МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление

2.4.5. Градиент

Градиентом функции u ( x, y, z )

называется вектор

gradu = ∂u i + ∂u j + ∂u k .

∂x

∂y

∂z

2.4.5.1. Свойства градиента и производной по направлению

1. Производная по направлению

∂u

в фиксированной точке

M равна

∂ℓ

проекции grad u в этой точке на направление ℓ.

2. Наибольшее и наименьшее значения производной по направлению в

данной точке

max

∂u =

grad u

,

min

∂u = −

grad u

.

ℓ

∂ℓ

ℓ

∂ℓ

Пример. Найти

наибольшую

скорость

возрастания

функции

u = x2 + y2 + z2 в точке M (1,1,1).

Решение.

Найдем grad u в точке M

∂u (M ) = 2x

M

= 2;

∂u (M ) = 2 y

M = 2; ∂u (M ) = 2z

M = 2 ,

∂x

∂y

∂z

grad u

M = 2i + 2 j + 2 k .

∂u

По второму свойству градиента наибольшее значение

равно

∂ℓ

max ∂u

=

grad u (M )

=

= 2

4 + 4 + 4

3 .

∂ℓ

M

2.4.6. Полное приращение, полный дифференциал функции двух переменных

2.4.6.1. Полное приращение функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f ( x, y). Для независимых пе-

ременных x, y зададим приращения x, y.

41

Полным	приращением	функции z = f ( x, y ) называется		разность
z = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y )
Геометрический смысл z. Полное приращение функции z = f ( x, y ) -
это приращение ординаты z, соответствующее			приращениям x, y	аргумен-
тов x, y.
	z	f ( x, y )	f ( x + x, y + y )
			z
			y
	x	( x, y )	y
			( x + x, y + y )
Пример.	z = x × y , z = ( x + x)( y + y ) - xy = x y + y x + x × y.

Полное приращение функции z = f ( x, y ) зависит от четырех переменных

x, y, x, y. .
	Теорема. Если функция z = f ( x, y )	имеет непрерывные частные произ-
водные fx′ ( x, y ) и f y′ ( x, y ), то полное приращение функции равно
	z = fx′ ( x, y ) x + f y′ ( x, y ) y + a x + b y,
где	бесконечно малые величины a	и β зависят от x, y	то есть
lim α = 0, lim β = 0.
x→0	x→0
y→0	y→0
	Данная формула называется формулой приращения функции z = f ( x, y ).
	2.4.6.2. Полный дифференциал функции двух переменных
	Полным дифференциалом функции z = f ( x, y) в точке ( x, y)		называет-

ся выражение

dz = fx′ ( x, y ) × x + f y′ ( x, y ) × y

и обозначается dz или df .

42

Теорема. Если функция z = f ( x, y ) обладает непрерывными частными

производными в точке ( x, y ), то дифференциал обладает следующими свой-

ствами:

1)dz линейно зависит от x, y.

2)Полный дифференциал dz отличается от полного приращения z на

бесконечно малую величину более высокого порядка малости, чем

ρ = ( x)2 + ( y)2 .

Благодаря свойствам (1), (2) дифференциал dz называется главной линейной частью приращения z.

Определение. Функция z = f ( x, y ) , имеющая непрерывные частные про-

∂z ∂z

изводные ∂x , ∂y называется дифференцируемой.

Новая формулировка понятия дифференцируемости демонстрирует качественные изменения, которые возникают при переходе от одной переменной к двум.

2.4.6.3. Вторая форма записи полного дифференциала

Приращения независимых переменных x и y равны дифференциалам независимых переменных dx, dy.

Тогда выражение полного дифференциала имеет вид

dz = fx′ ( x, y )dx + f y′ ( x, y )dy.

При малых приращениях x, y полное приращение дифференцируемой функции z можно приближение заменить дифференциалом dz

f ( x + x, y + y ) − f ( x, y ) ≈ fx′ ( x, y ) x + f y′ ( x, y ) y.

Отсюда получается формула для приближенных вычислений:

f ( x + x, y + y ) ≈ f ( x, y ) + fx′ ( x, y ) x + f y′ ( x, y ) y.

43

2.4.7. Частные производные высших порядков

Частные производные	∂z и	∂z функции двух переменных z = f ( x, y )
	∂x	∂y

также являются функциями двух переменных и их можно продифференцировать по x и по y. Тогда получаются 4 производных второго порядка.

∂			∂z	=	∂2 z
					∂x2
∂x			∂x
¶			¶z = ¶ z
					2
¶y		¶y			¶y2

Производные

= z′′

xx

= z¢¢

yy

∂2 z

∂x∂y

	∂		∂z		=		∂2 z	= z′′ .
						∂y∂x			yx
∂y			∂x
	¶		¶z		=		¶2 z		= z¢¢ .
							¶x¶y		xy
	¶x		¶y

∂2 z

и∂y∂z называются смешанными.

Теорема. Если смешанные производные второго порядка непрерывны, то

они равны.
Пример.
z = exy ;	∂z = yexy ;			∂z	= xexy ;
	∂x			∂y
¶2 z = y2exy ;		¶2 z	= x2 × exy ;			∂2 z	= exy + xyexy ;	∂2 z	= exy + xyexy .
		¶y2
¶x2						∂x∂y		∂y∂x

Различных производных второго порядка только 3.

Далее дифференцируя производные второго порядка получаются производные третьего порядка и т.д.

Пример.

z = x3 y2 + 5x; z′

= 3x2 y2 + 5; z′

= 2x3 y;

x

y

z′

= 6xy

2 ; z′′

= 6x

2 y; z′′

= 2x3 ;

xx

xy

yy

z′′

= 6 y2 ; z′′′

= 12xy; z′′

= 0;

z′′

= 6x2 .

xxx

xyx

yyy

xyy

Разных производных третьего порядка будет 4, а равных производных n -

го порядка будет (n + 1).

¶n z

¶n z

¶n z

¶n z

;

;

;

n .

¶x

n

¶x

n−1

¶x

n−2

¶y

2

¶y

¶y¢

44

2.4.8.Производные сложных функций

2.4.8.1.Дифференцирование сложной функции от одной переменной с двумя промежуточными.

Пусть z = f (u,v). Здесь	u,v − промежуточные функции, зависящие от
x : u = u ( x),v = v ( x). Функции	z = f (u,v); u = u ( x) и v = v ( x) - дифференциру-
емы.

Тогда z = f (u ( x)), v ( x)). является сложной функцией от одной незави-

симой переменной x.

Необходимо найти производную dz . dx

Для отыскания dz используется формула полного приращения dx

z =

∂z

u + ∂z v + a u + b v;

¶u

¶v

α,β − бесконечно малые при

Далее

z

=

∂z

×

u

+

∂z ×

v

+ a ×

u

+ b ×

v

x

x

¶u

x

¶v

x

x

в пределе при x → 0 получим

dz

= lim

z

=

¶z

× lim

z

+

¶z × lim

v

+

x

dx x→0

x

¶u x→0

x

¶v x→0

+ lim a × lim

u

+ lim b × lim

v

=

x→0

x→0

x x→0

x→0

x

=

¶z

×

du

+

¶z ×

dv

+ 0 ×

du

+ 0 ×

dv

.

¶u

dx

¶v dx

dx

dx

Следовательно,

dz

=

¶z

×

du

+

¶z ×

dv

dx

для функции z = f (u

dx

¶u

dx

¶v

,v)

u = u ( x), v = v ( x)

.

Пример.

z = (sin 0)x2

,

z¢ - ? Пусть u = sin x, v = x2 .

x

45

Тогда z = uv .	∂z	= uv−1 × v;	∂z	= uv × ln u
	¶u		¶u

dz = vuv−1 cos x + uv ln u × 2x = x2 (sin x)x2 −1 + (sin x)x2 × ln (sin x) × 2x. dx

2.4.8.2. Дифференцирование сложной функции двух переменных с двумя

промежуточными.

Пусть z = f (u,v). Здесь u,v − промежуточные функции, зависящие от

двух независимых переменных x, y. Тогда z = f (u ( x, y)), v( x, y)) является сложной функцией от двух переменных x, y.

∂z ∂z

Необходимо найти частные производные ¶x ; ¶y .

Чтобы найти ∂z , фиксируется y и используется формула из предыдуще-

¶x

го случая, т.к. функции u,v зависят уже только от x (необходимо лишь обык-

новенные производные заменить на частные). Получим

¶z =

¶z

×

¶u +

¶z ×

¶v

¶x

¶u

¶x

¶v

¶x

Аналогично вычисляется

¶z =

¶z

×

¶u +

¶z ×

¶v

¶y

¶y

¶u

¶y

¶v

Пример.

Найти ∂z ,

∂z при x = 0,

y = 0, z = 2uv + u − 3v, u = ex− y , v = x2 + y2

¶x

¶y

∂z = (2v + 1)ex− y + (2u - 3) × 2x;

¶x

¶z

= (2v + 1)ex− y (-1) + (2u - 3) × 2 y;

¶z

x=0 =1;

¶z

x=0 = -1.

¶x

¶y

¶y

y=0

y=0

46

2.4.8.3. Частный случай сложной функции от одной переменной с двумя промежуточными.

Пусть z = f ( x, y ) , y = y ( x). Здесь x играет роль и независимой и проме-

жуточной переменной. Поэтому промежуточных переменных две: x, y. Незави-

симая переменная одна –

x.

Тогда

dz

=

∂z +

∂z

×

dy

.

dx

¶x

¶y

dx

Следует различать

∂z - частную производную функции z = f ( x, y ) и

¶x

dz

- производную сложной функции

y = f ( x, y ( x))

с учетом не только непо-

dx

средственного вхождения x, но и того, что y также зависит от x.

Пример.

z = x2 y2 − x − y, y = ln x,

dz

x = l

− ?

dx

dz

= (2xy2 -1) +

(2x2 y -1)×

1

; y (l ) =1;

dz

= 2l -1 + (2l 2 -1)×

1

= 4l -

1

-1.

dx

x

dx

l

l

2.4.9. Экстремумы функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f ( x, y ) .

1. Точка M 0 ( x0 , y0 ) называется точкой максимума функции z = f (x, y) ,

если

f ( x, y ) < f ( x0 , y0 )

для любой точки M (x, y)

из некоторой окрестности

точки M 0 (Рис. 2.3).

2. Точка M1 (x1, y1 )

называется точкой минимума функции

z = f (x, y) ,

если

f (x, y) > f (x1, y1 ) для любой точки M (x, y) из некоторой окрестности точ-

ки M1 (Рис. 2.4).

47

z

O
y0	y
x0
M0(x0,y0)
M(x,y)

z

O
y1	y
x1
M1(x1,y1)
M(x,y)

РИС. 2.3

РИС. 2.4

2.4.9.1. Необходимое условие существование экстремума

Теорема.

Необходимое условие экстремума. Если в точке M 0 (x0 , y0 )

функция z =

f (x, y) имеет экстремум, то частные производные ∂z ,

∂z в точке

∂x

∂y

M 0 обращаются в нуль или не существуют.

Доказательство. Пусть y = y0 . Тогда z = f (x, y0 )

– функция одной пере-

менной x . По условию теоремы эта функция при x = x0

достигает экстремума и

равна f (x0 , y0 ) .

Необходимое условие экстремума для функции одной пере-

менной

– это

равенство нулю

или

не существование производной, т.е.

fx′(x, y0 )

x=x

= 0

или fx′(x, y0 )

x=x

не существует.

0

0

Но

fx′(x0 , y0 ) является в то же время частной производной по x от f (x, y)

в точке M

0

(x , y

0

) . Следовательно, ∂ z

x=x

= 0 или не существует. Аналогично

0

∂ x

0

y= y

0

можно доказать, что

∂ z

x=x = 0 или не существует.

∂ y

0

y= y

0

Следует отметить, что указанное условие не является достаточным, т.е. из

условий

fx′(x0 , y0 ) = 0 и

f y′(x0 , y0 ) = 0 не следует, что M 0 (x0 , y0 ) является точ-

кой экстремума.

Точка

M 0 (x0 , y0 ) ,

в которой частные производные функции

z = f (x, y)

обращаются в нуль ( fx′(x0 , y0 ) = 0 , f y′(x0 , y0 ) = 0 ) или не существуют, называет-

ся критической.

48

Замечание. Критические точки не обязательно являются точками экстремума.

Пример 1. Рассмотрим функцию z = −x2 + y2 . В точке O(0,0)		частные про-
изводные z′ = −2x ,	z′ = 2 y обращаются в нуль. Однако точка O не является
x	y
точкой экстремума.
Геометрически в этой точке поверхность имеет сед-		z
лообразную форму (Рис. 2.5). На кривой сечения этой по-		O
верхности плоскостью yOz точка O является самой низ-				y
кой точкой. На кривой сечения поверхности плоскостью			x
xOz точка O – самая высокая точка.		РИС. 2.5

Точки, подобные точке O , называются точками минимакса или седло-

выми точками.

2.4.9.2. Достаточные условия существования экстремума функции двух переменных

Эти условия носят более сложный характер, чем для функции одной переменной, и приводятся без доказательства.

Пусть M 0 (x0 , y0 ) – критическая точка функции z = f (x, y) . Далее иссле-

дуем выражение

	∂2 z		∂2 z			∂2 z	2
=	∂x2		∂y2		−		.
						∂x∂y

1. Если

Причем,

если

2. Если

ловая точка);

(M 0 ) > 0, то z = f (x, y) имеет в точке M 0 экстремум.

если ∂2 z (M 0 ) > 0 , то M 0 – точка минимума; ∂x2

∂2 z (M 0 ) < 0 , то M 0 – точка максимума. ∂x2

(M 0 ) < 0 , то точка M 0 – не является точкой экстремума (сед-

3. Если (M 0 ) = 0 , то заключение о характере точки сделать нельзя,

необходимо дополнительное исследование. 49

2.4.9.3. Схема исследования на экстремум функции двух переменных

Схема исследования на экстремум функции двух переменных состоит из следующих этапов.

1. Вычислить частные производные ∂z , ∂z и найти критические точки, ∂x ∂y

для чего необходимо решить систему уравнений

z′

= 0,

x

z′

= 0.

y

Решение системы M1 (x1, y1 ) , M 2 (x2 , y2 ) , … –

критические точки.

2. Найти вторые производные

∂2 z

∂2 z

∂2 z

∂x2

, ∂y2 ,

,

∂x∂y

составить выражение

∂2 z

∂2 z

∂2 z

2

=

−

∂x2

∂y2

∂x∂y

и вычислить его значения (M1 ) ,							(M 2 ) , …		в критических точках. Сделать
вывод о характере критических точек согласно достаточным условиям.
	3. Вычислить zmax ,				zmin .
	Пример 2. Найти экстремумы функции z = x3 + y3 − 9xy .
1.	z′	= 3x2 − 9 y ,				2	− 9 y = 0		M1 (0, 0),
	x				3x
		2			y2	− 9x = 0			M 2 (3, 3).
	z′	= 3y − 9x .
	y
2.	z′′	= 6x , z′′		= 6 y , z′′	= −9 , = 36xy − 81;
	xx		yy	xy

(M1 ) = −81 < 0 M1 – не является точкой экстремума;

(M 2 ) = 243 > 0 , z′′xx (M 2 ) = 18 > 0 M 2 – точка минимума.

3. zmin = z (M 2 ) = −27 .

50