної. Заміна одного електрона іншим не змінює ймовірностей, не змінює квадрата модуля повної багаточастинкової хвильової функції. До того ж квадрат модуля хвильової функції залишається сталим, як для симетричної, так і для несиметричної хвильової функції.

2. Хвильові функції несиметричні у частинок з напівцілим спіном і симетричні для частинок із цілим спіном. Частинки з півцілим спіном мають підпорядковуватись принципу заборони Паулі, тобто в однаковому стані не може бути більше однієї частинки. На частинки з цілим спіном заборона Паулі не поширюється, і в одному стані може перебувати скільки завгодно частинок. Тому варто припустити, що статистичні закономірності для різних типів частинок мають бути різними. Справді, для частинок з півцілим спіном створено статистику Фермі-Дірака, а для частинок із цілим спіном – статистику Бозе-Ейнштейна.

3. Розмір елементарної комірки фазового простору для класичних частинок такий:

До того ж кожна з величин може набувати будь-яких малих значень, причому збільшення координат і збільшення імпульсу ніяк не пов’язані між собою.

Зовсім інша ситуація у квантових частинок. Координати й імпульси квантових частинок пов’язані співвідношеннями невизначеностей Гейзенберга:

Тому елементарна комірка фазового простору для квантових частинок не може бути меншою за :

4. Енергія класичної частинки може набувати неперервного ряду значень, тоді як енергія квантової частинки – тільки дискретного ряду значень.

З урахуванням усіх цих особливостей і було здобуто статистичні розподіли для квантових частинок. Наводимо їх без доведення.

Розподіл Бозе-Ейнштейна

Цьому розподілу підпорядковуються частинки з цілим спіном, такі як мюони, к-мезони, фотони. Вони не підпорядковуються правилу заборони Паулі, описуються симетричними хвильовими функціями, і в елементарній комірці фазового об’єму може міститися будь-яка кількість мікрочастинок. Такі частинки називаються бозонами.

Функція розподілу визначає середню кількість частинок у даному стані, або «заселеність» станів із даною енергією:

де – значення енергіїі-ї частинки; Т – абсолютна температура; k – стала Больцмана; – хімічний потенціал у розрахунку на одну частинку.

Нагадаємо, що хімічний потенціал – це робота в ізобарно-ізотермічних умовах при збільшенні кількості частинок у системі на одиницю. Формула для розрахунку хімічного потенціалу:

де U – внутрішня енергія системи; S – ентропія; Р – тиск; V – об’єм; N – кількість частинок.

Розподіл Фермі-Дірака

Цей розподіл підходить для частинок з напівцілим спіном, тобто для електронів, протонів, нейтронів. Такі частинки описуються несиметричними хвильовими функціями. В елементарній комірці фазового об’єму може перебувати тільки одна частинка. Частинки підпорядковуються правилу заборони Паулі і називаються ферміонами. Функція розподілу для них має вигляд:

.

Позначення в розподілі Фермі-Дірака такі ж, як і в розподілі Бозе-Ейнштейна.

Неважко побачити, що квантові і класичні розподіли дуже схожі. Більш того, їх можна записати у вигляді єдиної формули:

Для розподілу Максвелла-Больцмана ,; для розподілу Бозе-Ейнштейна, для розподілу Фермі-Дірака. На рис. 4.10 зображено всі три розподіли.

Виродження системи квантових частинок

Якщо мікрочастинки перебувають на великих відстанях одна від одної, сили взаємодії між ними мізерно малі. Частинки практично незалежні, і система таких частинок досить добре описується моделлю ідеального газу. Цій моделі відповідає розподіл Максвелла-Больцмана.

Зі збільшенням густини речовини і зменшенням температури відстані між молекулами зменшуються і сили взаємодії стають уже істотними. Надалі, коли відстані між частинками стають порівнянними з довжиною хвилі де Бройля, починає виявлятися квантовий характер взаємодії. Тепер уже частинки мають підпорядковуватись квантовим статистичним розподілам Бозе-Ейнштейна або Фермі-Дірака.

Відхилення поводження газу квантових частинок від класичного називається виродженням газу.

Неважко визначити межу або критерій того, що вже доведеться враховувати квантовий характер взаємодії частинок. Іншими словами, знайти межу виродження газу.

Візьмемо, наприклад, розподіл Фермі-Дірака і запишемо його в такому вигляді:

Якщо величина

<< 1,

то одиницею у функції розподілу можна знехтувати, і тоді розподіл Фермі-Дірака перетворюється на розподіл Максвелла-Больцмана:

Величину А називають параметром виродження:

,

де – концентрація частинок;m – маса частинки; k – стала Больцмана; – стала Планка;Т – абсолютна температура.

Знаючи А, можна обчислити температуру виродження , тобто температуру, при якій виродження стає істотним. Для цього потрібно взяти, і тоді

Для водню , для фотонного газу, для електронного газу в металі. Тому звичайні гази за нормальних умовневироджені, а фотонний газ і газ вільних електронів у металі вироджений.