MATEMATIKA / КР / КР_3 семестр

Контрольная работа №3.

Задание 1. Найти полный дифференциал функции двух переменных.

1.	f (x, y) x3	y5 2xy2	2.	f (x, y) x3 y5 2xcos y
3.	f (x, y) x2	5xy5 y2	4.	f (x, y) x3	2y2 y2 sin x
5.	f (x, y) ln x 3y5 2xy		6.	f (x, y) x3	ln y x cos y
7.	f (x, y) 3x y5 4xy		8.	f (x, y) x3 5y 2xln y
9.	f (x, y) x3	ey 3x cos y	10.	f (x, y) ex	2y3 y ln x

Задание 2. Найти частные производные 2-ого порядка от заданных функций:

1.f (x, y) ln(x2 xsin y)

3.f (x, y) tg(x2 5y x )

5.f (x, y) sin(x2 y3 ex y )

	7.	f (x, y) ln			5 xy
					(x2 sin y)
	9.	f (x, y)		ey sin x
					xy

2.f (x, y) sin(xy2 ln y)

4.f (x, y) cos(2x4 y e2 x )

6.f (x, y) e y (x2 sin y)

8.	f (x, y)		y sin2	x
			x

10. f (x, y) arctg(x3 x ln y)

Задание 3. Вычислить двойной интеграл:

1.

27x

2

y

2

48x

3

y

3

dxdy

2.

27x

2

y

2

48x

3

y

3

dxdy

D

D

D :x 1, y x2 , y 3 x

D :x 1, y

x, y x3

3.

4xy 3x

2

y

2

dxdy

4.

18x

2

y

2

32x

3

y

3

dxdy

D

D

D :x 1, y 3 x, y x3

D :x 1, y x3 , y 3 x

5.

6xy 24x

3

y

3

dxdy

6.

24xy 18x

2

y

2

dxdy

D

D

D :x 1, y x, y x2

D :x 1, y x3 , y 3 x

7.

8xy 9x

2

y

2

dxdy

8.

4xy 16x

3

y

3

dxdy

D

D

D :x 1, y 3 x, y x3

D :x 1, y x2 , y 3 x

9.

12xy 9x2 y2 dxdy

10.

18x2 y2 32x3 y3 dxdy

D

D

D :x 1, y

x, y x2

D :x 1, y x3 , y x

Задание 4. Решить ОДУ:

1.xydx x 1 dy 0

2.y xy2 2xy

3. y2 1dx xydy

4.y cos y x

5.y 4x 2 y 1

6.y 33 y2

7.x 2 y y 1

8.x2 1 y 2xy2 0

9.xy y y2

10.y y 2x 3

y2 x2 y xyy xy y xey/ x

x y 1 y x 2 y 0 xy y xtg xy

2 y x 4 y

2x2 y y3 xy xy x2 y2 y

x 4y y 2x 3y 5

x2 y2 y 2xy

x3 y x y2

xy2 y x2 y3 x2 y xy 1 0

yx y x cos x

x y2 dy ydx

y 2 y y2ex

2x x2 y dx dy2ey x y 1 xy 2 y 2x4

y	y
	3x y2

xy ex dx xdy 0

Задание 5. Решить уравнение:

1.

y

y xsin x

2.

e

4 x

y

2y 3y

3.

y

2

e

x

4.

y 4sin x

2y 3y x

y

5.

y

3y 2y sin x

6.

y 2e

x

x

2

y

7.

x

8.

y 4xe

x

y

2 y y 6xe

y

9.

y

9 y e3x cos x

10.

y 3y 2y x cos x

Задание 6. Решить задачу Коши:

1.а) y4ey 2x y y, y 0 1 б) y y3 64 0, y 0 4, y 0 2

а)

2sin y cos

3

y 0, y 0

0 1

2.

2 4 y2

4 y x y 1, y 0 0

б) y

0, y

3.

xy 1 x e

x

2

, y 0 1

3

3 5

а) y

y

б) y

50 y

, y 3 1, y

4.а) 2 xy y y xy2 , y 1 2 б) y y3 36 0, y 0 3, y 0 2

5.а) 3 xy y y2 ln x, y 1 3 б) y 8sin3 y cos y, y 1 / 2, y 1 2

6.

2

, y 0 2

3

4 4

а) 2 y

y xy

б) y

32 y

, y 4 1, y

а)

3

7.

8 4 y3 xy y y 1, y 0 0

б) y y

9 0, y 1 1, y 1 3

8.

y 2 y

2

ln x, y 1 1 / 2

б)

а) xy

18sin y cos

3

y 0,

y 0

0 2

y

4, y

9.а) 2 x y4 y y, y 2 1 б) y y3 4 0, y 0 1, y 0 2

	2	, y 0 1 / 2		8sin	3		1 2
10. а) y	y 2xy		б) y			y cos y, y 1 / 2, y

Задание 7. Исследовать на сходимость:

			1					1							2					2n		2	1				n2					1
1.							sin					n!
								n						2																	n	1 ln 2n
					n							2	n							n	2		1
	n 1																													n 1
										n 1								n 1
											n 5						2			2n 2						n						1
																													3
							1
																	n
																sin												n 1
2.												n!					3	n 1 3n 1												n 2 2n 3 ln 3n 1
			n	2		ln n				n 1
	n 1

									n	2		2
	3.																				;
				n	2														n
		n 1							sin 2
										n			3
	4.	ln
									n	3		1
		n 1
					1																				1
												arctg
	5.			n 1
																								3 n 1
		n 1
										2			5
	6.	ln							n
							2					4
		n 1							n
												1
	7.
		n cos2 6n
		n 1
										n				2		1
	8.	ln
									n	2		n 2
		n 1
					n				cos n
	9.			2
				n					sin n
		n 1		3
	10								1																1
																sin
	.																								1
				3 n 5																		n
		n 1

2n 1

n2 1

n 1

n

1 !

arctg

5

n

n 1

n!

n!

3n !

n 1

n

2

n 2 !

n 1

n n 1

n 1

2 n 1 !

;

n

n

2

n 1

n!

n!sin

n

n 1

2

10n2n!

2n !

n 1

4n

3

n3

5n

n 1

1

n 2

n2

n 1

3n 1

3n 2

n

n 1 2

4n

n 1

1

4 2n

n

n

n 1

3n 5

n 1

n2

2n

n 1

3

n 1

2

n

n 1

n

n arcsinn

4n

n 1

n 1

n

n

n

5

n

n 1

1

n ln

2

3n 1

n 2

1

n 2 ln n 3

n 5

.

1

n

2 ln

2

n

n 2

1

2n11 ln 2n

n 1

1

n ln

2

2n 1

n 1

1

3n 1 ln n

n 2

1

n

3 ln

2

2n

n 3

1

2n 1 ln n 1

n 2

Задание 8. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд:

					1		n	2n			2			1			n 1
	1.												2.
					4	n		2	1
				n										n 4 2n			3
		n 1											n 1
					1			n								n 1 2n 1
	3.												4. 1
																		n n 1
				n ln 2n
		n 3											n 1

cos3x

5.

1

n

6.

sin n

n 3

n 1 ln n

n 1 n!

1

n 1

n

7.

8.

1 n 1

n

n 2 ln n 1

n 1

2n 1

1 n cos

1

n

9.

10.

6n

n ln n

1

n 1

n 3

Задание 9. Исследовать на сходимость степенной ряд:

n

3n

1.

n

xn

2.

xn

2n 3n 1

n!

n 1

n 1

1

n

2n 1

n

n

n

x

3.

1

x

4.

n

2

1

n 2

n

n 1

3

5

n

1

5.

xn

6.

xn

n 2

n

2

n

3n 1

n 1

3

n 1

n 2

2

n

7.

xn

8.

xn

n

n 1

n

2

n 1

n 1

1

5n

1

9.

xn

10.

xn

4n 1

n2

1

3 n 1 n2

1

n 1

n 1

Задание 10. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x :

1.

6

8 2x x2

3.ln 1 x 6x2

	5.	3 e x 2
	7.			x
		3 27			2x
	9.				x 12x2
		ln 1

2.

x2

4 5x

4.

7

12 2x x2

6.x 1 sin5x

5

8. 6 x x2

10.

sin 3x

x

Задание 11. Разложить функцию в ряд Фурье на заданном интервале:

	0, x 0		,
1.	f x	x
	1, 0

3.f x 1 x 2,2

5.
	f		x		1				x			1,1
	f x					2, x 0							,
7.										x
						1, 0
9.	f x						x	4			1,1
						2

2.f x x2 ,

4.f x x 1 ,

6.f x x2 1 2, 2

8.f x x 0,2

10. f x x ,

2