5.4. Основные вычислительные алгоритмы.

Алгоритмические (или вычислительные) процессы обработки данных делятся на виды:

- линейные,

- ветвящиеся,

- циклические.

Линейным называется такой вычислительный процесс, в котором самостоятельные этапы вычислений выполняются в последовательности их записи, т.е. в естественном порядке.

Каждая операция является самостоятельной, независимой от каких-либо условий.

Линейные вычислительные процессы имеют место при вычислении арифметических выражений.

Пример 1:

Ветвящимся называется такой процесс, в котором его реализация происходит по одному из нескольких заранее предусмотренных (возможных) направлений в зависимости от исходных условий или промежуточных результатов. Каждое отдельное направление вычислений в таком процессе называется ветвью вычисления. Выбор осуществляется проверкой выполнения логического условия.

В каждом конкретном случае обработки данных вычислительный процесс выполняется лишь по одной ветви, а выполнение остальных – исключается.

Ветвящийся процесс, включающий в себя две ветви, называется простым, более двух ветвей- сложным. Сложный ветвящийся процесс можно представить с помощью простых ветвящихся процессов.

Направления ветвления выбирается логической проверкой, в результате которой возможны два ответа: «да» - условие выполнено, «нет» -условие не выполнено.

Любая ветвь, по которой осуществляются вычисления, должна приводить к завершению вычислительного процесса.

Пример 2:

При реализации алгоритмов многих задач наблюдается многократное повторение отдельных этапов их вычислительного процесса. Такие многократно повторяемые этапы вычислений называются циклами, а вычислительные процессы, содержащие многократно повторяемые этапы называются циклическими.

Пример 3:

У=X²⁰

5.5. Анализ алгоритмов

Целью анализа трудоемкости алгоритмов является нахождение оптимального алгоритма для решения данной задачи. В качестве критерия оптимальности алгоритма выбирается трудоемкость алгоритма, понимаемая как количество элементарных операций, которые необходимо выполнить для решения задачи с помощью данного алгоритма. Функцией трудоемкости называется отношение, связывающие входные данные алгоритма с количеством элементарных операций.

Трудоёмкость алгоритмов по-разному зависит от входных данных. Для некоторых алгоритмов трудоемкость зависит только от объема данных, для других алгоритмов — от значений данных, в некоторых случаях порядок поступления данных может влиять на трудоемкость. Трудоёмкость многих алгоритмов может в той или иной мере зависеть от всех перечисленных выше факторов.

1. Сравнительные оценки алгоритмов

При использовании алгоритмов для решения практических задач мы сталкиваемся с проблемой рационального выбора алгоритма решения задачи. Решение проблемы выбора связано с построением системы сравнительных оценок, которая в свою очередь существенно опирается на формальную модель алгоритма.

Будем рассматривать в дальнейшем, придерживаясь определений Поста, применимые к общей проблеме, правильные и финитные алгоритмы, т.е. алгоритмы, дающие j-решение общей проблемы. В качестве формальной системы будем рассматривать абстрактную машину, включающую процессор с фонНеймановской архитектурой, поддерживающий адресную память и набор «элементарных» операций соотнесенных с языком высокого уровня.

В целях дальнейшего анализа примем следующие допущения:

- каждая команда выполняется не более чем за фиксированное время;

- исходные данные алгоритма представляются машинными словами по β битов каждое.

Конкретная проблема задается N словами памяти, таким образом, на входе алгоритма - N_β=N•β бит информации. Отметим, что в ряде случаев, особенно при рассмотрении матричных задач N является мерой длины входа алгоритма, отражающей линейную размерность.

Программа, реализующая алгоритм для решения общей проблемы состоит из М машинных инструкций по β_м битов - М_β=М•β_м бит информации.

Кроме того, алгоритм может требовать следующих дополнительных ресурсов абстрактной машины:

- S_α— память для хранения промежуточных результатов;

- S_γ— память для организации вычислительного процесса (память, необходимая для реализации рекурсивных вызовов и возвратов).

При решении конкретной проблемы, заданной N словами памяти алгоритм выполняет не более, чем конечное количество «элементарных» операций абстрактной машины в силу условия рассмотрения только финитных алгоритмов. В связи с этим введем следующее определение:

Под трудоёмкостью алгоритма для данного конкретного входа - F_α(N), будем понимать количество «элементарных» операций, совершаемых алгоритмом для решения конкретной проблемы в данной формальной системе.

Комплексный анализ алгоритма может быть выполнен на основе комплексной оценки ресурсов формальной системы, требуемых алгоритмом для решения конкретных проблем. Очевидно, что для различных областей применения веса ресурсов будут различны, что приводит к следующей комплексной оценке алгоритма:

Ψ_A=С₁ • F_α(N)+ С₂ •М+ С₃ •S_α+ С₄ • S_γ, где С_i - веса ресурсов.