Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1.2.

ВСТУП ДО АНАЛІЗУ. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

1.Змінні і сталі величини. Функції

Уприроді існує безліч фізичних величин, таких як час, швидкість об’єм, маса, тиск, температура та ін. Математика вивчає числові значення цих величин. Величина, яка набігає різних числових значень (наприклад зі збігом часу) називається змінною, а яка не змінює своїх значень – сталою.

Існують абсолютні сталі, такі як швидкість світла у вакуумі с=300000 км/сек., відношення довжини кола до діаметру π = 3,14159…

Сукупність всіх числових значень змінної величини називається її областю визначення, яку можна зобразити точками числової осі. Областю визначення змінної величини може бути точка, інтервал, сегмент, або уся числова ось.

Змінні величини можуть бути зростаючими, спадаючими, обмеженими, упорядкованими, утворювати числові послідовності.

З поняттям функція ми стикаємося, коли досліджуємо змінну однієї величини в залежності від зміни іншої.

Якщо ми маємо дві непустих множини X та Y і кожному елементу x, що належить множині X (x X ) по деякому правилу поставлений у відповідність

один і тільки один елемент із множини Y задана функція f або відображення, що

(y Y ), то кажуть, що на множині X переводять елементи множини X у

елементи множини Y. Цей факт записується так	f
	X →Y , або f : X → Y ,
або y = f (x) .

Множина X має назву області визначення функції D{f}, а множина Y – області значень функції E{f}. Значення функції f (x) при x = a позначається f (a) . Областю визначення функції може бути точка, інтервал, сегмент, або їх сукупність, або уся числова ось.

Графіком функції y = f (x) є множина точок площини x0y з координатами (x; f (x)), де x X .

Функція f (x), область визначення якої симетрична відносно нуля, має назву парної, якщо f (−x) = f (x) для будь якого значення x X .

Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Приклади парних функції: y = x2 , y = x4 , y = cos x.

21

Функція f (x) , область визначення якої симетрична відносно нуля, має назву непарної, якщо f (−x) = − f (x) для будь якого значення x X .

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Приклади непарних функції: y = x , y = x3, y = sin x .

Функція f (x) має назву періодичної, якщо існує таке додатнє число T, яке має назву періода функції, що для усіх x X виповнюється рівність f (x + T) = f (x) .

Основним періодом функції називають найменше число τ , що має таку властивість. Функції можуть задаватися таблично, графічно та аналітично. Розглянемо основні елементарні функції та їх графіки.

Степенева функція y = xa , a R, рис.8.

Рис. 8

22

Показникова функція y = ax , a > 0 , a ≠ 1. Рис. 9.

Рис. 9

Логарифмічна функція y = loga x, a > 0 , a ≠ 1. Рис. 10.

Рис. 10

Тригонометричні функції: y = sin x , y = cos x, y = tg x, y = ctg x . Рис. 11.

Рис. 11

23

Обернені тригонометричні функції: y = arcsin x ,	y = arccos x ,
y = arctg x , y = arcctg x . Рис. 12.

Рис. 12

При побудуванні графіків функцій використовується побудування «по точкам»; дії з графіками (додавання, віднімання, множення графіків); перетворення графіків (зсув, розтягування).

Виходячи з графіка y = f (x) побудуємо:

1)y = f (x − a) - графік зсунуто вздовж осі оx на величину а вправо (a>0);

2)y = f (x) + b - графік зсунуто вздовж осі оy на величину b угору (b>0);

3)y = Af (x) - графік розтягнуто вздовж осі оy у A разів;

4) y = f (kx) - графік розтягнуто	у	1	разів вздовж осі оx (стиснуто у
		k
k разів).
Таким чином, маючи графік	y = f (x), можемо побудувати графік
функції y = Af [k(x − a)]+ b.

24

2. Теорія границь

Числова послідовність x1, x2, x3,...xn,...	це функція	xn = f (n) , що
задана на множині натуральних чисел.
Коротко послідовність позначається	{xn}, або	xn , n N

де x1 – перший член послідовності, x2 – другий, … , xn – загальний член послідовності.

Послідовність {xn} має назву обмеженої, якщо існує таке число M >0, що для будь-якого n N виконується нерівність xn ≤ M .

Наприклад x	n		= {1, 1 ,	1	,..., 1 ,...}.
			2	3	n
У протилежному випадку вона має назву необмеженої.
Наприклад: S		n	={2, 5, 10,...,n2 +1,...}.

Послідовність {xn} має назву зростаючої (неспадаючої), якщо для будь-якого n виконується нерівність xn+1 > xn, (xn+1 ≥ xn ).

Послідовність {xn} має назву спадаючої (незростаючої), якщо для будь-якого n виконується нерівність xn+1 < xn, (xn+1 ≤ xn ).

Усі ці послідовності мають назву монотонних. Якщо усі члени послідовності дорівнюють одному і тому ж числу с вона має назву постійної.

Число a має назву границі числової послідовності {xn}, якщо для будьякого, наперед даного довільно малого, додатного числа ε > 0 , існує номер N (взагалі кажучи, залежний від ε , N = N(ε ) ), що для всіх n > N, xn − a < ε . Коротше це записується так:

a = lim	xn, if ε > 0, N(N = N(ε )),
n→∞
n > N,		xn − a	< ε

Приклад. Довести, що lim n −1 = 1.

n→∞ n

25

За визначенням число 1 є границею послідовності x

=

n −1

, n N ,

n

n

якщо ε > 0 існує ( )

натуральне число N,

таке, що

для усіх n>N

n −1

−1

< ε , тобто

1

< ε .

виконується нерівність

n

n

1

1

1

1

Звідси n >

тобто для усіх n > N =

ε

, де

ε

– ціла частка числа

.

ε

ε

Якщо ε >1, то за N можна узяти 1 +1.

ε

Таким чином ε > 0 знайдене відповідне значення N, що й доказує, що lim n −1 = 1.

n→∞	n
	Число А є границею функції y = f (x), коли x прямує до a (x → a),
якщо	для будь-якого, наперед даного, довільно малого, додатного числа

ε > 0 , існує таке число δ > 0 (взагалі кажучи, залежне від ε (δ = δ (ε )) , що як тільки x − a < δ , то f (x) − A < ε . Коротше це записується так:

a = lim f (x), if ε > 0, δ > 0 (δ = δ (ε )), x − a < δ , f (x) − A < ε

x→a

Аналогічно lim f (x) = A, якщо f (x) − A < ε при x > N .

x→a

Умовно запишемо lim f (x) = ∞ , якщо f (x) > M , при x − a < δ , де М

x→a

довільне додатне число. У цьому разі функція f ( x ) має назву нескінченно великої при x → a.

Якщо lim α(x) = 0 , функція α(x) є нескінченно малою при x → a .

x→a

Деякі властивості нескінченно малих α(x) і β (x) при x → a:

1)Добуток двох нескінченно малих є нескінченно мала більш високого порядку по відношенню до співмножників: тобто якщо γ = α β , то

γ= 0(α) , γ = 0(β ) (гамма є 0 мале від альфа і є 0 мале від бета).

2)Нескінченно малі α і β еквівалентні тоді і тільки тоді, коли їх різниця α − β = γ є нескінченно мала більш високого порядку по відношенню до α , або β , тобто γ = 0(α) , γ = 0(β ).

26

3)Якщо частка від ділення двох нескінченно малих має границю, то ця границя не змінюється, якщо кожну з них замінити на еквівалентну

тобто якщо lim α = m, α ~ α

1

, β ~ β

1

, то

lim

α1

= m.

x→a β

x→a β1

Нагадаємо, що α(x) і β (x) еквівалентні при x → a (α ~ β ), якщо

lim α(x)

= 1.

x→a β (x)

Розглянемо порівняння нескінченно малих α i

β .

1, α(x) еквівалентна β (x) , α(x)~β (x) ,

0, α(x) нескінченно мала більш високого порядку ніж β (x) ,

lim

α(x)

=

α(x)=0(β (x)),

(x)

x→a β

m < ∞ , α(x) і β (x) нескінченно малі одного і того ж порядку,

∞, β (x) нескінченно мала більш високого порядку ніж α(x).

Корисно мати на увазі еквівалентність наступних нескінченно малих

при x → 0 :

sin x ~ x;

tg x ~ x;

arcsin x ~ x;

arctg x ~ x;

ln(1+x) ~ x;

ex-1 ~ x.

Якщо

α k

та β

- нескінченно малі

одного

й

того

ж

порядку,

то,

нескінченно мала β має порядок k > 0 по відношенню до α .

Приклад. Порівняти нескінченно

малі α = tsin2 t

и

β = 3t2 sint при

t → 0 .

Розв’язання. Знайдемо lim

α

= lim

tsin2 t

=

1

lim

sin t

=

1

, тобто α

та

β

3t2 sin t

t→0

3t→0

t

3

β нескінченно малі одного й того ж порядку.

Якщо x < a і x → a, то використовують запис x → a − 0 .

Якщо

x > a

і

x → a, то –

x → a + 0.

Числа

f (a − 0) =

lim

f (x)

й

x→a−0

f (a + 0) = lim

f (x)

мають

назву відповідно лівої

та

правої

границі

x→a+0

функції f (x) при x → a. Щоб lim f (x) = A необхідно і достатньо, щоб

x→a

f (a − 0) = f (a + 0).

27

Теорема. Якщо функція f (x) має границю що дорівнює А, то її можна представити як суму числа А й нескінченно малої α(x), тобто, якщо

lim f (x) = A, то f (x) = A + α(x) .

x→a

Доведення. Нехай							lim f (x) = A. Тоді			ε > 0,	δ > 0,
							x→a
x : 0 <		x − a		< δ , тобто		f (x) − A − 0			< ε , а це означає, що функція		f (x) − A

має границю, що дорівнює нулю, тобто є нескінченно малою, яку позначимо

α(x): f (x) − A = α(x). А звідси

f (x) = A +α(x).

Теорема (обернена). Якщо функцію f (x) можна представити у вигляді

суми числа А і нескінченно малої α(x) при

x → a, то число А є границею

функції

f (x) , тобто якщо f (x) = A +α(x), то

lim f (x) = A.

x→a

Доведення. Нехай

f (x) = A + α(x) , де

α(x)

– нескінченно мала

функція

при x → a,

тобто

lim

f (x) = A.

Тоді

ε > 0,

δ > 0,

x→a

x : 0 <

x − a

< δ

α(x) < ε

.

А

так

як за

умовою

f (x) = A + α(x) , то

α(x) = f (x) − A. Отримаємо

f (x) − A

< ε , а це означає, що lim f (x) = A.

x→a

Практичне обчислення границь базується на наступних теоремах, у яких будемо рахувати, що границі lim f (x) та lim ϕ(x) існують.

				x→a	x→a
(Доведення, коли x → ∞ аналогічне).
	Теорема. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці)
границь.
Доведення. lim [f (x) ± ϕ(x)]= lim				f (x) ± lim ϕ(x) .
		x→a	x→a	x→a

Нехай lim f (x) = A, а lim ϕ(x) = B .

x→a x→a

Тоді f (x) +ϕ(x) = A + B + (α(x) + β (x)),

де α(x) + β (x) – нескінченно мала функція при x → a , як сума нескінченно малих.

28

З

попередньої

теореми

lim [f (x) + ϕ(x)]= A + B,

тобто

x→a

lim [f (x) + ϕ(x)]= lim

f (x) + lim ϕ(x).

x→a

x→a

x→a

Таке ж доведення приводимо у випадку різниці двох функцій. Теорема

виконується для алгебраїчної суми скінченої кількості функцій.

Теорема. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих

функцій. lim [f (x) ϕ(x)]= lim

f (x) lim ϕ(x) .

x→a

x→a

x→a

Доведення. Доведення аналогічне попередньому.

Так як

lim f (x) = A ;

lim ϕ(x) = B ,

x→a

x→a

то f (x) = A +α(x); ϕ(x) = B + β (x) , де

де α(x)

та β (x) – нескінченно малі функції при x → a.

Тоді f ( x ) ϕ( x ) = ( A +α( x )) ( B + β( x )), або

f (x) ϕ(x) = A B + [Aβ (x) + Bα(x) + α(x) β (x)],

де

вираз у дужках є

нескінченно

мала функція

і

ми матимемо

lim

f (x) ϕ(x) = A B ,

тобто

x→a

lim [f (x) ϕ(x)]= lim

f (x) lim ϕ(x) .

x→a

x→a

x→a

Теорема виконується для будь-якої скінченої кількості функцій.

Слідство. Постійний множник можна виносити за знак границі.

lim c f (x) = c lim f (x)

x→a x→a

Доведення. lim c f (x) − lim c lim			f (x) = c lim f (x)
	x→a	x→a x→a	x→a

Теорема. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границя знаменника не дорівнює нулю.

		f (x)		lim f (x)
	lim		=	x→a	,	lim ϕ(x) ≠ 0
		ϕ(x)		lim ϕ(x)
	x→a					x→a
				x→a

29

Доведення. Доведення аналогічне попередньому.

Якщо lim f (x) = A ; lim ϕ(x) = B ,

x→a	x→a
то f (x) = A +α(x);	ϕ(x) = β + β (x) , тоді

f (x)

A + α(x)

A

A +α(x)

=

=

+

ϕ(x)

B + β (x)

B B + β (x)

A

AB + Bα(x) − AB − Aβ (x)

A

=

+

=

B

B

2

+ Bβ (x)

B

A

− =

B

+ B α(x) − Aβ (x) .2 + β ( )

B B x

Друга

дроб

є

нескінченно

мала

функція,

тому

f (x)

A

lim f (x)

lim

=

=

x→a

.

ϕ(x)

lim ϕ(x)

x→a

B

x→a

У теорії границь важливе місце займають перша і друга чудові границі:

lim sin x = 1, – перша чудова границя;

x→0		x
lim		+	1	x	=	1/α	= e, – друга чудова границя, де
	1					lim (1+ α )
x→0			x			α →0

е = 2,71828… – ірраціональне число;

lim	ax −1		= ln a ;	lim		ex −1		= 1;
x→0	x			x→0		x
lim ln(1+ x) = 1;				lim	log(1+ x)				=	1	.
x→0	x			x→0		x				ln a

Для доведення першої чудової границі доведемо, що lim cos x = 1.

x→0

Доведення. З тригонометричних тотожностей маємо:

cos x =1− 2sin

2

x

lim cos x= lim

− 2sin

2

x

, тобто

1

,

2

2

x→0

x→0

але

sin

x

<

sin x

, і тому lim

sin

x

= 0 .

2

x→0

2

30