Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Элементы векторной алгебры

1. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве

Возьмём произвольную прямую Х и выберем на ней положительное направление слева направо. На прямой возьмём произвольную точку О и назовём её началом, относительно которого будем определять положение всех точек на этой прямой. Затем выберем единицу масштаба для измерения длин. Таким образом, мы построили декартову систему координат на прямой, которую называют числовой осью или числовой прямой.

Пусть на числовой прямой отрезок задан точками и и указано, что точка называется началом, а точка концом отрезка. Такой отрезок называется направленным и обозначается . Величиной направленного отрезка называется его длина, взятая со знаком «+», если направление отрезка совпадает с направлением оси, и со знаком «» , если эти направления противоположны.

Возьмём на координатной оси точку М. Отрезок является направленным. Координатой точки М называется величина ОМ направленного отрезка . Обозначим координату точки М через х, т.е. х=ОМ. Тогда запись М(х) означает, что точка М имеет координату х.

Пусть на координатной оси даны точки и . В этом случае величина направленного отрезка . Расстояние d между точками определяется по формуле

.

Пример 1. Даны точки и . Величина направленного отрезка равна , а расстояние между точками и равно .

Положение точки на прямой определяется одним числом – её координатой, а положение точки на плоскости не может быть определено одним числом.

Возьмём на плоскости две взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в точке О, зададим направление и масштаб для измерения длины. Точка О называется началом координат. Таким образом, построена декартова прямоугольная система координат на плоскости. Одна ось называется осью Ох, а другая – Оу. Называются эти оси координатными.

Возьмём в прямоугольной системе координат произвольную точку М. Пусть – проекция точки М на ось Ох, проекция точки М на ось Оу. Тогда называются прямоугольными координатами точки на плоскости. Запись М(х,у) означает, что точка М имеет координаты х и у.

Пусть на плоскости в прямоугольной системе координат даны точки и . Тогда расстояние между этими точками определяется по формуле

.

Пример 2. Даны точки и . Найти расстояние между ними и расстояние от точки до начала координат.

Решение. По условию примера , , . Тогда . Расстояние от точки до начала координат равно .

Пример 3. Даны точки А(1,1), В(-3,4), С(3,12). Вычислить периметр треугольника АВС.

Решение. Периметр р треугольника АВС равен сумме длин всех его сторон. Найдём длины сторон треугольника:

,

,

.

Тогда .

Возьмём в пространстве три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке О, которая называется началом координат, и зададим единицу измерения длины (масштаб). Одна ось называется Ох (ось абсцисс), вторая – Оу (ось ординат) и третья – Oz (ось аппликат). Координатные оси, взятые попарно, определяют три взаимно перпендикулярные плоскости xOy, yOz, xOz, называемые координатными плоскостями.

Пусть М – произвольная точка пространства. Спроектируем точку М на координатные плоскости xOy и xOz (точки А и В). Проекцией точки А на ось Ох является точка , а на ось Оу – точка. Проекцией точки В на ось Oz является точка . Таким образом, точки являются проекциями точки М на координатные оси. Величины называются координатами точки М. Первая координата называется абсциссой, вторая ординатой и третья аппликатой. Запись M(x,y,z) означает, что точка М имеет координаты x, y, z.

Если в пространстве известны координаты точек и , то расстояние между ними определяется по формуле

.