Тема 2. Выборочный метод

План темы

1. Общие сведения о выборочном методе

2. Понятие оценки параметров

3. Методы построения статистических оценок

4. Оценка параметров генеральной совокупности собственно-случайной выборки.

5. Понятие интервального оценивание. Доверительная вероятность предельная погрешность выборки.

7. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.

1. Общие сведения о выборочном методе

Различают два вида статистических наблюдений: сплошное, когда изучаются все объекты совокупности, ивыборочное, когда изуча­ется часть объектов.

Примером сплошного наблюдения является перепись населения, охватывающая все население страны. Вы­борочными наблюдениями являются, например, проводимые со­циологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т. д.

Определение. Статистическая совокупность, распределение которой изучается по интересующему нас признаку, называется генеральной совокупностью.Количество элементов генеральной совокупности будем называть объемом генеральной совокупности и обозначать .

Генеральная совокупность может иметь как конечный, так и бесконечный объем. В математической статистике понятие генеральной совокупности трактуется как совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при дан­ном реальном комплексе условий, и в этом смысле его не следует смешивать с реальными совокупностями, подлежащими статисти­ческому изучению. Так, обследовав даже все предприятия подот­расли по определенным технико-экономическим показателям, мы можем рассматривать обследованную совокупность лишь как представителя гипотетически возможной более широкой сово­купности предприятий, которые могли бы функционировать в рамках того же реального комплекса условий.

Изучить всю генеральную совокупность с помощью сплошного наблюдения часто бывает невозможно, что объясняется следующими причинами:

1. элементы генеральной совокупности не досягаемы для исследования (звезды Вселенной, глубины океана и т.д.);

2. исследование генеральной совокупности связано с уничтожение изучаемых предметов (исследование тросов на прочность, лампочки на длительность горения и т.д.);

3. исследование генеральной совокупности связано с дороговизной и сложностью проведения каждого отдельного опыта;

4. элементы генеральной совокупности не существуют в природе (будущее состояние финансов, будущие потребности потребителей в некотором товаре и т.д.).

Поэтому в статистических исследованиях часто применяется выборочный метод.

Отметим, что теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неогра­ниченном увеличении объема выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим пара­метрам генеральной совокупности.

Выборочный метод заключается в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (выборке) сделать вывод о свойствах генеральной совокупности в целом.

Отметим, что теоретическую основу применимости выборочного метода составляет закон больших чисел, согласно которому при неогра­ниченном увеличении объема выборки практически достоверно, что случайные выборочные характеристики как угодно близко приближаются (сходятся по вероятности) к соответствующим пара­метрам генеральной совокупности.

Будем последовательно извлекать из генеральной совокупности ее элементы, выбирая их случайным образом (наудачу), измерять и записывать значения некоторого признака для них: ,, ...,.Понятно, что наблюдения представляют собой случайные величины в силу случайности нашего выбора объекта.

Определение. Часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной со­вокупностью или выборкой.

Число элементов в выборочной совокупности называется объемом выборки и обозначается .

Вы­борочными наблюдениями являются, например, проводимые со­циологические исследования, охватывающие часть населения страны, области, района и т. д.

Определение. Выборка называется случайной или собственно-случайной, если каждый элемент из генеральной совокупности может попасть в выборку с одинаковой вероятностью, не зависящей от изу­чаемого признака.

Определение. Выборка называется повторной, если отобранный объект перед началом следующего выбора возвращается в генеральную совокупность

Таким образом, при повторной выборке объекты из генеральной совокупности извлекаются по схеме возвращенного шара из урны. В рассматриваемом случае выборка может несколько раз со­держать один и тот же объект генеральной совокупности.

Определение. Выборка называется бесповторной, если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

Если выборкабесповторна, то объекты из генеральной совокупности извлекаются по схеме невозвращенных шаров из урны, т. е. каждый объект генеральной совокупности может попасть в вы­борку не более, чем один раз, Для конечной генеральной совокупности случайный отбор без возвращения на каждомшаге приводит к зависимости отдельных наблюдений, случайный равновозможный выбор с возвращением — к независимости наблюдений. На практике обычно имеют дело с бесповторными выборками. Тем не менее, когда объем генеральной совокупности во много раз больше, чем объем выборки (например, в сотни и тысячи раз), зависимостью наблюдений можно пренебречь.

Применяются и другие способы случайного отбора в зависи­мости от характера генеральной совокупности. К ним относятся:

1. типичнаявыборка - генеральная совокупность разбивается по некоторому признаку на группы, из которых осуществляется случайный отбор элементов, пропорционально объему группы;

2. механическая (систематическая) выборка. Элементы из генеральной совокупности отбираются через некоторый промежуток (например, каждый десятый объект);

3. Серийная (кластерная)выборка. Генеральная совокупность разбивается на серии (кластеры) и случайно выбранные серии подчиняются сплошному обследованию.

Определение. Если случайная выборка такова, что по ее распределению по некоторому признаку можно судить о распределении по этому же признаку неизвестной нам генеральной совокупности, то такая выборка называется репрезентативной, т. е. представ­ляющей генеральную совокупность.

Пример.

Основными задачами выборочного метода, основанного на анализе собственно-случайной выборки, являются следующие две взаимосвязанные проблемы:

1) проблема репрезентативности выборки – как организовать выборочное обследование, которое бы результаты выборочного обследования наиболее полно характеризовали генеральную совокупность;

2) проблема оценки – как использовать результаты выборки для выводов за ними с наибольшей надежностью о свойствах и соответствующих параметрах генеральной совокупности.

Математическая теория выборочного метода основана на анализе собственно-случайной выборки, которую в дальнейшем будем рассматривать.