Свойства интегральной функции распределения.

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1];

0  F(X)  1.

Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности.

Свойство 2. F(x) – неубывающая функция, т.е.

F(x₂) F(x₁), если x₂ > x_1.

Доказательство. Пусть x₂ > x₁. Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее x_2, можно подразделить на следующие два несовместных события: 1) Х примет значение меньшее x₁, с вероятностью Р{Х<x₁}; 2) Х примет значение удовлетворяющее неравенству: х₁ Х<х₂, с вероятностью Р{х₁Х< х₂}. По правилу сложения имеем

Р{Х<x₂} = Р{Х<x₁} + Р{х₁  Х < х₂},

Отсюда

Р{Х<x₂} – Р{Х<x₁} = Р{х₁  Х < х₂},

или

F(x₂) – F(x₁) = Р{х₁  Х < х₂}. (*)

Так как вероятность есть число неотрицательное, то F(x₂)–F(x₁)0 или F(x₂)F(x₁), что и требовалось доказать.

Следствие 1. Вероятность того, что с. в. примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р{а  Х < b} =F(b) – F(а).

Это следствие вытекает из формулы (*), если положить х₁ = а, х₂ = b.

А– событие Х а

В – событие Х  b

С – событие a  X  b

А + С = В

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

В силу непрерывности F(x) в точке «а» разность F(b) – F(a) также стремится к нулю, следовательно Р{X= а}=0.

Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств:

Р{а  Х < b}= Р{а < Х < b}= Р{а < Х  b}=Р{а  Х  b}.

Например, равенство Р{а < Х  b}= Р{а < Х < b} доказывается так:

Р{а < Х  b}= Р{а < Х < b} + Р{Х = а} = Р{а < Х < b}.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F(x) = 0 при ха; 2) F(x) = 1 при х  b.

Доказательство. 1) Пусть х₁  а. Тогда событие Х < х₁ невозможно (так как значений, меньших х₁ величина Х по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть х₂  b. Тогда событие Х < х₂ достоверно (так как все возможные значения Х меньше х₂) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

F(- ) = P {X  - } = 0;

F() = P {X  } = 1.

Задача. Построить ряд распределения, многоугольник распределения и функцию распределения для случайной величины X, где Х – количество домов сданных в срок из 4-х строящихся, если вероятность построить дом в срок для каждого дома одинакова и равна 0.9.

Решение. По условию задачи производится четыре независимых опыта (опыт – строительство дома), в каждом из которых может произойти событие « дом построен в срок » с одной и той же вероятностью 0.9. Поэтому для определения вероятности конкретного числа домов, построенных в срок применяем формулу Бернулли. С. в. Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4.

P₀ = P{X = 0} = С₄⁰ · 0.9⁰ · 0.1⁴ = 0.1⁴

Р₁ = Р {X = 1} = С₄¹ ·0.9 ·0.1³ = 4 · 0.9 · 0.1³ = 0.0036

Р₂ = Р {X = 2} = С₄² · 0.9² · 0.1² = 0.0486

Р₃ = Р {X = 3} = С₄³ · 0.9³ · 0.1 = 0.2916

Р₄ = Р {X = 4} = С₄⁴ · 0.9⁴ · 0.1⁰ = 0.6561

1. Ряд распределения

xi	0	1	2	3	4
pi	0.0001	0.0036	0.0486	0.2916	0.6561

2. Многоугольник распределения

3) Функция распределения

x 0 F(x) = P(X  x) = 0

0  x 1 F(x) = P( X  x) = P(X = 0) = 0.0001

1  x 2 F(x) = P( X  x) = P(X = 0) + P(X = 1) =0.0037

2  x 3 F(x) = P( X  x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.0523

3  x 4 F(x) = P{Xx} = P{X=0} + P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}= 0.3439

4  x  F(x) = 1

Для дискретной с. в. функция распределения является кусочно-постоянной функцией. При увеличении числа значений с. в. число ступенек на графике возрастает, а их высота уменьшается. При n   кусочно-постоянная функция превращается в непрерывную функцию.