Konspekt_lektsy_zm_1_2_3977714072-716176886

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію другого на напрямок першого.

Властивості скалярного добутку:

1) комутативність (a,b)= (b,a):

(a,b)= a b cos(a,b), а (b,a)= b a cos(b,a).

Так як a b = b a як добуток чисел і cos(a,b)= cos(b,a). 2) асоціативність відносно множника на число (λa) b = λ(a,b) :

(λa) b = b Прbλa = λ b Прb a = λ(a,b) .

3) операції додавання і скалярного множення векторів зв’язані дистрибутивним законом множення відносно додавання (розподільча властивість):

a(b + c) = ab + ac .

a(b + c) = a Прa (b + c) = a (Прa b + Прa c) = a Прa b + a Прa c =

= ab + ac .

4) скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини:

a

2 = a a =

a

a

cos0 =

a

a

=

a

2 .

звідси i 2 = j2 = k2 = 1.

5) a b = 0, якщо a = 0, або b = 0, або a b .

Звідси i j = jk = k i = 0.

Ураховуючи властивості 4) і 5), якщо a = ax i + ay j + az k та b = bx i + by j + bz k , то ab = axbx + ayby + azbz .

81

Косинус кута між векторами a і b обчислюється за формулою:

cosϕ =	a,b	=		axbx + ayby + azbz	.
	a b		ax2	+ ay2 + az2 bx2 + by2	+ bz2

Звідси умова перпендикулярності векторів a і b:

ab axbx + ayby + azbz = 0.

Зфізичної точки зору скалярний добуток постійної сили F та путі S є

робота A = F S cos(F S).

Приклад. Обчислити (5a + 3b) (a − b) , якщо a = 2 , b = 2 , a b.

Розв’язання. (5a + 3b) (a − b) = 5a2 − 5a b + 3b a − 3b2 =

= 5a2 − 3b2 = 20 −12 = 8.

Приклад. Знайти одиничний вектор, того ж напряму, що й вектор

a = i − 2 j + 2k .

Розв’язання. Знайдемо модуль вектора a :

=

= 3. Тоді a0 =

a

1

i −

2

2

k .

=

12 + (−2)2 + 22

=

j +

a

9

a

3

3

3

Перевіримо a0 = 19 + 94 + 94 = 99 =1.

Векторний добуток векторів. Векторним добутком двох векторів a і b, який позначають [a,b] або a × b, є вектор c (рис. 24), що визначається такими трьома умовами:

82

c

b

ϕ

a

Рис. 24

1)вектор c перпендикулярний як до a так і до b, тобто c a і c b;

2)довжина вектора c чисельно дорівнює площі паралелограма,

побудованого на векторах a і b:c = a b sin(a,b) ;

3) вектори a , b і c , що не належать одній площині (не колінеарні), утворюють праву тройку; тобто, якщо дивитись з кінця вектора c

найкоротший поворот від вектора a до вектора b здійснюється проти руху годинникової стрілки і ліву – якщо за рухом годинникової стрілки.

Властивості векторного добутку:

1)зміна місця множників дає протилежний вектор a × b = −b × a;

2)вектори a × b і b × a колінеарні, мають одинакові модулі (площа паралелограма таж сама), але протилежно спрямовані (трійки векторів a , b,

a ×b і a , b, b× a протилежно орієнтовані). Отже a × b = −b× a ;

3) асоціативність відносно скалярного множника: λ(a × b) = (λa) × b = a × (λb) .

Нехай λ > 0 , вектор λ( a× b ) перпендикулярний до векторів a і b, вектор ( λa )×b також перпендикулярний до векторів a і b (вектори a і λa

належать одній площині). Отже вектори λ( a × b ) і ( λa )×b колінеарні і напрямки їх співпадають. Вони мають однакову довжину:

83

λ(a × b) = λ a × b = λ a b sin(a,b) і

(λa) × b = λa × b sin(λa,b) = λ a b sin(a,b).

Звідси λ(a × b) = λa × b. Доведення при λ < 0 аналогічне;

3) два ненульових вектори a і b

колінеарні тоді й тільки тоді, коли їх

векторний добуток дорівнює нулю a ||b a × b = 0 .

дорівнює 0° або 180° . Але

Якщо a||b ,

то

кут між

ними

тоді

a × b

=

a

b

sin(a,b) = 0. Отже a × b = 0 .

ϕ = a,b = 0

Якщо ж

a × b = 0 , то

a

×

b

sin( a,b ) = 0 . Але

тоді

або

ϕ = 180°, тобто a||b.

Зокрема i × i + j × j + k × k = 0;

3) векторний

добуток

має

розподільчу

властивість:

( a + b )× c = a × c + b× c .

Векторний добуток векторів

a = ax i + ay j + az k

і b = bx i + by j + bz k

обчислюється за формулою:

i

j

k

a × b =

ax

ay

az

.

bx

by

bz

Ця формула перевіряється безпосереднім перемноженням двох векторів.

Звідси встановлення колінеарності векторів a і b:

ax = ay = az a||b . bx by bz

84

Площа паралелограма, побудованого на векторах a і b, дорівнює

Sпар = a × b = a b sin(a,b), а площа трикутника

							S =	1		a × b					.
								2
Приклад. Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах
a = 6i + 3 j − 2k і b = 3i − 2 j + 6k .
Розв’язання. Знайдемо векторний добуток:
	i	j	k		3	− 2		6		− 2				6		3
a × b =	6	3 − 2		= i			− j				+ k						=14 i − 42 j − 21k .
	3	− 2	6		− 2	6		3	6					3		− 2

Тоді S = 12 a × b = 12 142 + 422 + 212 = 492 (кв. од.).

Приклад. Обчислити площу паралелограма, що побудований на

векторах a + 3b і 3a + b, якщо a = b =1, (a,b) = 30°.

Розв’язання. Маємо (a + 3b)× (3a + b) = 3a × a + a × b + 9b × a + 3b × b =

= −8a × b .

							1
Тоді S = 8	a × b	= 8	a		b	sin30° = 8 1 1		= 4 (кв. од.).
							2
Мішаний добуток трьох векторів. Мішаним добутком трьох векторів

a, b і c називається скалярний добуток вектора a ×b	на вектор c	тобто
( a × b ) c .
Позначається a b c .
Модуль мішаного добутку векторів a b c	дорівнює	об’єму

паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, які відкладені від однієї точки:

V = a b c	.

85

Властивості мішаного добутку:

1)мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю, якщо: а) хоча б один з цих векторів дорівнює нулю; б) два з векторів паралельні (колінеарні);

в) усі три вектори паралельні одній площині (компланарні);

2)мішаний добуток не зміниться, якщо у ньому змінити місцями знаки векторного і скалярного множення, тобто

(a × b) c = a (b × c) = abc	;

3) мішаний добуток не зміниться при круговій перестановці векторів a b c =b c a =c a b ;

4) при перестановці будь-яких двох векторів мішаний добуток змінить тільки

знак: b a c = −a b c ;	c b a = −a b c ;			a c b = −a b c .
Мішаний добуток	векторів: a = ax i + ay j + az k , b = bx i + by j + bz k ,
c = cx i + cy j + cz k обчислюється за формулою
		ax	ay	az
	a b c =	bx	by	bz		.
		cx	cy	cz

З властивостей мішаного добутку трьох ненульових векторів випливає необхідна і достатня умова компланарності: a b c = 0 .

Припустимо, що це так. Тоді можливо було б побудувати паралелепіпед з об’ємом V ≠ 0 . Але a b c = ±V , тоді a b c ≠ 0 а це суперечить умові a b c = 0 .

Навпаки, нехай a, b, c – компланарні.	Тоді	вектор d = a × b –
перпендикулярний до площини, якій належать	(або	паралельні) вектори
a, b, c і d c .

86

Звідси (d c)= 0 , тобто a b c = 0 .

Об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c дорівнює

		Vпар =			a b c					.
Об’єм трикутної піраміди, що побудована на векторах a, b, c дорівнює:
		V =	1				a b c				.
		пір	6
Мішаний добуток дає можливість визначити взаємну орієнтацію
векторів a, b, c у просторі. Якщо			a b c > 0, то вектори a ,b ,c утворюють

праву тройку векторів, а якщо a b c < 0, – ліву.

Приклад. Обчислити об’єм піраміди, яка має вершину у точках: A(1;2;3); B(0;−1;1) ; C(2;5;2) ; D(3;0;−2) . Знайти площу грані ABC і косинус кута BAD .

Розв’язання. Складемо вектори:

a = AB = (0 −1) i + (−1− 2) j + (1− 3)k = − i − 3 j − 2k = (−1;−3;−2); b = AC = (1;3;−1); c = AD = (2;−2;−5).

Знайдемо a, b, c :

	−1	− 3	− 2
a b c =	1	3 −1			=15 + 6 + 4 +12 + 2 −15 = 24.
	2	− 2	− 5

Звідси Vпір = 16 24 = 4 (куб. од.).

Площа грані ABC дорівнює:

1

1

i

j

k

1

− 3 − 2

−1 − 2

−1 − 3

S

ABC

=

a × b

=

−1 − 3 − 2

=

i

− j

+ k

=

2

2

2

3 −1

1 −1

1 3

1

3

−1

87

1

= 1

90

= 3

(кв. од.).

=

9 i − 3 j + 0k

92

+ 32 =

10

2

2

2

2

Косинус кута BAD – це косинус кута між векторами AB = a і AD = c .

− 2 + 6 +10

Звідси cos(a,c) =

a

c

=

=

14

=

14

≈ 0,651.

a

c

12 + 32 + 22 22 + 22

+ 52

14 33

33

5. Пряма лінія і площина у просторі. Поверхні другого порядку

Площина. Нормальне рівняння площини у векторній формі має вигляд:

			r n = ρ	,
де rr = xi + yj + zk радіус-вектор довільної					точки	M (x, y, z)		площини;
r	cosα + j cosβ + k cosγ	– одиничний			вектор,	що	має	напрямок
n = i
перпендикуляра до площини, проведений з початку координат;								α,β,γ –
кути,	що утворюються цим	перпендикуляром з осями					координат; ρ –

довжина цього перпендикуляра. Переходячи до координат у скалярному добутку, отримаємо нормальне рівняння площини у координатній формі:

xcosα + ycos β + zcosγ − ρ = 0 ,

Будь-яке рівняння першого степеня Ax + By + Cz + D = 0, при умові

A2 + B2 + C2 ≠ 0, задає площину у просторі і має назву загального рівняння площини. Коефіцієнти A,B,C – можна розглядати, як компоненти вектора

нормалі N = Ai + Bj + Ck до площини.

Для отримання нормального рівняння, треба загальне рівняння

площини помножити на нормуючий множник			µ = ±	1	= ±		1		,
							A2 + B2 + C2
				N
знак якого обирається з умови D < 0, тобто знаки і D протилежні.
Розглянемо	часткові	випадки	розташування				площини
Ax + By + Cz + D = 0, у просторі:

88

A = 0; площина паралельна осі Ox ;

B = 0; площина паралельна осі Oy ;

C = 0; площина паралельна осі Oz ;

D = 0; площина проходить через початок координат;

A = B = 0; площина перпендикулярна осі Oz (паралельна площині xOy );

A = C = 0; площина перпендикулярна осі Oy (паралельна площині xOz );

B = C = 0; площина перпендикулярна осі Ox (паралельна площині yOz );

A = D = 0; площина проходить через ось Ox ;

B = D = 0; площина проходить через ось Oy ;

C = D = 0; площина проходить через ось Oz ;

A = B = D = 0; співпадає за площиною xOy ( z = 0);

A = C = D = 0; співпадає за площиною xOz ( y = 0);

B = C = D = 0; співпадає за площиною yOz ( x = 0);

Якщо у загальному рівнянні площини D ≠ 0 (тобто площина не проходить через початок координат), то поділивши усі частини рівняння на − D, отримаємо рівняння площини у відрізках

	x	+	y	+	z	=1	,
	a		b		c

де a = − D ; b = − D ; c = − D – точки перетину площини з осями Ox , Oy , Oz .

A B C

Кут ϕ між площинами A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 визначається як кут між нормалями до цих площин за формулою:

	cosϕ =			A1 A2 + B1B2 + C1C2									.
			A2	+ B2	+ C2	A2		+ B2	+ C	2
	1			1	1	2		2		2

Звідси умова паралельності двох площин:

89

A1

=

B1

=

C1

.

A2

B2

C2

Умова перпендикулярності:

A1 A2 + B1B2 + C1C2

= 0

.

Відстань точки M (x0 , y0 , z0 )

від

площини Ax + By + Cz + D = 0

визначається за формулою

d =	Ax0	+ By0	+ Cz0	+ D	.
		A2 + B2 + C2

Зазначимо, що вираз під знаком модуля буде додатнім, якщо точка M (x0 , y0 , z0 ) і початок координат розташовані по різні боки від площини і від’ємним – якщо по один бік.

Рівняння

площини,

яка

проходить

через

точку

M (x0 , y0 , z0 )

і

перпендикулярна до вектора N =

r

r

має вигляд:

Ai

+ Bj + Ck

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0

.

При довільних A, B, C отримаємо рівняння

в’язки площин,

що

проходять через точку M0 .

Рівняння

A x + B y + C z + D + λ(A x + B y + C

z + D ) = 0

,

1

1

1

1

2

2

2

2

при

довільному

λ

задає

жмуток

площин,

що

проходять через

пряму

перетину площин A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 і A2 x + B2 y + C2 z + D2

= 0.

Рівняння площини, яка проходить через три точки

M1(r1), M2 (r2 ),

(r ), де

r

r

+ z k ,

rr

r

r

k ,

rr

r

r

+ z k ,

M

3

rr = x i

+ y j

= x i + y

2

j + z

= x i

+ y j

3

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

3

отримаємо з умови компланарності векторів.

r − r1,

r2 − r1,

r3 − r1,

де

r = x i + y j + zk

– радіус-вектор довільної точки M шуканої площини:

(r − r1)(r − r2 )(r − r3 ) = 0

,

90