Интегрирование подведение под знак
=
дифференциала=
.
Найти интеграл cos3xdx
1
Решение. Интеграл не табличный. Заменим dx на 3 под знак дифференциала множитель 3и разделим на результате получаем
d (3x) , т.е. внесем него интеграл. В
cos3xdx = |
13 cos3xd(3x) = |
1 |
3sin3x c |
cos 4x3 1 x2dx d 4x3 1 12x2dx cos 4x3 1 1212 x2dx
121 cos 4x3 1 d 4x3 1 121 sin 4x3 1 C
Назад |
В начало |
|
Метод подстановки
Пусть требуется найти неопределенный интеграл вида |
f x dx , причем |
функция x t , тогда в данном интеграле: |
|
|
|
|
t g x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x (t) |
|
dt |
||||
f |
x dx |
|
|
f |
t t |
||
|
|
|
dx t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В начало |
Далее |
|
Замечания:
метод подстановки чаще всего применяют при интегрировании иррациональных и тригонометрических выражений;
при удачном выборе подстановки, подынтегральное выражение чаще всего упрощается и сводится к табличному интегралу;
в конце осуществления метода подстановки, необходимо вернуться к первоначальной переменной.
В начало
Пример
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
5x 1 t 2 |
1 |
t 2 1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x t |
2 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
t |
|
5 tdt |
|
||||||||||||||||
|
5x 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 1 2tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
t2 1 dt |
2 |
|
t2dt |
2 |
|
|
dt |
|
2 t3 |
|
2 |
t |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
25 3 |
25 |
||||||||||||||||||||
|
25 |
|
|
25 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2t3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
t C |
|
|
|
где |
|
5x 1 |
|
|
|
|||||||||||||||
75 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В начало |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Метод интегрирования по частям
Суть метода:
Представление подынтегрального выражения в виде произведения двух функций u и dv . При удобном выборе данных функций, интегралы, встречающиеся в правой части формулы, оказываются более простыми или табличными.
Формула интегрирования по частям:
udv uv vdu
В начало
Далее
Основной принцип выбора uи dv:
За u берем ту часть подынтегрального выражения, которая
наиболее значительно изменяется после нахождения |
|
производной , а за dv |
все остальное. |
Назад |
Далее |
1) Основные классы интегралов, решаемые методом интегрирования по частям:
|
cos kx |
|
|
|
|
|
|
sin kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ekx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
akx |
|
|
u Pn x |
|
|
P x |
|
|
|
|
||
cos kx и dx |
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
sin kx b |
|
dv ... dx |
|
||
|
tgkx |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ctgkx |
|
|
|
|
|
|
tg kx b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg kx b |
|
k,b |
|
|
|
|
|
|
|
- действительные числа |
||
|
|
|
|
Pn (x) |
- многочлен степени n |
|
Формулу интегрирования по частям применяем столько раз, какова старшая степень многочлена.
Назад |
Далее |
2) За u берем выражение в скобках, а за dv многочлен и dx
Формула применяется 1 раз, за исключением выражений, где встречается степень p, тогда применяем столько раз, какова степень p.
где
Назад
|
arctgkx |
|
|
|
|
|
|
|
arcctgkx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u ... |
|
|
|
P |
arcsin kx |
dx |
|
|
|||
x |
|
|
|
||||
n |
|
|
|
dv Pn x dx |
|
|
|
|
arccos kx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
ln kx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln p kx |
|
|
|
|
|
|
k - действительное число |
|
|
|
||||
m - целое положительное число |
|
|
|
||||
Pn (x) |
- многочлен степени n |
|
|
Далее |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3)Выборu иdv произвольный, но формула применяется два раза, после чего необходимо решить алгебраическое уравнение.
ekx |
cosbx dx |
|||
|
kx |
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
sin bx |
|
k,b - действительные числа
Назад |
В начало |
Примеры |
1) |
|
|
|
|
|
u 4x 1 |
|
|
du 4dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4x 1 cos8xdx |
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dv cos 8x dx |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
v |
8 sin 8x |
|
|||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
4ч 1 |
|
sin 8x |
|
|
sin 8x 4dx 4x 1 |
|
sin 8x |
|
||||
8 |
|
8 |
8 |
8 |
sin 8xdx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
||
4x 1 |
|
sin 8x |
|
|
|
cos8x C |
|
8 |
16 |
||||||
|
|
|
|
||||
Назад |
Далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
8 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) x2 |
|
|
|
|
u ln 8x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 ln 8xdx |
|
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv x2 3 dx |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
3 |
|
x |
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 3 dx |
||||||||||||||
ln 8x |
3 |
|
3x |
|
3 |
|
3x |
ln 8x |
3 |
|
|
3x |
3 |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
x3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln8x |
|
|
|
3x |
|
|
x |
|
dx 3 dx |
ln8x |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
3x C |
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Назад |
Далее |
3) |
|
x |
|
|
|
|
|
u x2 |
|
|
|
du 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 5e |
5e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdx |
||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
v 5e |
x |
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv e |
|
|
dx |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 5e |
x |
|
|
|
10 xe |
x |
|
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|
du dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
5 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
v 5e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv e |
5 |
dx |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
5e |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
x |
5e |
5 |
|
|
|
|
5 |
5 |
5e |
5 |
|
c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 x5e |
|
|
5e |
dx |
|
|
10 x5e |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 5e |
|
x |
50xe |
x |
250e |
|
x |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
В начало