РАЗДЕЛ. II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 4. Вычисление производных

4.1. Типовые примеры Пример 4.1.1. Найти производные функций

а) y =(x2 + sin x) ex ; б) y =	1 − 2x3 .
	ln x

а) Пользуясь правилом дифференцирования произведения и таблицей производных, получим

y′ =(x2 + sin x)′ ex + (x2 + sin x) (ex )′ = (2x + cos x) ex + +(x2 + sin x) ex = ex (2x + x2 + sin x + cos x).

б) Пользуясь правилом дифференцирования частного, получим

	(1 − 2x3 )′ ln x −(1 − 2x3 ) (ln x)′		−6x2	ln x −	1		− 2x3
y′ =		=					x		=
	ln2 x			ln2 x

=−6x3 ln x −1 + 2x3 .

xln2 x

Пример 4.1.2. Найти уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y = x2 −3x + 3	в точке с абсциссой x = 2 .
		0
Решение. Найдем вторую координату точки
	y = f (x ) = 22 −3 2 + 3 =1
	0	0
и производную функции y′ = 2x −3 в точке
		′
		y (2) = 2 2 −3 =1.
Следовательно, угловые коэффициенты касательной и нормали равны
		1
	kкас. = y′(2) =1, kнор. = −			= −1.
			′

y (2)

Уравнение касательной имеет вид

y −1 =1 (x − 2) y − x +1 = 0 ,

уравнение нормали имеет вид

18

y −1 = −1 (x − 2)

y + x − 3 = 0 .

Пример 4.1.3. Найти производные сложных функций:

а) y = log3 (x2 +1), б)

y = 21−

x , в)

y = ctg3 (2x) .

Решение.

1

′

2x

а) y = log3 (x2 +1)

y′ =

(x2 +1)

=

;

(x2 +1)ln 3

(x2 +1)ln 3

′

−1

б) y = 21− x y′ = 21− x ln 2 (1 −

x ) = 21− x ln 2

;

2

x

в) y = ctg3 (2x) y′= 3ctg2 (2x) (ctg 2x)′ =

2

−1

′

6ctg2 (2x)

= 3ctg

(2x) sin2 2x

(2x)

= −

sin2 2x .

Пример 4.1.4. Найти производную функции

y = (cos x)x .

Решение. Найдем производную,

используя

метод

логарифмического

дифференцирования.

1)ln y = xln(cos x) ;

2)yy′ = ln(cos x) + cosx x (−sin x) ;

3)y′ = y[ln(cos x) − x tg x] = (cos x)x[ln(cos x) − x tg x] .

Пример 4.1.5. Найти производную третьего порядка y′′′ от функции

y = cos2 x в точке x0 = π4 .

Решение. Найдем производную первого порядка

y′ = 2cos x (−sin x) = −sin 2x .

Продифференцируем еще раз и найдем производную второго порядка

y′′ = (−sin 2x)′ = −2cos 2x .

Дифференцируя третий раз, получим производную третьего порядка y′′′ =(−2cos 2x)′ = 4sin 2x .

19

При x

= π получим частное значение этой производной

0

4

π

π

y′′′

= 4sin

2

4

= 4 .

4

Пример 4.1.6. Найти приращение

y и дифференциал dy функции y = x2

при x = 3 и

x = 0,2 .

Решение. Найдем приращение функции

y = (x + x)2 − x2 = 2x

x + ( x)2 .

Так как y′ = 2x , то дифференциал равен dy = 2x x .

Покажем, что

y и dy эквивалентны

y

2x x + (

x)2

x

=1.

lim

=

lim

=

lim

1 +

2x x

x→0 dy

x→0

x→0

2x

Найдем их значения при x = 3 и

x = 0,2 :

y = 6 0.2 + (0.2)2 =1.2 + 0.04 =1.24 , dy = 2 3 0,2 =1,2 .

Нетрудно видеть, что имеет место приближенное равенство

y ≈ dy .

Пример 4.1.7. Найти приближенное значение sin 6°.

Решение. Рассмотрим функцию y =sin x . Положим x0 = 0 , x = 6°. Пере-

6 π

′

ведем градусы в радианы

x = 180 = 0.1047 и найдем производную y

= cos x .

Тогда получим sin 6° =sin 0° + cos0° 0.1047 = 0.1047 .

Отметим, что по таблицам sin 6° = 0.1045 .

Пример 4.1.8. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

1)	lim	ex −1		0		Л
		x	=	0		=
	x→0
2)	lim	tg3x		∞		Л
		tg x	=			=
	x→π			∞
	2

lim	(ex −1)′			= lim ex =1;
x→0			(x)′		x→0 1
		3				3 cos2 x
lim		cos2 3x			= lim
x→π		1			x→π	cos2 3x
2			cos2 x	2

0 Л

=0 =

20

Л

6 cos x sin x

0

3

sin 2x

0

Л

6 cos 2x

−6

1

=

lim

=

= lim

=

= lim

=

=

.

cos3x sin 3x

sin 6x

cos6x

−18

3

x→π 6

0

x→π 3

0

x→π 18

2

2

2

4.2.Контрольные вопросы

1)Сформулируйте определение производной функции в точке.

2)В чем заключается правило дифференцирования по шагам?

3)В чем состоит физический смысл производной?

4)В чем состоит геометрический смысл производной?

5) Запишите уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке M (x0 , y0 ).

6)Сформулируйте определение сложной функции.

7)Запишите формулу производной сложной функции, состоящей:

8)а) из двух звеньев, б) из трех звеньев.

9)В чем состоит метод логарифмического дифференцирования?

10)Что называется производной второго порядка и как она обозначается?

11)Что называется производной n-го порядка?

12)В чем состоит механический смысл производной второго порядка?

13)Дайте определение дифференциала функции.

14)По какой формуле находится приближенное значение функции?

15)В чем состоит правило Лопиталя вычисления пределов и какие неопределенности оно раскрывает?

4.3. Практические задания

4.3.1. Найти производные функций.

1

2

5

а)

y =3x2 − 5x +1;

б)

y =2x5

− 4 x4 +2,5x2 −0,5;

в)

y =

−

;

x2

x3

2

1

x4

8

+ 4 x ;

y =3ex −2x3 +4cos x .

г)

y =2 +

3x

+4

x − x

;

д)

y =

−

е)

8

x4

4.3.2. Найти производные функций.

а)

y =(x2 −1) ex ;

б)

y = x3 cos x ;

в)

y =(x2 + 2x) ln x ;

г)

+

1

+ x);

д)

y = 3x (sin x +1);

е)

y = x sin x tg x .

y = x

x

(1

ex

1 + 2x

и)

y =

x − 2

;

ж)

y =

;

з)

y = sin x

;

2x2 −1

x2

21

5

л)

y =

x + ln x

;

x − x2

к)

y =

;

м)

y =

.

cos x

x2

tg x

y = x2 arcsin x ;

о)

y =

arcsin x

;

y =

x2

н)

1 − x2

п)

.

arctg x

4.3.3. Найти производные сложных функций

а)

y = sin 2x ;

б)

y = e7 x+1;

в)

y = ln (x2 +1);

г)

y =(x2 + x +1)3 ;

д)

y = cos(x2 − 2x);

е)

y =sin (ex );

ж)

y = 2sin x ;

з)

y =

2x2 − x .

4.3.4. Найти производную функции, воспользовавшись приемом логарифмического дифференцирования:

а) y = (x +1)2 (3x +1)3 ,

(x + 2)2

x

б)

y = (x +1)3 ,

в) y =

,

x + 3

г)

y =

x

,

д)

y = xx ,

е) y = (sin x)cos x .

x2 −1

4.3.5. Найти уравнения касательной и нормали к графику функции

y = f (x) в

данной точке:

а) y =3x2 − 2x +1, x = 0 ; б) y = x2 − 4x, y = −3 ; в) y = ln x , x = e .

0

0

0

4.3.6. Вычислить производные высших порядков:

а)

y = x2 −3x + 2 ,

y′′ =? ;

б)

y =1 − x2 − x4 , y′′′=? ;

в)

f (x) = (x +10)

6

′′′

=? ;

г)

y =3e

−x

− 2x

3

+ cos 4x ,

y

′′′

=? ;

, f (2)

д)

y = e

sin x

,

d 2 y

=? ;

е)

y = ln(3x + 2) , y

(3)

=? .

dx2

Найти пределы по правилу Лопиталя:

2

−3x − 4

4.3.7. а) lim

x2 − x − 2

;

б)

lim

x

.

2

− 4x −5

x→2

x2 −5x + 6

x→−1

x

22