Прикладная механика (1 часть)

Задача 5. Кинематика точки

Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах x f1 (t) ,

y f2 (t) , z f3 (t) (x, y, z в см, t в с). Определить величину и направление скорости и ускорения точки и радиус кривизны траектории в момент времени t1 .

Примечание. При определении скорости, ускорения и радиуса кривизны траектории для упрощения вычислений использовать значения проекций скорости и ускорения для заданного момента времени.

Численные данные приведены в табл. 5.

										Таблица 5
Цифры	3-я цифра	2-я цифра				1-я цифра				2-я цифра
	шифра	шифра				шифра				шифра
шифра
	x f1 (t) , см	y f2 (t) , см				z f3 (t) , см				t1 , с
1	t 3 1	sin t				sin 2 t				1
2	2t 2 2	cos t				cos 2 t				2
3	3t 3	sin	t			sin 2 t				3
				2				2
4	t 3 4	cos			t		2		t	1
				2		cos		2
5	3t 2 5	sin			t	sin	2		t	2
				3				3
6	4t 6	cos			t		2		t	3
				3		cos		3
7	t 3 7	sin			t	sin	2		t	1
				4				4
8	4t 2 8	cos			t		2		t	2
				4		cos		4
9	5t 9	sin			t	sin	2		t	3
				6				6
0	t 2 10	cos			t		2		t	1
				6		cos		6

21

Пример выполнения задачи 5

Задача 5 относится к кинематике точки. Для определения скорости и

ускорения точки следует определить их проекции на координатные оси. Зная

и a , найти касательное и нормальное ускорение точки, а также радиус

кривизны траектории.

В качестве примера решим задачу 5 по варианту, соответствующему условному шифру 000. По таблице 5 принимаем уравнение движения точки в

декартовых координатах:																											x t 2 10 , y cos															t					, z cos2					t		, t 1с.
																																										6
																																																			6
1. Определим проекции скорости на оси декартовой системы координат в
данный момент времени t 1с.
x x 2t , x																			t 1c 2 см/с;
	y				y sin t ,																						y			t 1c			sin															0,262 см/с;
											6									6															6		6					12
z					z 2											cos						t					sin						t								t				sin				t						t
											6												6										6				3		cos		6								6		6		sin		3	,
								sin
	z				t 1c																												3					3 0,453 см/с.
										6									3								6					2				12
2. Модуль скорости точки в данный момент времени равен
2 2																					2								22 0,2622								0,4532											2,067 см/с.
								x					y								z
3. Направление вектора скорости в данный момент определяется углами
														x									2						0,968 (14,60),
cos(							,i )
																				2,067
															y					0,262											0,127 (97,30),
cos(							, j )
																					2,067
															z					0,453																	(102,70).
cos(							, k )																								0,219
																					2,067
4. Определим проекции ускорения на оси декартовой системы координат
в данный момент времени t 1с.
ах x x 2 , аx																									t 1c 2 см/с2;
аy y									y												2								t										2			3											2
																							cos									,	ay															0,237 см/с ;
																			36											6					t 1c				36			2
a									z																	cos						t				2	cos			t		,
	z							z											3				6									3				18				3
										2																					2										2
az					t 1c					18					cos						3									36			0,274 см/с .

5. Модуль ускорения точки в данный момент времени равен a ax2 a2y az2 22 0,237 2 0,2742 2,032 см/с2.

6. Направление вектора ускорения в данный момент определяется углами

22

					a		x				2					0,984 (10,20),
cos(a,i )
						a					2,032
						ay						0,237					0,117			(96,7				0	),
cos(a, j )
						a					2,032
						a		z				0,274					0,135			(97,70).
cos(a, k )
						a					2,032
7. Радиус кривизны траектории определим из формулы an																														2
																																, где an
– проекция ускорения на нормаль (нормальное ускорение точки).																													a2		a2 a2		,
																														n
где a – проекция ускорения на касательную (касательное ускорение точки)
														d			d										x ax y ay z az	.
									a										2 2 2
														dt			dt		x			y			z
В данный момент времени касательное ускорение точки равно
a		2 2 0,262 0,237 0,453 0,274																						2,025 см/с2,
											2,067
а радиус кривизны траектории равен
				2												2,067 2						25,4 см.
			a2	a			2						2,032 2 2,0252

23

Задача 6. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Условие №1. По заданному уравнению вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси f1 (t) определить:

1)угловую скорость и угловое ускорение тела в момент времени t1 ;

2)скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси, в момент времени t2 ;

3)число оборотов N тела за время t3 .

Условие №2. Диск, вращающийся равноускоренно вокруг неподвижной оси, в моменты t1 и t2 имеет угловые скорости 1 и 2 соответственно.

Определить:

1)скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси, в момент времени t2 ;

2)число оборотов N тела за время t3 ;

3)уравнение вращательного движения диска, если при t0 =0, 0 =0.

Условие №3. Тело, вращаясь равноускоренно с угловым ускорением , имеет в момент времени t1 угловую скорость 1 . Определить:

1)скорость и ускорение точки тела, отстоящей на расстоянии h от оси, в момент времени t2 ;

2)число оборотов N тела за время t3 ;

3)уравнение вращательного движения тела, если при t0 =0, 0 =0.

Численные данные приведены в табл. 6.

														Таблица 6
		3-я цифра шифра										2-я цифра		1-я цифра
												шифра		шифра
Цифры		f1 (t) ,		1 ,			2 ,			,
шифра	Номер			рад			рад			рад		t1 , с	t2 , с	t3 , с	h , см
	условия	рад
										с 2
				с			с
1	1	t 3 sin t		-			-			-		0,5	3	1	10
2	1	2t 2 cos t		-			-			-		1,0	4	2	15
3	1	3t sin 2 t		-			-			-		1,5	5	3	20
		2
4	1	4t cos2 t		-			-			-		2,0	6	4	25
		2
5	2	-		50			65			-		2,5	7	5	30
6	2	-		55			70			-		0,5	3	6	35
7	2	-		60			75			-		1,0	4	7	40
8	3	-		20			-			1,0		1,5	5	8	45
9	3	-		30			-			1,5		2,0	6	9	50
0	3	-		40			-			2,0		2,5	7	10	55

24

Пример выполнения задачи 6

Взадаче 6 рассматривается одно из простейших движений твердого тела

–вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вкачестве примера решим задачу 6 по варианту, соответствующему условному шифру 000. По таблице 6 принимаем условие №3: Тело, вращаясь

равноускоренно с угловым ускорением =2 рад , имеет в момент времени

с 2

t

=2,5 с угловую скорость

=40

рад

.

1

1

с

1) При равноускоренном вращении угловая скорость тела изменяется по

закону =

0

t

отсюда

0

t 40 2 2,5 35

рад

– угловая скорость

1

1

1

1

с

тела при

t =0. В момент времени t2 =7с угловая скорость тела будет равна

2

35 2 7 49

рад

.

с

Скорость и ускорения a точки М тела, отстоящей на расстояние h =55

см (рис. 6.1), в момент времени t2 =7 с будут равны

2 h 49 55 2695 см с 26,95 м с ,

a h

4 2 55

494 22

132100 см с2

1321 м с2 .

2

показано на рис. 6.1.

Направление векторов

и a

	аос
а			О h
		авр	М
		ε	ω
	V

														Рис. 6.1.
			2)		Число			оборотов			тела		за время t3 =10с определим по формуле
		t						n(t) (t)				1
	N n(t)dt , где												(0 t) – число оборотов тела в секунду в
												2
		0								2
	данный момент времени t .
	N	10	1		(		t)dt		1	(35 10 2				102	) 71,6 оборотов. а
						0
				2					2				2
		0

25

3) Уравнение вращательного движения получим из равенства (t) ddt .

Разделив переменные, получим дифференциальное уравнение d (t) dt , интегрируя с учетом начальных условий t0 0 , 0 0 , получим

	t		t	2
d (0		t)dt , 0t			35t t 2 рад.
0	0	2

Задача 7. Сложное движение точки

Точка М движется по диску (на схемах I, III, IV по хорде, на схемах II, V, VII, VIII, IX по диаметру, на схемах VI, X по ободу) согласно закону S AM f (t) . Диск вращается вокруг неподвижной оси: на схемах I, II, VI,

VII, IX – вокруг оси, проходящей через точку O1 и перпендикулярной плоскости диска; на схемах III, IV, V, VIII, X – вокруг оси O1 O2 , лежащей в

плоскости диска, в направлении, указанном стрелкой, с угловой скоростьюconst . Определить абсолютную скорость точки М в момент времени t1 .

Примечание. Точка М изображена на рисунке в области положительных s ( s >0).

Схемы к задаче приведены на рис. 7, численные данные – в табл. 7.

												Таблица 7
	1-я цифра шифра					2-я цифра шифра				3-я цифра шифра
Цифры	S AM f (t) ,		t1	,		,						Номер
шифра						рад		R, см	а, см		, град
	см		с									схемы
						с
1	30sin t		1			0,1		60	10		-	I
2	2(t 2 t)		2			0,2		70	15		30	II
3	10(1 cos t)		3			0,3		80	20		-	III
	2
4	8t		4			0,4		60	25		-	IV
5	40sin t		5			0,5		70	-		45	V
	3
6	20(cos t 1)		1			0,1		80	30		-	VI
	4
7	5(t sin t)		2			0,2		60	10		-	VII
	2
8	30sin t		3			0,3		70	15		-	VIII
	6
9	2t 2		4			0,4		80	20		60	IX
0	6t sin t		5			0,5		60	-		-	X
	3

26

I	А			II
					М
		М
	О		а	А		О
			а			а
	О1				О1

III	О1		IV	О1
А	М	а	О	М
О				А
	О2		О2	а
V	О1		VI
				М
			О	А
	М
	А		О1	а
	О2

VII

А М

а

О1

IX
		А
		М

а	О1

VIII		М
		А
О1	а	О2
X	О1
		М
	О	А
	О2

Рис. 7

27

Пример выполнения задачи 7

Задача 7 относится к сложному движению точки. Для определения абсолютной скорости точки необходимо найти относительную и переносную скорости и воспользоваться теоремой параллелограмма скоростей.

В качестве примера решим задачу 7 по варианту, соответствующему условному шифру 000. По таблице 7 принимаем следующие условия:

AM S(t) 6t sin t , t	1	=5с, =0,5	рад	, схема Х (рис. 7.1).
3			с

		О1	V абс
		V отн
	R	О A	V пер
		α M
	N

О2

Рис. 7.1.

1. Определим положение точки М в заданный момент времени t1 =5с.

					0
				30sin 300		15 3 см.
	AM 6 5 sin		5
		3

2. Определим центральный угол и отрезок MN
											AM				1800				5 3 1800									24,80 ,
											R									60
								MN R cos 60 cos24,80 54,5см.
3. Модуль относительной скорости отн																										точки						М в данный момент
времени t1 =5с равен
				ds t			6sin t 6t cos t 6sin t 2t cos t ,
	отн
					dt			3				3				3							3										3
																							3								1
	отн		t 5c		6sin			5 10 cos										5		6						10							10,5 см с .
							3								3								2								2
Вектор относительной скорости отн																				направлен по касательной к дуге АМ
в сторону возрастания дуговой координаты, так как																											ds t						0 (рис. 7.1).
4. Модуль переносной скорости пер																												dt			t 5с
																				точки М, как вращательной скорости

вместе с диском вокруг неподвижной оси О1О2 , определяется равенством

28

пер

MN 0,5 54,5 27,25 см с .

Вектор переносной скорости пер

перпендикулярен плоскости диска и

направлен в сторону вращения.

5. Модуль абсолютной скорости абс

точки М определим из равенства

^

2

2

2

)

10,52 27,252 29,2 см с .

абс

cos(

отн

,

пер

отн

пер

отн пер

Вектор абсолютной скорости abc

направлен

по

диагонали прямоугольника,

построенного по равенству

abc пер отн .

Задача 8. Плоскопараллельное движение твердого тела

Кривошип ОА=r вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью и приводит в движение шатун АВ=l и ползун В. Для заданного положения механизма найти скорость и ускорение ползуна В.

Примечание. Если данные таковы, что шатун окажется перпендикулярным направляющей ползуна (схемы I, VI), то вместо заданного угла следует принять =150.

Схемы к задаче приведены на рис. 8, численные данные – в табл. 8.

								Таблица 8
	3-я цифра шифра				2-я цифра шифра		1-я цифра шифра
Цифры
	номер		,				углы, град
шифра
			рад		r, см	l, см
	схемы
			с
1	I		10		20	30	30	60
2	II		9		24	36	45	30
3	III		8		30	40	60	45
4	IV		7		36	48	30	15
5	V		6		40	50	45	60
6	VI		5		48	56	60	15
7	VII		4		50	60	30	45
8	VIII		3		56	64	30	30
9	IX		2		60	70	45	15
0	X		1		64	80	60	60

29

I A

О

III

	О

В

   

A

В

 

 

 

 

 

II		A
						В
	О

IV		A
О

В

V		A
					В
	О

VII					A
О
				В
IX			В
					A

О

VI	A
	О
				В
VIII				В
			A
	О
X				В
					A
	О

Рис. 8

30