ПЛАНИРОВАНИЕ

ЭКСПЕРИМЕНТА

Автор: Кузнецов Алексей Владимирович

Что такое планирование эксперимента

u1		Целью планирования эксперимента является создание
	y	таких планов покачивания входных переменных, которые
Объект		обеспечивают более быстрое и точное построение модели
um		объекта.

Выход объекта состоит из неизвестного сигнала (функции от входов) и центрированной помехи

y (u1, , um ) h

Что такое планирование эксперимента

n	A	B	C	yi
1	–	–	–	y1
2	+	–	–	y2
3	–	+	–	y3
4	–	–	+	y4

Взвешивание трех тел по традиционной схеме ("+" означает, что тело положено на весы, "–" указывает на отсутствие тела на весах).

σ2 (вес А )=σ2 ( y2− y1)=2 σ2 ( y )

Взвешивание трех тел с использованием

n

A

B

C

yi

1

–

–

–

y1

планирования эксперимента.

+

–

–

y1 y2 y3 y4

4 2 ( y)

2

y2

2

(вес А)

2

2

( y)

3

–

+

–

y3

2

4

4

–

–

+

y4

Видно, что при новой схеме взвешивания дисперсия веса объектов получается вдвое меньше, чем при традиционном методе взвешивания, хотя в обоих случаях выполнялось по четыре опыта.

Построение линейной статической модели объекта

Считаем, что входами объекта являются u1,…,um, а выходом y. Уравнение линейной статической модели объекта имеет вид:

	m	0	)
y 0	j (u j u j

j 1

Необходимо на основе эксперимента (на основе нескольких измерений входов и выхода объекта ) вычислить коэффициенты модели.

u2	2			1
u0				u2
				u2
2
		u1	u1
	4			3	u1
		u0
		1

Экспериментальные точки для входных координат зададим в вершинах гиперпрямоугольника.

Интервалы покачивания относительно базовой точки задаются экспериментатором, и они определяют область изучения объекта.

Построение линейной статической модели объекта

С целью унификации процедур построения планов, исследования их свойств, расчета параметров и исследования качества модели осуществляется переход от размерных входных переменных u1,…,um к безразмерным x1,…,xm.

x j u j u0j , j 1, m					u2 2				1
u j					u0				u2
									u2
Точки плана в вершинах прямоугольника в новых					2
						u1		u1
координатах оказываются в вершинах квадрата с					4				3	u1
единичными координатами. Центр плана переходит в							u10
начало координат.
n xo		x1	x2	yi		2	1 x2 1
1	+	+	+	y1		1			x
В итоге получается план:								1
2	+	–	+	yi					1
						4		3
3	+	+	–	y3			1
4	+	–	–	y4

Построение линейной статической модели объекта

В новых безразмерных координатах x1,…,xm линейная

m

модель также сохраняет линейный вид:

y

0 j x j

j

j 1

0 0 , j j u j , j 1, m

,

, j 1, m

u j

0

0

j

Параметры βi модели рассчитаем по критерию наименьших квадратов :

2	n	( yi 0	m	2	min
I y			j x ji )
	i 1		j 1

Предполагая, что измерения выхода некоррелированные и равноточные получаем систему линейных алгебраических уравнений:

2	m				2	(xk , y), k 0, 1, , m
y	(xk	, x j ) j y
	j 0
	(xj , y)			(xj , y)		n	n
						(xk , x j ) xki x ji ,	(xk , y) xki yi
j	(xj , xj )			n		i 1	i 1

Крутое восхождение по поверхности
	отклика
В планировании эксперимента поверхностью отклика называют уравнение связи
выхода объекта с его входами.
В 1951 году Бокс и Уилсон предложили использовать последовательный "шаговый"
метод движения к экстремуму выхода объекта.
u2	Коэффициенты αi линейной модели являются
	оценками составляющих градиента:
			0	) ; i 1, m
		a (u
		i	Ui
	Далее движение осуществляется по поверхности
	отклика в направлении оценки градиента
u1	1	0
	u	u	k , где k - величина шага.

Полный факторный эксперимент

Полным факторным экспериментом называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Если число факторов равно m, а число уровней каждого фактора равно p. то имеем полный факторный эксперимент типа pm.

При построении линейной модели объекта используется полный факторный эксперимент типа 2m. Условия эксперимента записываются в таблицы, в которых строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называются матрицами планирования эксперимента.

				n	x1		x2		x3		x4	yi
		21		1								y1
				2								y2
				3								y3
		22		4								y4
				5								y5
				6								y6
				7								y7
	23			8								y8
				9								y9
				10								y10
				11								y11
24				12								y12
				13								y13
				14								y14
				15								y15
				16								y16

Полный факторный эксперимент

С использованием ортогонального плана первого порядка можно определять не только коэффициенты βi, но и коэффициенты βij перед факторами взаимодействия xixj (i≠j)

Например, при m=2 можно рассчитать и коэффициенты модели:

y 0 1x1 2 x2 12 x1x2	n	x0	x1	x2	x1x2	yi
	1	+	+ +		+	y1
	2	+	–	+	–	y2
	3	+	+	–	–	y3
	4	+	–	–	+	y4

Дробные реплики

При большом числе входов объекта полный факторный эксперимент 2m содержит большое число экспериментов. Можно этот план разбивать на блоки (дробные реплики) с сохранением ортогональности плана. При этом по меньшему числу точек определяются (также независимо друг от друга) все

	коэффициенты линейной модели.	n	x1	x2	x3	X4=x1x2
	Чтобы получить дробную реплику, необходимо	1	+	+	+	+
		2	–	+	+	–
	за основу взять полный факторный эксперимент
		3	+	–	+	–
	(например 23) и в качестве новой переменной
	взять один из столбцов (например x4),	4	–	–	+	+
	соответствующий фактору взаимодействия	5	+	+	–	–
	(например x4=x1x2). Для данного примера	6	–	+	–	+
	дробная реплика обозначается как 24-1.	7	+	–	–	+
		8	–	–	–	–

Определяющий контраст (или определяющие контрасты, когда их несколько) позволяет установить разрешающую способность дробной реплики. Разрешающая способность будет максимальной, если линейные эффекты будут смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка.