Аристов / 1_2_ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

1.2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования с бесконечно удаленным центром проекций. Осуществляется оно пучком параллельных проецирующих лучей заданного направления. Пусть требуется построить параллельную проекцию кривой k на плоскость П1(рис.1.2). Рис. 1.2 Рис.1.3 Спроецируем в направлении s все точки кривой k на плоскость П1. Чтобы спроецировать точки указанной кривой, например А, В, С, нужно провести через них прямые, параллельные направлению s, до пересечения с плоскостью П1. Точки пересечения A1,B1,C1 проецирующих лучей с плоскостью П1 и будут параллельными проекциями точек А, В и С. Таким образом можно построить проекции множества точек кривой k. В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций П1 различают два вида параллельных проекций: косоугольную, когда проецирующие лучи не перпендикулярны к плоскости П1 (рис. 1.2, кривая k), и прямоугольную (или ортогональную), когда проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций (рис.1.2, прямая а). Несмотря на то, что параллельное проецирование по сравнению с центральным дает меньшую наглядность, параллельные проекции, особенно ортогональные, обладают удобоизмеримостью и простотой построения. Поэтому ортогональное проецирование широко распространено в технике и является основным методом начертательной геометрии. Свойства параллельного проецирования При параллельном проецировании сохраняются все свойства центрального проецирования, а также возникают следующие новые свойства. 1. Проекции параллельных прямых параллельны между собой, т.е., если а ½½ b, то a1 ½½ b1. Пусть отрезки АВ и DE параллельны (рис. 1.3), тогда проецирующие плоскости AA1BB1 и DD1E1E будут также параллельны. Следовательно, линии A1B1 и D1E1 пересечения этих плоскостей с П1 будут параллельны. 2.Отношение отрезков, принадлежащих параллельным прямым или одной прямой, равно отношению проекций этих отрезков, т.е., если AB ½½ DE, то D AB / DE = D A1B1 / D1E1 3. При параллельном перемещении плоскости проекций проекция фигуры не изменяется. Если П1П2, то D A1B1C1 = D A2B2C2 (рис.1.4). Рис.1.4 Рис.1.5 Свойства ортогонального проецирования Наряду со свойствами параллельного (косоугольного) проецирования ортогональное проецирование имеет следующие свойства. 1. Отрезок прямой в общем случае равен гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет равен его проекции на данную плоскость проекции, а второй - разности расстоянии концов отрезка до этой плоскости (рис.1.5). 2. Любой отрезок прямой и плоская фигура, параллельные плоскости проекций, проецируются на эту плоскость без искажения (рис.1.6), например, если АВ ½½ П1, то ½ A1B1 ½ = ½ AB ½ ; D ABC ½½ П1, то D A1B1C1 = D ABC. Рис.1.6 Рис.1.7 3. Проекция любой фигуры (плоской фигуры, отрезка прямой и т.д.) не может быть больше самой фигуры (как следствие п. 1 и 2). 4. Ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны, т.е., если a ^ b, и a ½½ П1, то a1 ^ b1 (рис.1.7).

Пусть дано a ^ b. Построим проекцию a ^ b на П1. AA1 ^ П1 (как проецирующий луч), следовательно, плоскость Г (AA1 Ç b) также перпендикулярна П1. Прямая а перпендикулярна плоскости Г, так как она перпендикулярна двум прямым AA1 и b, принадлежащим плоскости Г. Но a1 ½½ a (a ½½ П1) и, следовательно, a ^ Г, откуда A1 перпендикулярна любой прямой плоскости Г, в том числе и b1. Отсюда справедливо, что a1 ^ b1.

Это доказательство относится как к пересекающимся прямым, так и к скрещивающимся. Как видно из чертежа, если с Ì Г, а Г ^ Q , то c1 ^ a1.

Û Вернуться к оглавлению или Ü Перейти к следующему разделу