- •Тема 2. Выборочный метод
- •Понятие оценки параметров
- •3. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно - случайной выборке.
- •Оценка генеральной дисперсии.
- •6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки
- •Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.
- •Три типа задач на выборочный метод.
Оценка генеральной дисперсии.
Теорема. Выборочная дисперсия σв2 повторной и бесповторной выборок является смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсия .
Замечание.В процессе доказательства теоремы получено, что, т.е. выборочная дисперсия уменьшает генеральную дисперсию. При замененадопускается систематическая погрешность в сторону уменьшения. В связи с этим вводится «исправленная дисперсия», которая является несмещенной оценкой.
Пример.Предельная нагрузка на стальной болтХі, которая измерялась в лабораторных условиях, задана как интервальное статистическое распределение:
Xi, кг/мм2 |
4,5-5,5 |
5,5-6,5 |
6,5-7,5 |
7,5-8,5 |
8,5-9,5 |
10,5-11,5 |
11,5-12,5 |
12,5-13,5 |
|
40 |
32 |
28 |
24 |
20 |
16 |
12 |
8 |
Определить точечные несмещенные и состоятельные оценки для и.
6. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная погрешность выборки
Точечная оценка n является приближенным значением неизвестного параметра и в том случае, когда она несмещенная (в среднем совпадает с), состоятельная (приближается кс ростомn) и эффективная (характеризуется наименьшей степенью отклонений от) и при выборке малого объема возможная значительная разность между оценкой параметра и параметром, т.е. привести к грубым ошибкам.
По этой причине, для получения более точной и достоверной оценки nпараметра, используют интервальную оценку параметра.
Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал, который с заданной вероятностьюнакрывает неизвестное значение параметра.
Границы интервала его длина, определяются по выборочным данным и потому являются случайными величинами, в отличие от параметра- величины неслучайной и в связи с этим правильнее говорить, что интервал «накрывает», а не «содержит» значение.
Интервальная оценка определяется двумя числами - концами интервала.
Интервал называютдоверительным (его концы – доверительными границами), а вероятность –доверительной вероятностью или надежностью оценки.
Длина доверительного интервала значительно зависит от объема выборки n (уменьшается с ростомn) и от значения доверительной вероятности(увеличивается с приближениемк единице). В большинстве, но не всегда, доверительный интервал выбирается симметричным относительно параметра, т.е.. Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю. Нейман на основании идей Р.Фишера.
Предельной ошибкой выборки называется наибольшее отклонение ∆ выборочной средней (доли) от генеральной средней (доли), которое возможно с заданной доверительной вероятностью .
Ошибка является ошибкойрепрезентативностивыборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся генеральная совокупность, а только ее часть.
Нахождение доверительного интервала для генеральной средней и генеральной доли по большим выборкам.
Построение доверительных интервалов для параметров генеральных совокупностей можно осуществить с помощью прямогометода (если исходить из генерального распределения, откуда как следствие получать выборочное распределение и из него распределение статистик), иликосвенногометода, который позволяет при некоторых общих предположениях получить асимптотические (приn→∞) распределения статистик. Рассмотрим второй метод.
Теорема. Вероятность того, что отклонение выборочной средней (доли) от генеральной средней (доли) на величину, которая не превышает по абсолютной величиной число ∆>0 равна:
,где, (2.12)
,где. (2.13)
Доказательство.
Формулы (2.12) и (2.13) называются формулами доверительной вероятности для средней и доли.
Средней квадратической ошибкой называется среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли собственно случайной выборки.
Формулы для вычисления для разных статистик и разных выборок можно получить из формул 2.14, 2.15, 2.18, 2.19 и они имеют вид:
а) выборка собственно случайная повторная:
для средней – (2.14)
для доли – (2.15)
б) выборка собственно случайная без повторная:
для средней – (2.16)
для доли – (2.17)
Замечание.Из рассмотренной теоремы следует, что доверительные интервалы для генеральной средней и генеральной доли находятся по формулам:
,(2.18)
,. (2.19)