17-11-2012_01-59-28 / Задача 5

Задача № 5.

Сформируйте вариант образования бензина АИ-80 и АИ-95, который обеспечивает максимальный доход от продажи, если имеется 5 т смеси 1-го сорта и 30 т смеси 2-го сорта. На изготовление бензина АИ-80 идет 60 % смеси 1-го сорта и 40 % смеси 2-го сорта, на изготовление бензина АИ-95 идет 80 % смеси 1-го сорта и 20 % смеси 2-го сорта. Реализуется 1 т бензина АИ-80 за 5000 руб., 1 т АИ-95 – за 6000 руб.

Решение:

Пусть х₁, х₂ - количество произведенного бензина АИ-80 и АИ-95 соответственно, тонн.

Прибыль от продажи бензина составит:

Данное выражение является целевой функцией, которую необходимо максимизировать, т.е.:

При этом необходимо выполнение следующих ограничений:

- количество смесей 1-го и 2-го сортов, расходуемое на производство бензинов, не должно превышать их запасов:

- неотрицательность переменных: .

Таким образом, экономико-математическая постановка задачи закончена.

2) Решение задачи с помощью инструмента Excel Поиск решения.

Вносим исходные данные, систему ограничений и целевую функцию в диапазон А1:D12 (см. рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Ввод исходных данных.

С помощью инструмента Поиск решения решаем данную задачу (см. рисунок 5.2)

Рисунок 5.2 – Диалоговое окно «Поиск решения».

Получаем следующий результат (см. рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Результаты расчета.

Таким образом, необходимо произвести 8,33 тонны бензина АИ-80, а бензин АИ-95 не производить. При этом прибыль от продажи бензина будет максимальной и составит 41666,67 руб.

На основании прямой задачи составим двойственную.

Прямая задача:

Целевая функция:

Система ограничений:

Двойственная задача:

Целевая функция:

Система ограничений:

В данной задаче переменные y₁ и y₂ – это стоимость продажи (руб.) 1 тонны смесей 1-го и 2-го сортов соответственно.

Суть двойственной задачи сводится к определению для каждого сорта смеси такой минимальной цены продажи 1 тонны, при которой будет выгоднее продать смеси, чем производить из них бензин.

Решение двойственной задачи получим из отчета по устойчивости «Поиска решений» (см. рисунок 5.4).

Рисунок 5.4 – Отчет по устойчивости

Таким образом, переменные двойственной задачи равны:

y₁ = 8333,33; y₂ = 0.

Значение целевой функции двойственной задачи совпадает со значением целевой функции прямой задачи, т.е. Z = 41666,67 ден. ед.