Прикладная механика (1 часть)

Задача 2. Равновесие тела под действием плоской системы сил

На горизонтальную балку пролетом AB = l действует сосредоточенная

сила P , пара сил с моментом m и равномерно распределѐнная нагрузка интенсивностью q. Определить реакции опор в точках A и B, пренебрегая весом балки и стержня BC.

Схемы к задаче приведены на рис. 2, численные данные – в табл. 2.

													Таблица 2
	3-я цифра шифра		2-я цифра шифра						1-я цифра шифра		2-я цифра шифра
Цифры				l			l		углы, град		P,	m,		q,
шифра	номер
		l, м									кН	кНм		кН / м
	схемы			a1			a2
1	I	2	10				2		30	30	1	10		2
2	II	4	8				4		45	45	2	9		4
3	III	6	6				6		60	60	3	8		6
4	IV	8	4				8		90	30	4	7		8
5	V	10	2				10		120	45	5	6		10
6	VI	2	10				2		135	60	6	5		2
7	VII	4	8				4		150	30	7	4		4
8	VIII	6	6				6		30	45	8	3		6
9	IX	8	4				8		45	60	9	2		8
0	X	10	2				10		60	30	10	1		10

11

I

A

III

A

V

VII

			В

IX

II

p

m

p

m

q

q

В

A

В

а1

а2

а1

а2

l

l

C

m

а2

IV

m

q

q

p

p

q

В

В

Aа2

а1

а1

l

C

C

l

VI

m

p

p

m

q

q

В

A

В

A

а2

а

а

а1

1

2

l

l

VIII

q

A

m

q

p

m

A

В

а1

а2

p

а1

а2

С

l

l

X

q

p

m

m

q

A

В

A

В

p

а1

а2

а2

C

C

а1

l

l

Рис. 2

12

Пример выполнения задачи 2

Задача 2 относится к равновесию тела (балки) под действием плоской

системы сил. Для определения реакций опор необходимо составить три

уравнения равновесия для балки, приложив к ней активные (заданные) силы и

силы реакций связей (опорные реакции).

При вычислении момента силы Р относительно выбранной точки иногда

бывает удобно разложить эту силу на две составляющие и найти момент силы

Р как сумму моментов этих составляющих.

Распределенная нагрузка, приходящаяся на единицу длины, называется

интенсивностью нагрузки и обозначается обычно буквой q. Равнодействующая

распределенной нагрузки равна грузовой площади (площади эпюры нагрузки) и

приложена в центре тяжести этой площади.

Рассмотрим вариант решения задачи 2, соответствующей условному

шифру 000. Схема балки с указанием численных значений заданных величин из

таблицы 2 приведена на рисунке 2.1.

y

a1=5 м

10 м

m=1 кНм

kH

q 10 м

P

R

A

R

H

P

R

x

k

a2=1 м

0

1

o

=

60

γ

P

R

R

300

R

Рис. 2.1.

Для решения этой задачи условия равновесия удобнее принять в

следующей форме:

n

1) M A (Fs )

0,

s 1

n

2) M B (Fs )

0,

s 1

n

3)

Fsx

0.

s 1

Записывая эти условия для данной задачи, получим три уравнения,

которые содержат по одной неизвестной. Решаем их.

1)

P a m q а

2

(

а2 ) R

Ву

0 , где P Р cos60 ,

y

1

2

y

R

Ву

1 P cos60 a qa

a2 m

1 10 1 5 10 1

10

1 1 11,9 кН

1

2

2

2

10

2

Так как направление реакции стержня ВС известно, то

13

R

RВу

=

11,9 2

=13,7кН,

В

cos30

3

R

= R

tg30 =11,9

3

=6,87кН

Вх

Ву

3

2) P ( a ) R

m q a

a2

0,

Ау

2

y

1

2

1

a2

q

a22

1

1

10

5 10

1

RАy

P cos60

m

10

1

6,9 кН.

2

10

2

2

3) P - R

Ах

- R

Вх

=0, где

P

= P sin 60 ,

х

х

RАх = P sin 60 - RВх

=10

3

-11,9

3

=

6,2

3

=1,79кН

2

3

6

Сила реакции связи в точке А равна

R

А

R2

R2

= 1,792 6,92 =7,13кН

Аx

Аy

и направлена под углом

к вертикали

cos

RАy

=

6,9

=0,968, =14,5о .

RА

7,13

14

Задача 3. Равновесие вала под действием пространственной системы сил

Условие №1. На горизонтальный вал, который может вращаться в подшипниках A и B, насажены два шкива. Радиусы шкивов равны r1 =12 см,

r2 =16 см; ветви ремней каждого шкива параллельны между собой и образуют соответственно углы 1 с горизонталью и 2 с вертикалью. Пренебрегая

весами шкивов и вала, найти натяжения ведущей и ведомой ветви ремня, а также реакции подшипников при равновесии вала.

Примечание. Натяжение ведущей ветви ремня принять вдвое больше натяжения ведомой (T1 2t1 , T2 2t2 ).

Условие №2. На горизонтальный вал насажены два колеса с радиусами

r1 =12 см, r2 =16 см и прикреплѐн перпендикулярно оси вала горизонтальный

рычаг CD длиной l=20 см. К одному колесу приложена сила F , образующая с горизонталью угол 1 , а к другому – сила T2 , образующая с вертикалью угол2 ; к рычагу приложена вертикальная сила P . Пренебрегая весами вала, колѐс

и рычага, определить силу P , при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников A и B.

Условие №3. На горизонтальный вал насажено колесо радиуса r1 =12 см и прикреплѐн перпендикулярно оси вала рычаг CD длиной l =20 см, образующий

с горизонтальной плоскостью угол 2 . Верѐвка, намотанная на колесо и

натягиваемая грузом F , сходит с него по касательной, наклонѐнной под углом

1 к горизонту. Пренебрегая весами вала, колеса и рычага и трением в блоке,

определить вертикальную силу P , при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников A и B.

Схемы к задаче приведены на рис. 3, численные данные – в табл. 3. Таблица 3

	3-я цифра шифра		2-я цифра шифра			1-я цифра шифра		1-я цифра шифра
Цифры
			Расстояния, м			Углы, град			Силы, Н
шифра	номер	номер
	условия	схемы
			a	b	c	1	2	F		T2
1	1	I	1,0	1,0	1,0	0	60	800		100
2	1	II	1,2	1,2	1,2	30	45	900		200
3	1	III	1,4	1,4	1,4	45	30	1000		300
4	2	IV	1,6	1,6	1,6	60	0	1100		400
5	2	V	1,5	1,5	1,5	30	60	1200		500
6	2	VI	1,0	1,0	1,0	45	30	800		100
7	2	VII	1,2	1,2	1,2	60	45	900		200
8	3	VIII	1,4	1,4	1,4	30	0	1000		300
9	3	IX	1,6	1,6	1,6	45	60	1100		400
0	3	X	1,8	1,8	1,8	60	30	1200		500

15

2

2

z

z

Т2

Т2

I

t2

В

II

t2

A

r2

A

В

1

r

1

r2

r

у

у

1

1

t1

t1

х

Т1

х

Т1

а

в

c

а

в

c

2

2

z

z

Т2

Т2

III

В

t2

IV

A

A

В

1

r2

у

C

1

r2

у

r

r

D

1

1

t1

х

а Т1

в

c

х

в F

Р

а

c

а

2

z

z

Т2

2

Р

V

VI

Т2

A

В

A

В

D

C

1

r2

у

F

r1

r2

r

у

D

1

C

1

х

Р

а F

в

c

а

х

а

в

c

а

z

Р

z

2

VII

Т2

VIII

Р

D

1

A

В

r2

1

A

В

1

F

r

у

r

2

у D

1

C

C

F

х

а

в

c

а

х

а

в

c

z

1

Р

z

Р

IX

D

X

D

2

2

F

1

A

r1

В

A

В

r1

у

у

C

F

C

х

а

в

c

х

а

в

c

Рис. 3

16

Пример выполнения задачи 3

В задаче 3 рассматривается равновесие тела (вала) под действием системы сил, произвольно расположенных в пространстве. При решении этой задачи, так же как и в двух предыдущих, следует заменить наложенные на тело связи их реакциями. Для определения искомых величин надо составить шесть уравнений равновесия.

Следует иметь в виду, что при нахождении проекции силы на ось часто бывает проще сначала найти ее проекцию на координатную плоскость, в которой расположена эта ось, а затем найденную проекцию спроектировать на данную ось. Точно так же при определении момента силы относительно оси нередко бывает удобно разложить силу на взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых параллельна какой-нибудь координатной оси.

Решим, для примера, вариант задачи 3, соответствующий условному шифру 000. Схема вала с указанием численных размеров заданных величин из таблицы 3 приведена на рис. 3.1.

z

a=1,8 м в=1,8 м с=1,8 м

Р

F

Р

RВZ

D

RВ

R

RВ

D

60

o

ВZ

19o

A

B

RВ

30

o

R

30o

C

60o

C

y

x

45o

R

R

В

x

R

R

R

F=1,2 kH

R

Рис. 3.1.

К валу	кроме	силы	Р ,	приложенной к					рычагу CD, приложена сила
натяжения веревки, равная весу груза F						,	так как по условию задачи, трения в
блоке нет. Реакции подшипников					RA	и		RB , расположенные в плоскостях,
перпендикулярных		оси	y,	разложим				на		взаимно	перпендикулярные
составляющие	соответственно				RAx ,		RAz		и	RBх ,	RBz . Направление

составляющих выбирается произвольно.

Составляя условия равновесия для вала, получим шесть уравнений, из которых одно выполняется тождественно.

1)Fsx 0, RAх - RBx + F cos60 0;

2)Fsy 0,

3)Fsz 0, - RAz + RBz + F sin 60 P 0;

4)M x (Fs ) 0, RBz a + F sin 60 (a b) P (a b c) 0;

17

5) M y (Fs )

0,

F r P cos30

0, где r=0,12м, =СА=0,2м;

6) M z (Fs )

0,

RBх a F cos 60

(a b) 0.

Из (6) R

= F cos60

(1

b

) 1,2

1

(1 1) 1,2 кН

Bх

a

2

Из (5) Р F

r

1,2

0,12

2

0,83кН

cos30

0,2

3

Из (4) R

P (1

b

c

) F cos30 (1

b

) 0,83 3 1,2

3

2 0,42 кН

Bz

a

a

a

2

Из (3) R

R

F cos30

P 0,42 1,2

3

0,83 0,63кН

Az

Bz

2

Из (1) R

R

F cos60

1,2 1,2

1

0,6кН

Aх

Bх

2

Силы реакций подшипников и их направление

R

A

R2

R2 =

0,62 0,632

0,87 кН,

Aх

Az

^

0,60

cos(R

i )

RAх

0,690

(46,4о);

А,

RA

0,87

R

R2

R2 =

1,22 0,422

1,27 кН,

В

Вх

Вz

^

RВх

1,20

о

cos(RВ ,

i )

0,945

(19,1 ).

RВ

1,27

Задача 4. Определение центра тяжести плоской фигуры

Определить положение центра тяжести плоской фигуры.

Схемы к задаче приведены на рис. 4, численные данные – в табл. 4.

			Таблица 4
	3-я цифра шифра	2-я цифра шифра	1-я цифра шифра
Цифры
шифра
	номер схемы	а, см	b, см
1	I	10	10
2	II	20	20
3	III	30	30
4	IV	40	40
5	V	50	50
6	VI	60	60
7	VII	70	70
8	VIII	80	80
9	IX	90	90
0	X	100	100

18

I		в	II	,2 а		в
				0
			а	0 ,4 в		0 ,4 в	а
а
,2 а							0 ,2
0
0 ,3в		0 ,3в
III		,3а	IV	0 ,3в	0 ,2 в
		0
а							,2 а
		,1а						а
		0					0
0 ,4 в		0 ,2 в				в
V	в		VI		0 ,3в
	в
		0 ,2 а		а
0 ,2 в		а					0 ,3а
						в	0 ,2 а
VII		а	VIII
		0 ,2
0 ,2 в	0 ,2 в
				0 ,2 в		0 ,2 а		а
			а
	в	а				в
		0 ,3					а
IX			X				0 ,2
	0 ,2 в	0 ,2 в		0 ,3в 0 ,1в
	0 ,3а	а				,4 а	а
						0
	в					,2 а
					в
						0
			Рис. 4
			19

Пример выполнения задачи 4

Для решения задачи 4 следует мысленно разбить плоскую фигуру на такие части, положения центров тяжести которых известны или легко могут быть определены. При этом часто бывает удобно заменить данную фигуру не суммой, а разностью отдельных еѐ частей. Следует помнить, что вычисления можно существенно упростить удачным выбором осей координат.

В качестве примера решим задачу 4 по варианту, соответствующему условному шифру 000. Для этого шифра из последней строки таблицы 4 принимаем: схема X, a =100 см, b 100 см.

y 0,3в 0,1в
с2	α
с3	0,4	α
с1	α
О1	0,2	x
в
Рис. 4.1

Представим данную фигуру (рис. 4.1), состоящей из 3-х частей: 1-я часть

– прямоугольник (0,5bx0,2a), 2-я часть – прямоугольник (0,1bx0,8a), третья часть – треугольник. Возьмем систему декартовых координат xOy. Для расчета координат центра тяжести составим таблицу.

Номер

xi

yi

Ai

Six Ai yi

Siy Ai xi

части

1

0,5b

0,1a

0,2ab

0,02a2b

0,1ab2

2

0,35b

0,6a

0,08ab

0,048a2b

0,028ab2

3

0,6b

0,33a

0,12ab

0,04a2b

0,072ab2

0,4ab

0,108a2b

0,2ab2

x

Siy

0,2ab2

0,5b 50 см;

c

Ai

0,4ab

y

Six

0,108a2b

0,27a 27 см.

c

Ai

0,4ab

20